人教A版（2019）数学必修第一册 4.2 指数函数 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
指数函数(2)
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．
本节目标
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　利用指数函数的单调性比较大小
[例1]　比较下列各组数的大小：
(1) 1.52.5和1.53.2；
(2) 0.6－1.2和0.6－1.5；
(3) 1.70.2和0.92.1；
(4) a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[例1]　比较下列各组数的大小：
(1) 1.52.5和1.53.2；
1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，
由于底数1.5>1，
所以函数y＝1.5x在R上是增函数，
因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
[例1]　比较下列各组数的大小：
(2) 0.6－1.2和0.6－1.5；
0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2 > －1.5，所以0.6－1.2 < 0.6－1.5.
[例1]　比较下列各组数的大小：
由指数函数性质得，
1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0(3) 1.70.2和0.92.1；
(4) a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
1 同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
2 指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
3 底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
4 当底数含参数时，要按底数a>1和0比较幂的大小的方法
方法总结
跟踪训练
1．比较下列各值的大小： ， ， ， .
先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数： ；
(2)大于1的数： ， ；
(3)大于0且小于1的数： .
(2)中， < <(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝ ，y＝2x的图象，再分别取x＝ ，x＝ ，比较对应函数值的大小，如图)，
故有< < < .
题型二 利用指数函数的单调性解不等式
[例2]　(1)解不等式≤2；
(2)已知(a>0，a≠1)，求x的取值范围．
[例2]　(1)解不等式≤2；
∵2＝ ，∴原不等式可以转化为≤ .
∵y＝ 在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
[例2]　 (2)已知(a>0，a≠1)，求x的取值范围．
分情况讨论
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－12．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，
即af(x)>ag(x)
1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
技法点拨
利用指数型函数的单调性解不等式
2．若ax＋1> (a>0且a≠1)，求x的取值范围．
跟踪训练
因为ax＋1> ，所以ax＋1>a3x－5，
当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；
当0题型三 指数型函数单调性的综合应用
[探究问题]
1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝的单调性，并写出相应单调区间．
减区间
减区间
增区间
减区间
2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？
提示：
y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．
[探究问题]
3．函数y＝ (a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？
提示：分两类：
(1)当a>1时，函数y＝ 的单调性与y＝－x2的单调性一致；
(2)当0[探究问题]
[例3]　判断f(x)＝ 的单调性，并求其值域．
令u=
函数u(x)的单调性
函数y= 的单调性
函数f(x)的单调性
同增异减
思路点拨
[例3]　判断f(x)＝ 的单调性，并求其值域．
令u＝x2－2x，则原函数变为y＝ .
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝ 在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝ 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝ ，u∈[－1，＋∞)，
∴0< ≤ ＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
多维探究
变式 把本例的函数改为“f(x)＝，求其单调区间．
函数y＝ 的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
1 关于指数型函数y＝af x a>0，且a≠1 的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0 2 求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f u ，u＝φ x ，通过考查f u 和φ x 的单调性，求出y＝f φ x 的单调性.
函数y＝af x a>0，a≠1 的单调性的处理技巧
技法点拨
随堂检测
1．思考辨析
(1)y＝21－x是R上的增函数．(　　)
(2)若0.1a>0.1b，则a>b.(　　)
(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　　)
(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　　)
×
×
×
×
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，
∴x<－1.
D
3．下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
C．π2＜ D．0.90.3＞0.90.5
∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，
∴0.90.3＞0.90.5.
D
4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ (x≥0)的值域．
(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝ 在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，
即函数g(x)＝ (x≥0)的值域为(0,3]．
(1)比较形如am与an的大小
可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小
一般找一个“中间值c”，若am若am>c且c>bn，则am>bn.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
本课小结
(1)形如ax>ay的不等式
可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式
注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式
可借助图象求解．
2．解简单指数不等式问题的注意点
本课小结
本课小结
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间
要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间
要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
通过本节课，你学会了什么？