3.2.1 双曲线及其标准方程- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）（含答案）

3.2.1 双曲线及其标准方程
已知，，动点满足，则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
双曲线的焦点坐标是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
平面内动点到两定点，的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
已知：，：方程表示双曲线，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知点在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为，则下列判断正确的有( )
A. 点到轴的距离为 B.
C. 为钝角三角形 D.
已知双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为 ．
方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
已知，是等轴双曲线：的左、右焦点，点在上，，则等于 ．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，且，若，则等于 ．
已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为 ．
已知双曲线经过两点，求该双曲线的标准方程及其焦距．
已知双曲线：中，且过点，求双曲线的标准方程和焦点坐标．
如图，若是双曲线的两个焦点．
若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
若是双曲线左支上的点，且，试求的面积．
如图所示，地在地的正东方向千米处，地在地的北偏东方向千米处，河流的沿岸曲线上任意一点到的距离比到的距离远千米．现要在曲线上选一处建一座码头，向，两地转运货物．经测算，从到，两地修建公路的费用都是万元千米，求修建这两条公路的最低总费用．
已知双曲线过点和点．
求双曲线的标准方程；
若点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值．
如图，平面上，，两点间距离为，为的中点，现一动点，它在运动过程中始终保持到点的距离比到点的距离大共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出动点运动的轨迹方程；
当的面积为时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义及标准方程，属基础题．
由题意可得，，，即可求解．
【解答】
解：由题意知点满足双曲线的定义，
且点在以，为焦点的双曲线的右支上，
由此可知，，则，
因此点的轨迹方程是．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在轴上，由平方关系算出，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：双曲线方程可得双曲线的焦点在轴上，且，，
由此可得，
该双曲线的焦点坐标为，．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，由双曲线的定义得即可求解．
【解答】
解：动点的轨迹为双曲线，．
，且，
，且．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握，属于基础题．
由椭圆可得焦点为，设要求的双曲线的标准方程为：，可得，，联立解出即可得出．
【解答】
解：由椭圆可得焦点为，
设要求的双曲线的标准方程为：，
则，，
解得，，
所求的双曲线的标准方程为：．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件的判断以及双曲线的标准方程，属于基础题．
根据双曲线标准方程求出的范围，结合充分、必要条件的定义进行判断即可，
【解答】
解：：方程表示双曲线，
，
或．
又：
，，
故是的充分条件；反过来不成立，
则是的充分不必要条件
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，双曲线的焦点三角形问题，余弦定理．
根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【解答】
解：由双曲线方程得，，则，
由的面积为，
得，得，即点到轴的距离为，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在中，，
则，为钝角，
则为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的定义，即双曲线是到两定点距离之差的绝对值等于定值的点的集合先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到，进而分析可求出的值，得到答案．
【解答】
解：双曲线，
其焦点坐标为：，，
点在双曲线上，
，
由于
或舍去，
故答案为：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
利用双曲线的简单性质列出不等式求解即可．
【解答】
解：方程表示焦点在轴上的双曲线，
可得：，且，
解得：
故答案为

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．
根据双曲线方程，算出焦距，中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于、的方程组，联解即可得到的值．
【解答】
解：双曲线的方程为：，
，得
由此可得，，焦距
，
，即
又点在双曲线：上，
，平方得
，得
故答案为：

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
先根据双曲线的定义和几何性质求出参数的关系即可求解．
【解答】
解：连接，取的中点，连接，则由，
则，即在中，，
则，即．
故答案为．

11.【答案】．
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题，考查双曲线的定义，熟练掌握两圆相内切与外切的性质及其双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．
利用两圆相内切与外切的性质可得再利用双曲线的定义可得：动圆的圆心在以定点，为焦点的双曲线的右支上．
【解答】
解：由圆：，可得圆心，半径；
由圆：可得圆心，半径．
设动圆的半径为，由题意可得，．
．
由双曲线的定义可得：动圆的圆心在以定点，为焦点的双曲线的右支上．
，．
动圆圆心的轨迹方程为．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查双曲线的方程及概念，考查与圆有关的最值问题，属于中档题．
熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．
【解答】
解：双曲线的方程为，
则，双曲线焦点为、，圆心为，半径为，
所以为左焦点，设右焦点为，
，
则，
当、、共线时，等号成立；
又，
当、、共线时，等号成立，
的最小值为，
故答案为．

13.【答案】解：设双曲线方程为
依题意得
解得，
所以所求双曲线的标准方程为．
因为，所以，
故焦距为．

【解析】本题考查了双曲线的标准方程以及焦距，属于基础题．
设双曲线方程为，代入所过的两点得到关于的方程，从而可求标准方程及其焦距．
14.【答案】解：，．
双曲线方程为：．
又该双曲线过点，
将点代入得．
双曲线的方程为，焦点坐标为，．
【解析】本题考查双曲线的概念及标准方程，属基础题．
根据得，再根据过点求得的值，从而求得双曲线的标准方程和焦点坐标；
15.【答案】解：是双曲线的两个焦点，
则
设点到另一个焦点的距离为，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点到另一个焦点的距离为或．
是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以．

【解析】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于中档题．
设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值．
由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积．
16.【答案】解：如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
则，，连接．
，
点的轨迹是双曲线的右支．
又，
当，，三点共线时等号成立．
又总费用为万元，且，
修建这两条公路的最低总费用为万元．

【解析】本题考查双曲线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
由题意得点的轨迹是双曲线的右支，得，即可求解．
17.【答案】解：设双曲线的标准方程为，
因为点和点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线的标准方程为，
因为点在双曲线上，且，
所以点在双曲线的右支上，
则有，
故，，
又，
因此在中，

，
所以的余弦值为．
【解析】本题考查双曲线的方程与性质及余弦定理的应用，属于较难题．
设双曲线的标准方程为，代入两点坐标，即可求出；
由已知条件及，求出、，代入的余弦公式，即可求得．
18.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，
建立直角坐标系，则，，
设点，则，
所以动点是以点，为焦点的双曲线的右支，
由题得，，
所以，，
所以，
故动点的轨迹方程为
设，则，
在中，
由余弦定理得，
则，
若的面积为，
则
，
化简得，
解得或舍去．
要在内画一个圆，保证圆的面积最大，该圆只能为该三角形的内切圆，
设内切圆的半径为，
则，
解得，
故可画出圆的最大面积为．
【解析】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，双曲线方程以及性质以及余弦定理和三角形的面积问题，属较难题．
数形结合，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，建立直角坐标系，结合题意即可得到动点是以点，为焦点的双曲线的右支，结合双曲线的标准方程及性质即可求方程
设，则，在中，由余弦定理得，则，解得，结合题设在内画一个圆，要使圆的面积最大只能为该三角形的内切圆，运用三角形等面积法求得圆半径结合圆的面积公式即可求得结果．
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