3.1.2课时2：直线与椭圆的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1.2课时2：直线与椭圆的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 374.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:54:19 | ||
图片预览
文档简介
3.1.2课时2：直线与椭圆的位置关系
已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则( )
A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为；
C. 弦长； D. ．
已知直线：被椭圆：截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有( )
A. B. C. D.
画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是( )
A. 的蒙日圆的方程为
B. 对直线上任意点，
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
已知点，在椭圆：上，则椭圆的方程为 ，若直线交椭圆于，两点，则 ．
已知点，椭圆上两点，满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大．
过点的直线与椭圆交于点和，且点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是 ．
已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：为等腰三角形．
设椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
当与轴垂直时，求直线的方程；
设为坐标原点，证明：．
已知椭圆：的短轴长为，离心率为
求椭圆的方程；
设过定点的直线与中的椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．
已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
Ⅰ求双曲线的方程．
Ⅱ经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程并求弦长．
在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为过左顶点且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点，且．
求椭圆的标准方程；
过点且不与轴重合的直线交椭圆于点，连接并延长交于点若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线和椭圆的位置关系及中点弦问题，属基础题．
利用“点差法”即可得出直线的斜率，利用点斜式即可得出方程．
【解答】
解：设直线与椭圆相交于两点，
代入椭圆方程可得，，
两式相减得，
，，，
，解得．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，及圆锥曲线中的面积最大问题，属于基础题．
设，的面积是，当最大时，的面积取最大值，直线与轴垂直时，的面积取最大值．
【解答】
解：设，则，
的面积是，
当最大时，的面积取最大值，
所以直线与轴垂直时，的面积取最大值，
则的面积的最大值为．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质，向量的坐标运算，属于基础题．
根据条件结合向量的坐标运算可得，，从而求出答案．
【解答】
解： 由题意，可设，
设，，，，
，，
，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力．
当直线的斜率不存在或为时，易推导出；当直线的斜率存在且不为时，设直线：，：，分别利用弦长公式求出、的长度，由此能推导出为定值．
【解答】
解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，：，
则：此时，，
则；
同理易得当直线的斜率为时，；
当直线的斜率存在且不为时，
设：，则 ：．
又设点，
联立方程组，
消去并化简得，
，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得．
为定值．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系，椭圆中的弦长及面积问题，属基础题．
依题意，，可判断，根据椭圆定义得，，进而求得，判断，
联立，根据弦长公式求得，可判断，求出到直线的距离，计算三角形的面积，可判断．
【解答】
解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；
的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得，
所以，所以椭圆方程为，故B正确；
联立得，，
所以，故C正确；
到直线的距离，
所以故D错误，
故选BC．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由于直线：被椭圆 截得的弦长为，根据对称性即可判断出结论．
【解答】
解：由于直线：被椭圆截得的弦长为，
根据对称性可得：，，满足条件．
直线被椭圆截得的弦长不为．
综上可得：下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有．
故选ACD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的相关知识，包括概念、方程、性质、几何意义、直线与椭圆的位置关系．
A.考虑与斜率的所有情况，然后设出点及过点的切线方程，然后与椭圆方程相联立，可得与相关式子，进行化简从而得到蒙日圆方程．
B.由题意知直线过的定点在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，由蒙日圆的定义可知的关系．
C.因为点在椭圆上，通过椭圆定义可得到的最小值为到到的距离，并可表示出到的距离，则就可求出的最小值．
D.由条件知矩形为的素日圆的内接矩形，设长为，宽为，蒙日圆半径为，则可列出，利用不等式解出矩形面积最大值．
【解答】
解：当与一个斜率为，另一个斜率不存在时，易知交点，
当与的斜率均不为时，可设且，
因为过点的切线方程为，
所以联立得
，
因为与椭圆相切，所以，
整理得，
而与即为式的两根，
，
，
所以蒙日圆的方程为，
，
所以蒙日圆的方程为，故A正确
B.直线过定点，
而刚好在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，
