3.1.2课时3：椭圆的综合问题- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）

3.1.2课时3：椭圆的综合问题
椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
椭圆的左顶点到右焦点的距离为( )
A. B. C. D.
椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
已知椭圆的离心率为，则 ( )
A. B. C. D.
设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为
如图，椭圆与有公共的左顶点与左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
若椭圆的离心率为，则 ．
已知椭圆的离心率，则的值等于 ．
黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”：的左右顶点分别为，，“优美椭圆”上动点异于椭圆的左右顶点，设直线，的斜率分别为，，则 ．
如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于 ．
已知椭圆，为坐标原点，动直线与椭圆相交于，两点，且，为直线上一点，满足，则动点的轨迹方程是 ，点的轨迹所形成图形的面积为 ．
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
已知：实数使得焦点在轴上的椭圆的离心率．
求实数的取值范围；
若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题．
直接利用椭圆方程，求解长轴长即可．
【解答】
解：椭圆的长轴长．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质，注意运用椭圆方程求得基本量，，，属于基础题．
求得椭圆的，，由，可得，即可得到左顶点到右焦点，进而得到它们的距离．
【解答】
解：由椭圆知，则，
椭圆的左顶点为，右焦点，
椭圆的左顶点到右焦点的距离为．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
由椭圆的焦点在轴上，表示出长轴和短轴，利用长轴长是短轴长的两倍，列方程可得答案．
【解答】
解：由椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
可得，
解得．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：椭圆：的一个焦点为，
可得，解得，
，
．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
由椭圆的焦点得，且，得，即可得出椭圆的离心率．
【解答】
解：由椭圆：的一个焦点为，
则，且，得，则，
所以的离心率为．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质，注意将椭圆的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析、的值，计算可得的值，由椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】
解：将椭圆方程化为标准方程得，
所以，，，
所以长轴长为，
短轴长为，
离心率为．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆几何性质，依题意，属于基础题．
根据椭圆方程及，即可求得结果．
【解答】
解：因为椭圆的离心率为，
所以，
得．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．
考虑椭圆的焦点在轴或轴这两种情况，分别列不等关系计算即可．
【解答】
解：若椭圆的焦点在轴上，此时，
则有，解得；
若椭圆的焦点在轴上，此时，
则有，解得，
故实数的取值范围为．
故选AD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的方程与性质，属于中档题．
求出椭圆的，，可得结果．
【解答】
解：由题意易知椭圆的短半轴，
截面与底面所成的角为，
椭圆的长轴长为，
，，
离心率为，，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，
则椭圆的方程为．
故选ABD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题．
利用位置关系，求出，，进而判断各个选项即可．
【解答】
解：由题可知，且，，
，A正确；
，故B正确；
又，即，，故C错误；
，即，故D正确．
故选ABD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，是基础题．
先判断焦点在轴上，利用离心率公式列出方程，求解即可．
【解答】
解：椭圆的方程为： ，
即，
则椭圆的焦点在轴，，
解得．
故答案为．

12.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
通过椭圆焦点在轴上或焦点在轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出、、值，由离心率为建立关于的方程，解之即可得到实数．
【解答】
解：由题意可得，，
椭圆，
当椭圆焦点在轴上时，，，
则，
可得，
离心率，解得；
当椭圆焦点在轴上时，，，
则，
可得，
离心率，
解得．
综上所述，或．
故答案为或．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．
设点坐标，，，根据直线的斜率公式和椭圆的离心率公式，即可求得．
【解答】
解：设，，，
“优美椭圆”的左顶点，右顶点，
则
，
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设圆的半径为，由题意可得，根据离心率与，，的关系可得，所以，所以
本题以二面角为载体，考查与二面角有关的立体几何综合题，以及椭圆的性质，是解析几何与立体几何结合的一道综合题．
【解答】
解：由题意可得：平面上的一个圆在平面上的射影是一个离心率为的椭圆，
也可以说为：上的一个离心率为的椭圆在上的射影是一个圆，
设圆的半径为，所以，
又因为，并且，所以
所以，所以．
故答案为．

15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系及点的轨迹的求法，属于拔高题．
设，设则，得，在直角三角形中，设，则，得为定值，即可求解．
【解答】
解：设，，由得到，
设，则，即，
因为，在椭圆上，
所以
则，
在直角三角形中，设，
，，
，
得，
得为定值，
则动点的轨迹方程是：，
点的轨迹所形成图形的面积为．
故答案为：．

16.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即

由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
17.【答案】解：焦点在轴上，，
，，
，，
故实数的取值范围是．
，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
，
所以，
解得．

【解析】本题考查根据充分不必要条件求参数，椭圆的性质及几何意义，属于中档题．
根据，求得的取值范围．
根据充分不必要条件的知识可知，由此列不等式组，可求得的取值范围．
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