3.1.1：椭圆及其标准方程- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1.1：椭圆及其标准方程- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:53:35 | ||
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文档简介
3.1课时1：椭圆及其标准方程
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
是椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
焦点在轴上，长半轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
椭圆和具有 ( )
A. 相同的离心率． B. 相同的焦点． C. 相同的顶点． D. 相同的长、短轴．
已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则( )
A. B. C. D.
已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
与圆：内切且与圆：外切的动圆圆心的轨迹为( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 双曲线
椭圆的焦距为，则 ．
椭圆两焦点之间的距离为 ．
设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为 ．
已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
已知点在椭圆方程上，点坐标为，则的取值范围为 ．
设是椭圆的长轴，若把分成等分，依次过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、．为椭圆的左焦点，则的值 ．
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
求适合下列条件的曲线的标准方程：
与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆标准方程；
经过点，的双曲线标准方程．
答案和解析
1.
【解答】
解：因为，
所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为．
故选B．
2.
【解答】
解：由椭圆的方程为，可化为，
．
是椭圆上一点，
根据椭圆的定义可得：，
．
故选A．
3.
【解答】
解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在轴上，且，
则椭圆的焦点坐标为和，
故选B．
4.
【解答】
解：由题可设椭圆方程为，
所以，，，
故椭圆方程为： ．
故答案选：．
5.
【解答】
解：若，
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为；
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为，
所以两个椭圆的离心率相同．
同理可得当时，两个椭圆的离心率相同．
故选A．
6.
【解答】
解：是的中点，
平行轴，即垂直于轴，
，
，
设，根据椭圆定义可知，
，解得：，
，，
：：．
故选：．
7.
【解答】
解：由题意，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，
则，，
所以．
故选A．
8.
【解答】
解：由题知椭圆的右焦点为，设左焦点为，
由椭圆的定义可得，即，
可得．
由可得，
解得，所以．
又因为点在椭圆内，所以，
所以，解得或．
综上，实数的取值范围是．
故选A．
9.
【解答】
解：圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
设动圆圆心，半径为，
由题意可得：， ，
于是，
故动圆圆心的轨迹为椭圆．
故选C．
10.或
【解答】
解：由题意可得焦距，，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
所以的取值为或．
故答案为：或．
11.
【解答】
解：根据题意，椭圆的方程为：，
其焦点坐标为，
则两焦点之间的距离为，
故答案为：．
12.
【解答】
解：设，，
由椭圆：可得，，，，
则取，
由于为上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
所以
解得
所以
故答案为
13.
【解答】
解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
连接，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直线的斜率为．
故答案为．
14.
【解答】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值．
所以，的取值范围是，
故答案为：
15.
【解答】
解：是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为，
分别连接点与，，九个点，
根据对称性易知当时有：，其中、，
由椭圆定义可知：，，
，
即，
又，
．
故答案为．
16.解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即
由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
17.解：椭圆的焦点坐标为，
椭圆过，
，
，，
椭圆的标准方程为；
设双曲线方程为，
点，在双曲线上，
解之得
双曲线方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程，属于拔高题．
利用椭圆的定义求出，可得，即可求出椭圆的标准方程；
设双曲线方程为，将点代入即可解决．
第10页，共10页
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
是椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
焦点在轴上，长半轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
椭圆和具有 ( )
A. 相同的离心率． B. 相同的焦点． C. 相同的顶点． D. 相同的长、短轴．
已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则( )
A. B. C. D.
已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
与圆：内切且与圆：外切的动圆圆心的轨迹为( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 双曲线
椭圆的焦距为，则 ．
椭圆两焦点之间的距离为 ．
设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为 ．
已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
已知点在椭圆方程上，点坐标为，则的取值范围为 ．
设是椭圆的长轴，若把分成等分，依次过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、．为椭圆的左焦点，则的值 ．
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
求适合下列条件的曲线的标准方程：
与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆标准方程；
经过点，的双曲线标准方程．
答案和解析
1.
【解答】
解：因为，
所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为．
故选B．
2.
【解答】
解：由椭圆的方程为，可化为，
．
是椭圆上一点，
根据椭圆的定义可得：，
．
故选A．
3.
【解答】
解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在轴上，且，
则椭圆的焦点坐标为和，
故选B．
4.
【解答】
解：由题可设椭圆方程为，
所以，，，
故椭圆方程为： ．
故答案选：．
5.
【解答】
解：若，
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为；
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为，
所以两个椭圆的离心率相同．
同理可得当时，两个椭圆的离心率相同．
故选A．
6.
【解答】
解：是的中点，
平行轴，即垂直于轴，
，
，
设，根据椭圆定义可知，
，解得：，
，，
：：．
故选：．
7.
【解答】
解：由题意，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，
则，，
所以．
故选A．
8.
【解答】
解：由题知椭圆的右焦点为，设左焦点为，
由椭圆的定义可得，即，
可得．
由可得，
解得，所以．
又因为点在椭圆内，所以，
所以，解得或．
综上，实数的取值范围是．
故选A．
9.
【解答】
解：圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
设动圆圆心，半径为，
由题意可得：， ，
于是，
故动圆圆心的轨迹为椭圆．
故选C．
10.或
【解答】
解：由题意可得焦距，，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
所以的取值为或．
故答案为：或．
11.
【解答】
解：根据题意，椭圆的方程为：，
其焦点坐标为，
则两焦点之间的距离为，
故答案为：．
12.
【解答】
解：设，，
由椭圆：可得，，，，
则取，
由于为上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
所以
解得
所以
故答案为
13.
【解答】
解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
连接，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直线的斜率为．
故答案为．
14.
【解答】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值．
所以，的取值范围是，
故答案为：
15.
【解答】
解：是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为，
分别连接点与，，九个点，
根据对称性易知当时有：，其中、，
由椭圆定义可知：，，
，
即，
又，
．
故答案为．
16.解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即
由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
17.解：椭圆的焦点坐标为，
椭圆过，
，
，，
椭圆的标准方程为；
设双曲线方程为，
点，在双曲线上，
解之得
双曲线方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程，属于拔高题．
利用椭圆的定义求出，可得，即可求出椭圆的标准方程；
设双曲线方程为，将点代入即可解决．
第10页，共10页