3.1.2课时1：椭圆的简单几何性质- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1.2课时1：椭圆的简单几何性质- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 476.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:54:00 | ||
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文档简介
3.1.2课时1：椭圆的简单几何性质
已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率( )
A. B. C. D.
已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的焦点在轴上，，是椭圆短轴的两个端点，是椭圆的一个焦点，且，则( )
A. B. C. D.
椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( )
A. 设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线；
B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
C. 双曲线与椭圆有相同的焦点；
D. 以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
如图，椭圆与有公共的左顶点与左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
设椭圆的左、右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是
A. 离心率 B. 的最大值为
C. 面积的最大值为 D. 的最小值为
已知，，分别是椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角母线与竖直方向所成角后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为
写出一个长轴长等于离心率倍的椭圆标准方程为 ．
已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是 ．
已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
已知椭圆：，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为
求椭圆的离心率；
若点在椭圆上，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
根据题意求出，，由即可求出结果．
【解答】
解：椭圆：的焦点在轴上，且焦距为，
，，
，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
由椭圆离心率及隐含条件得答案．
【解答】
解：由题意，，得，则，
，即．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：椭圆：的一个焦点为，
可得，解得，
，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆性质的应用，结合三角形边角关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．
根据椭圆的方程表示出，，，结合三角形的夹角关系建立方程进行求解即可．
【解答】
解：椭圆的焦点在轴上，
，，，
则，，，
，，
则，
即，则，
得，得，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆离心率的概念，属于基础题．
根据椭圆离心率的性质进行求解即可．
【解答】
解：由条件可知，，
所以，
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题．
直接利用椭圆方程，求解长轴长即可．
【解答】
解：椭圆的长轴长．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查由椭圆的标准方程及椭圆的几何性质，属于基础题．
先求出、，再求椭圆的离心率．
【解答】
解：由椭圆，得，
，
，，
即．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的方程与性质，属于中档题．
求出椭圆的，，可得结果．
【解答】
解：由题意易知椭圆的短半轴，
截面与底面所成的角为，
椭圆的长轴长为，
，，
离心率为，，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，
则椭圆的方程为．
故选ABD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，双曲线、椭圆的几何性质，抛物线的定义和性质．
根据椭圆，双曲线，抛物线的定义和性质逐个选项判断正误即可．
【解答】
解：不正确，若动点的轨迹为双曲线，则要小于、两个定点间的距离，当大于、两个定点间的距离时，动点的轨迹不是双曲线；
B正确，方程的两根分别为和，和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在轴上，焦点坐标为，
D正确，不妨设抛物线为：，即抛物线位于轴的右侧，以轴为对称轴，
设过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是，而到准线的距离，到准线的距离，
又到准线的距离是梯形的中位线，故有，
则 半径，
所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题．
利用位置关系，求出，，进而判断各个选项即可．
【解答】
解：由题可知，且，，
，A正确；
，故B正确；
又，即，，故C错误；
，即，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，属于中档题．
根据椭圆的定义和几何性质可判定 、；当 为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值为，可得判定 ；利用向量的坐标运算，二次函数的性质，可得判定
【解答】
解：对于选项，依题意 ，所以 ，故 A正确；
对于选项，的最大值为，故B错误；
对于选项C，面积的最大值为，故C错误；
对于选项，设，因为，
所以
，
当时，的最小值为，故D正确．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，属中档题．
根据方程无实根，可得，于是可得，，的关系，两边同除以可得关于的不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由关于的方程无实根，则，
即，
故，
解得或， 而，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题．
设圆柱形杯子的底面半径为，则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，由此可求得椭圆离心率．
【解答】
解：设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：
则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则，
又，则．
故答案为：．
14.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程．
本题考查椭圆的标准方程及性质，解题的关键在于求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解．
【解答】
解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
因为长轴长等于离心率倍，故，即，
不妨令，则，
所以满足条件的一个椭圆方程为．
故答案为：答案不唯一
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及几何意义以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆右焦点为，连接、，可得四边形为平行四边形，设，得到，同时由椭圆的焦点三角形面积公式得到，于是得到；同时注意到在椭圆上，得到，利用椭圆的性质有，，于是化简式得出，解之即可算出椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意，椭圆的左焦点为，过原点倾斜角为的直线：，
不妨设，椭圆右焦点，作出图形如下所示：
因为椭圆关于原点对称，易知四边形为平行四边形，
又，所以，
所以的面积为，
根据焦点三角形面积公式可知，，
所以，即得，
又点在椭圆上，即得，
所以，
由可得，
又，，
所以上式可化为，
解得，舍去．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用．
通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到，，的关系式的转换，进而得到离心率的范围，
【解答】
解：在中，由正弦定理得
，
则由已知得，
即，
又由，
所以，
由椭圆的几何性质知，即
所以，
所以，
解得或，
又，
故椭圆的离心率，
故答案为．
17.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即
由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
18.【答案】解：由题意，得，
则，结合，得，即，
，解得．
所以椭圆的离心率为．
由得，则．
将代入椭圆方程，解得．
所以椭圆方程为．
易得直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．
设，，直线的方程为，
联立，得，
当时，
则，．
由，
得的中点，
因为在直线上，
所以，解得．
所以，得，且，
．
又原点到直线的距离，
所以
．
当且仅当，时等号成立，符合，且．
所以面积的最大值为：．
【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题．
由题意得，然后求解离心率即可．
由得，将代入椭圆方程解得求出椭圆方程，直线的方程为当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．设直线的方程为，与联立消，设，，利用根与系数的关系求出的中点，推出，且，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值．
第1页，共1页
已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率( )