由蒙日圆的定义知，故 B错误；
C.点在椭圆上，，
的最小值为到到的距离，
而到的距离为，
，
的最小值为，故 C错误．
D.因为矩形的四条边均与相切，所以矩形为的素日圆的内接矩形，
设长为，宽为，蒙日圆半径为，，则，
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选AD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．
由直线可知：椭圆的焦点在轴上，又过点，，即可求得和的值，求得椭圆方程；将直线方程代入椭圆方程，求解出交点，利用两点间距离公式求解即可．
【解答】
解：由题意可知：椭圆：上，由点，，焦点在轴上，
则，，
椭圆的标准方程：；
Ⅱ设，，
则，消去，整理得，
则，，，，
则．
故答案为：；．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．
设，，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得，，有，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和的值．
【解答】
解：设，，
由，，
可得，，
即有，，
又，
即为，
又，
得，
可得，
解得，，
则，
即有
，
即有时，有最大值，
即点横坐标的绝对值最大．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算在直线与圆锥曲线位置关系问题中的应用，属于较难题．
设运用向量共线的坐标表示，结合点在椭圆上满足椭圆方程，可得的轨迹方程，由点到直线的距离公式可得最小值．
【解答】
解：设，
由，
得则，
同理，
于是．
又，则，所以点的轨迹是直线，
即为原点到直线的距离，
所以．
故答案为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、、轴对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
设，，线段的中点根据此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，可设直线的方程可设为与椭圆方程联立可得，及其根与系数的关系，利用中点坐标公式可得代入直线，解得代入即可解出．
【解答】
解：设，，线段的中点
此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，
直线的方程可设为．
联立，化为．
，解得．
，
，
．
代入直线可得：，解得．
代入可得：，解得．
的取值范围是．
故答案为．
12.【答案】解：Ⅰ由题解得
所以椭圆的方程为．
Ⅱ证明：由知，，
设，则，
，
设直线方程为，直线方程为，
由解得点．
由于，
于是直线的方程为，直线的方程为．
由，解得点．
于是，所以轴．
设中点为，则点的纵坐标为．
故中点在定直线上．
从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，
所以为等腰三角形．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的方程和性质，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．
Ⅰ由题可得求出，，即可得到椭圆方程；
Ⅱ求出，设直线方程为，直线方程为，通过联立直线与椭圆方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，推出，即可证明为等腰三角形．
13.【答案】解：，，
与轴垂直，
直线的方程为，
由，解得或
的坐标为或，
直线的方程为或；
当与轴重合时，，
当与轴垂直时，为的垂直平分线，
，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
，，则，，
则，
由，，得，
将代入，整理可得，
则，，，
，
从而，
故，的倾斜角互补，
，
综上，．
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
先得到的坐标，再求出点的坐标，即可得解；
对直线的斜率分三种情况讨论，当与轴不重合也不垂直时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．
14.【答案】解：由已知得 ，，
又，
解得，
椭圆的方程为．
由题意知，直线斜率存在，可设直线方程为，将其代入，
得，
设，，
，解得，
由根与系数的关系，得，
为锐角，
，
，
，
，
代入，，
化简得，
解得，
由且，
解得
【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用已知条件求出，再根据离心率，可解椭圆的标准方程．
设直线的方程为，点，，通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式的符号，求解的范围即可．
15.【答案】解：Ⅰ由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，
设双曲线方程为，
则，
，
，
解得，，
双曲线方程为．
Ⅱ设，，分别代入双曲线可得，，
两式相减，得，
点为的中点，可得，，
则，
，
直线的方程为，
把代入，
消去得，
，，，
．
【解析】Ⅰ设双曲线方程为，由题意得，结合，，，从而可得双曲线方程．
Ⅱ设、的坐标分别为、，利用点差法能求出所在直线的方程，联立双曲线方程，再根据弦长公式即可求出
本题考查双曲线的标准方程，考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，利用点差法解决圆锥曲线中点弦问题，属于较综合的中档题．
16.【答案】解：由题意：，，
所以直线的方程为，所以，
因为．
所以，
由在椭圆上可得：
椭圆的标准方程为：．
设直线：，点，点
所以 ，，
所以直线：，直线：，
设点，
所以 ， ，
令，，
所以
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，平面向量运算及其坐标表示，直线和椭圆的位置关系，属难题，
由题意：，，所以直线的方程为，所以，且，即可得到的坐标，即可得到椭圆的标准方程；
设直线：，点，点，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到，，直线：，直线：，设点，由，得到 ，令，则 ，根据韦达定理得到，即可求解．
第1页，共1页
已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左、右焦点为，为坐标原点，直线过交于两点，若的周长为，则( )
A. 椭圆焦距为； B. 椭圆方程为；
C. 弦长； D. ．
已知直线：被椭圆：截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有( )