A. B. C. D.
已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的焦点在轴上，，是椭圆短轴的两个端点，是椭圆的一个焦点，且，则( )
A. B. C. D.
椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( )
A. 设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线；
B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
C. 双曲线与椭圆有相同的焦点；
D. 以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
如图，椭圆与有公共的左顶点与左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
设椭圆的左、右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是
A. 离心率 B. 的最大值为
C. 面积的最大值为 D. 的最小值为
已知，，分别是椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角母线与竖直方向所成角后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为
写出一个长轴长等于离心率倍的椭圆标准方程为 ．
已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是 ．
已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
已知椭圆：，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为
求椭圆的离心率；
若点在椭圆上，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
根据题意求出，，由即可求出结果．
【解答】
解：椭圆：的焦点在轴上，且焦距为，
，，
，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
由椭圆离心率及隐含条件得答案．
【解答】
解：由题意，，得，则，
，即．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：椭圆：的一个焦点为，
可得，解得，
，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆性质的应用，结合三角形边角关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．
根据椭圆的方程表示出，，，结合三角形的夹角关系建立方程进行求解即可．
【解答】
解：椭圆的焦点在轴上，
，，，
则，，，
，，
则，
即，则，
得，得，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆离心率的概念，属于基础题．
根据椭圆离心率的性质进行求解即可．
【解答】
解：由条件可知，，
所以，
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题．
直接利用椭圆方程，求解长轴长即可．
【解答】
解：椭圆的长轴长．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查由椭圆的标准方程及椭圆的几何性质，属于基础题．
先求出、，再求椭圆的离心率．
【解答】
解：由椭圆，得，
，
，，
即．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的方程与性质，属于中档题．
求出椭圆的，，可得结果．
【解答】
解：由题意易知椭圆的短半轴，
截面与底面所成的角为，
椭圆的长轴长为，
，，
离心率为，，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，
则椭圆的方程为．
故选ABD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，双曲线、椭圆的几何性质，抛物线的定义和性质．
根据椭圆，双曲线，抛物线的定义和性质逐个选项判断正误即可．
【解答】
解：不正确，若动点的轨迹为双曲线，则要小于、两个定点间的距离，当大于、两个定点间的距离时，动点的轨迹不是双曲线；
B正确，方程的两根分别为和，和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，
C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在轴上，焦点坐标为，
D正确，不妨设抛物线为：，即抛物线位于轴的右侧，以轴为对称轴，
设过焦点的弦为，的中点是，到准线的距离是，而到准线的距离，到准线的距离，
又到准线的距离是梯形的中位线，故有，
则 半径，
所以圆心到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题．
利用位置关系，求出，，进而判断各个选项即可．
【解答】
解：由题可知，且，，
，A正确；
，故B正确；
又，即，，故C错误；
，即，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，属于中档题．
根据椭圆的定义和几何性质可判定 、；当 为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值为，可得判定 ；利用向量的坐标运算，二次函数的性质，可得判定
【解答】
解：对于选项，依题意 ，所以 ，故 A正确；
对于选项，的最大值为，故B错误；
对于选项C，面积的最大值为，故C错误；
对于选项，设，因为，
所以
，
当时，的最小值为，故D正确．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，属中档题．
根据方程无实根，可得，于是可得，，的关系，两边同除以可得关于的不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由关于的方程无实根，则，
即，
故，
解得或， 而，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题．
设圆柱形杯子的底面半径为，则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，由此可求得椭圆离心率．
【解答】
解：设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：
则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则，
又，则．
故答案为：．
14.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程．
本题考查椭圆的标准方程及性质，解题的关键在于求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解．
【解答】
解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
因为长轴长等于离心率倍，故，即，
不妨令，则，
所以满足条件的一个椭圆方程为．
故答案为：答案不唯一
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及几何意义以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆右焦点为，连接、，可得四边形为平行四边形，设，得到，同时由椭圆的焦点三角形面积公式得到，于是得到；同时注意到在椭圆上，得到，利用椭圆的性质有，，于是化简式得出，解之即可算出椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意，椭圆的左焦点为，过原点倾斜角为的直线：，
不妨设，椭圆右焦点，作出图形如下所示：
因为椭圆关于原点对称，易知四边形为平行四边形，
又，所以，
所以的面积为，
根据焦点三角形面积公式可知，，
所以，即得，
又点在椭圆上，即得，
所以，
由可得，
又，，
所以上式可化为，
解得，舍去．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用．
通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到，，的关系式的转换，进而得到离心率的范围，
【解答】
解：在中，由正弦定理得
，
则由已知得，
即，
又由，
所以，
由椭圆的几何性质知，即
所以，
所以，
解得或，
又，
故椭圆的离心率，
故答案为．
17.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即
由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
18.【答案】解：由题意，得，
则，结合，得，即，
，解得．
所以椭圆的离心率为．
由得，则．
将代入椭圆方程，解得．
所以椭圆方程为．
易得直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．
设，，直线的方程为，
联立，得，
当时，
则，．
由，
得的中点，
因为在直线上，
所以，解得．
所以，得，且，
．
又原点到直线的距离，
所以
．
当且仅当，时等号成立，符合，且．
所以面积的最大值为：．
【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题．
由题意得，然后求解离心率即可．
由得，将代入椭圆方程解得求出椭圆方程，直线的方程为当直线的斜率不存在时，的中点不可能在直线上，故直线的斜率存在．设直线的方程为，与联立消，设，，利用根与系数的关系求出的中点，推出，且，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值．
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