A. B. C. D.
画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是( )
A. 的蒙日圆的方程为
B. 对直线上任意点，
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
已知点，在椭圆：上，则椭圆的方程为 ，若直线交椭圆于，两点，则 ．
已知点，椭圆上两点，满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大．
过点的直线与椭圆交于点和，且点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是 ．
已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：为等腰三角形．
设椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
当与轴垂直时，求直线的方程；
设为坐标原点，证明：．
已知椭圆：的短轴长为，离心率为
求椭圆的方程；
设过定点的直线与中的椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．
已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
Ⅰ求双曲线的方程．
Ⅱ经过点作直线交双曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程并求弦长．
在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为过左顶点且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点，且．
求椭圆的标准方程；
过点且不与轴重合的直线交椭圆于点，连接并延长交于点若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线和椭圆的位置关系及中点弦问题，属基础题．
利用“点差法”即可得出直线的斜率，利用点斜式即可得出方程．
【解答】
解：设直线与椭圆相交于两点，
代入椭圆方程可得，，
两式相减得，
，，，
，解得．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，及圆锥曲线中的面积最大问题，属于基础题．
设，的面积是，当最大时，的面积取最大值，直线与轴垂直时，的面积取最大值．
【解答】
解：设，则，
的面积是，
当最大时，的面积取最大值，
所以直线与轴垂直时，的面积取最大值，
则的面积的最大值为．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质，向量的坐标运算，属于基础题．
根据条件结合向量的坐标运算可得，，从而求出答案．
【解答】
解： 由题意，可设，
设，，，，
，，
，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力．
当直线的斜率不存在或为时，易推导出；当直线的斜率存在且不为时，设直线：，：，分别利用弦长公式求出、的长度，由此能推导出为定值．
【解答】
解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，：，
则：此时，，
则；
同理易得当直线的斜率为时，；
当直线的斜率存在且不为时，
设：，则 ：．
又设点，
联立方程组，
消去并化简得，
，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得．
为定值．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系，椭圆中的弦长及面积问题，属基础题．
依题意，，可判断，根据椭圆定义得，，进而求得，判断，
联立，根据弦长公式求得，可判断，求出到直线的距离，计算三角形的面积，可判断．
【解答】
解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；
的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得，
所以，所以椭圆方程为，故B正确；
联立得，，
所以，故C正确；
到直线的距离，
所以故D错误，
故选BC．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由于直线：被椭圆 截得的弦长为，根据对称性即可判断出结论．
【解答】
解：由于直线：被椭圆截得的弦长为，
根据对称性可得：，，满足条件．
直线被椭圆截得的弦长不为．
综上可得：下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有．
故选ACD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的相关知识，包括概念、方程、性质、几何意义、直线与椭圆的位置关系．
A.考虑与斜率的所有情况，然后设出点及过点的切线方程，然后与椭圆方程相联立，可得与相关式子，进行化简从而得到蒙日圆方程．
B.由题意知直线过的定点在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，由蒙日圆的定义可知的关系．
C.因为点在椭圆上，通过椭圆定义可得到的最小值为到到的距离，并可表示出到的距离，则就可求出的最小值．
D.由条件知矩形为的素日圆的内接矩形，设长为，宽为，蒙日圆半径为，则可列出，利用不等式解出矩形面积最大值．
【解答】
解：当与一个斜率为，另一个斜率不存在时，易知交点，
当与的斜率均不为时，可设且，
因为过点的切线方程为，
所以联立得
，
因为与椭圆相切，所以，
整理得，
而与即为式的两根，
，
，
所以蒙日圆的方程为，
，
所以蒙日圆的方程为，故A正确
B.直线过定点，
而刚好在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，，
由蒙日圆的定义知，故 B错误；
C.点在椭圆上，，
的最小值为到到的距离，
而到的距离为，
，
的最小值为，故 C错误．
D.因为矩形的四条边均与相切，所以矩形为的素日圆的内接矩形，
设长为，宽为，蒙日圆半径为，，则，
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选AD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．
由直线可知：椭圆的焦点在轴上，又过点，，即可求得和的值，求得椭圆方程；将直线方程代入椭圆方程，求解出交点，利用两点间距离公式求解即可．
【解答】
解：由题意可知：椭圆：上，由点，，焦点在轴上，
则，，
椭圆的标准方程：；
Ⅱ设，，
则，消去，整理得，
则，，，，
则．
故答案为：；．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．
设，，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得，，有，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和的值．
【解答】
解：设，，
由，，
可得，，
即有，，
又，
即为，
又，
得，
可得，
解得，，
则，
即有
，
即有时，有最大值，
即点横坐标的绝对值最大．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算在直线与圆锥曲线位置关系问题中的应用，属于较难题．
设运用向量共线的坐标表示，结合点在椭圆上满足椭圆方程，可得的轨迹方程，由点到直线的距离公式可得最小值．
【解答】
解：设，
由，
得则，
同理，
于是．
又，则，所以点的轨迹是直线，
即为原点到直线的距离，
所以．
故答案为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、、轴对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
设，，线段的中点根据此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，可设直线的方程可设为与椭圆方程联立可得，及其根与系数的关系，利用中点坐标公式可得代入直线，解得代入即可解出．
【解答】
解：设，，线段的中点
此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，
直线的方程可设为．
联立，化为．
，解得．
，
，
．
代入直线可得：，解得．
代入可得：，解得．
的取值范围是．
故答案为．
12.【答案】解：Ⅰ由题解得
所以椭圆的方程为．
Ⅱ证明：由知，，
设，则，
，
设直线方程为，直线方程为，
由解得点．
由于，
于是直线的方程为，直线的方程为．
由，解得点．
于是，所以轴．
设中点为，则点的纵坐标为．
故中点在定直线上．
从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，
所以为等腰三角形．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的方程和性质，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．
Ⅰ由题可得求出，，即可得到椭圆方程；
Ⅱ求出，设直线方程为，直线方程为，通过联立直线与椭圆方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，推出，即可证明为等腰三角形．
13.【答案】解：，，
与轴垂直，
直线的方程为，
由，解得或
的坐标为或，
直线的方程为或；
当与轴重合时，，
当与轴垂直时，为的垂直平分线，
，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
，，则，，
则，
由，，得，
将代入，整理可得，
则，，，
，
从而，
故，的倾斜角互补，
，
综上，．
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
先得到的坐标，再求出点的坐标，即可得解；
对直线的斜率分三种情况讨论，当与轴不重合也不垂直时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．
14.【答案】解：由已知得 ，，
又，
解得，
椭圆的方程为．
由题意知，直线斜率存在，可设直线方程为，将其代入，
得，
设，，
，解得，
由根与系数的关系，得，
为锐角，
，
，
，
，
代入，，
化简得，
解得，
由且，
解得
【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用已知条件求出，再根据离心率，可解椭圆的标准方程．
设直线的方程为，点，，通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式的符号，求解的范围即可．
15.【答案】解：Ⅰ由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，
设双曲线方程为，
则，
，
，
解得，，
双曲线方程为．
Ⅱ设，，分别代入双曲线可得，，
两式相减，得，
点为的中点，可得，，
则，
，
直线的方程为，
把代入，
消去得，
，，，
．
【解析】Ⅰ设双曲线方程为，由题意得，结合，，，从而可得双曲线方程．
Ⅱ设、的坐标分别为、，利用点差法能求出所在直线的方程，联立双曲线方程，再根据弦长公式即可求出
本题考查双曲线的标准方程，考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，利用点差法解决圆锥曲线中点弦问题，属于较综合的中档题．
16.【答案】解：由题意：，，
所以直线的方程为，所以，
因为．
所以，
由在椭圆上可得：
椭圆的标准方程为：．
设直线：，点，点
所以 ，，
所以直线：，直线：，
设点，
所以 ， ，
令，，
所以
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，平面向量运算及其坐标表示，直线和椭圆的位置关系，属难题，
由题意：，，所以直线的方程为，所以，且，即可得到的坐标，即可得到椭圆的标准方程；
设直线：，点，点，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到，，直线：，直线：，设点，由，得到 ，令，则 ，根据韦达定理得到，即可求解．
第1页，共1页