3.2.2课时1：双曲线的简单几何性质- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）

3.2.2课时1：双曲线的简单几何性质
双曲线：的离心率是( )
A. B. C. D.
双曲线的两条渐近线夹角是( )
A. B. C. D.
双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是( )
A. B. C. D.
已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距大于，则双曲线的标准方程可以为 写出一个即可
已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ．
双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
若方程所表示的曲线为，则有以下几个命题：
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线表示双曲线；
当时，曲线表示圆；
存在，使得曲线为等轴双曲线．
以上命题中正确的命题的序号是 ．
已知双曲线：的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，则有 ．
A.渐近线方程为 渐近线方程为
C.
已知双曲线的方程为，求此双曲线的焦点坐标，渐近线方程，顶点坐标，离心率．
已知双曲线方程是
Ⅰ若离心率，求双曲线的渐近线方程；
Ⅱ求双曲线焦点到渐近线的距离
已知双曲线的实轴长为．
若的一条渐近线方程为，求的值；
设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为，求的标准方程
已知焦点在轴上的椭圆的方程为，求的取值范围：
已知双曲线的离心率，求实数的取值范围．
已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用双曲线方程，化为标准形式，然后求解，得到离心率即可．
【解答】
解：双曲线：化为标准方程是，
其离心率是．
故答案选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
【解答】
解：双曲线的两条渐近线的方程为：，
所对应的直线的倾斜角分别为，，
双曲线的两条渐近线的夹角为，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
双曲线，即的虚轴长是实轴长的倍，列出方程，可求得的值．
【解答】
解：双曲线的虚轴长是实轴长的倍，实轴长为，虚轴长为，
可得，
．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程及几何意义．
根据等轴双曲线知，根据焦点到渐近线的距离为知，故此求得双曲线的标准方程．
【解答】
解：根据等轴双曲线知，
又因为焦点到渐近线的距离为，所以，
故该双曲线的方程为：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是，属于基础题．
写出双曲线的标准方程，由双曲线的虚轴长是实轴长的倍，即可求出的值．
【解答】
解：双曲线的标准方程为，
则，，，
由双曲线的虚轴长是实轴长的倍，
可得，即，解得，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出的值．
【解答】
解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程结合已知可得，再由双曲线离心率的计算公式求解即可，一定要注意．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线为，
直线可化为，
由题意可得，即，
又，
，
又双曲线离心率，
双曲线离心率．
故选C．

8.【答案】满足或即可
【解析】
【分析】
由题意结合双曲线的渐近线可设双曲线的标准方程为，按照、讨论，结合双曲线的焦距分别求得的取值范围即可得解．
本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属于中档题．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线的标准方程为，
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
双曲线的标准方程为或，
令可得双曲线的标准方程为．
故答案为：满足或即可．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围．
首先判断二次曲线为双曲线，将方程化为标准方程，再由离心率公式，即可得到范围．
【解答】
解：，
曲线方程化为，曲线为双曲线，．
，．
故答案为

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质、圆的切线方程．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．
求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到直线的距离，
．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】
解：双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判定，圆锥曲线中的综合问题，属于中档题．
对各项逐一判断进而得出正确的命题的序号．
【解答】
解：方程所表示的曲线为，
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，故错误；
当时，，曲线表示双曲线，正确；
当时，曲线表示圆，正确；
因为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故错误．
故答案为．

13.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查直线和圆的位置关系，弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用双曲线的离心率公式，可设，，，求得，可得双曲线的渐近线方程，以及圆心和半径，由弦长公式可得，判断的形状，可得的大小．
【解答】
解：由题意可得，
可设，，，
则，，
圆的圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有．
故答案为：，．

14.【答案】解：，
，则
因此焦点坐标为，渐近线方程为
顶点坐标为，离心率为．

【解析】本题主要考查了双曲线的基本性质，关键是要熟记基本性质，属于基础题．
利用双曲线方程得出，结合双曲线的性质即可求解．
15.【答案】解：Ⅰ离心率，则，
即，
．
则双曲线的渐近线方程为．
Ⅱ由Ⅰ得，即，
因为，
所以，
取双曲线一个焦点为，
取一渐近线为，即．
所以焦点到渐近线的距离为：
【解析】本题考查了双曲线的性质及几何意义，涉及到点到直线的距离公式，属于基础题．
Ⅰ已知双曲线的离心率，则，进而求得从而得到其渐近线方程；
Ⅱ由Ⅰ得，即，因为，所以，取双曲线一个焦点为，利用点到直线的距离公式即可求得焦点到渐近线的距离．
16.【答案】解：因为双曲线的实轴长为，
即，则，
又双曲线一条渐近线方程为，
即，
所以．
双曲线定义可得：，
又，的面积为，
所以：，且，
所以，
故，
所以，因此，；
故双曲线的标准方程为：．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
利用双曲线的简单性质求出，然后由渐近线方程求解即可．
利用双曲线的定义，结合的面积及勾股定理可得，进而求出，即可求解双曲线方程．
17.【答案】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
解之得，
故实数的取值范围是．
解：若双曲线的离心率，
，
则有，即
解得，
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程，双曲线的方程及几何性质，属于中档题．
根据焦点在轴上，由此建立关于的不等式组，解之即得实数的取值范围；
根据双曲线的离心率，得到关于的不等式，解之可得．
18.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，坐标为，
则点到渐近线距离为，
所以又因为，
解得，
故所求双曲线的渐近线方程是．
因为，由余弦定理得
，
即．
又由双曲线的定义得，
平方得，
相减得．
根据三角形的面积公式得
，
得再由中结论得，
故所求双曲线方程是．
【解析】本题考查双曲线方程的求法以及双曲线的简单性质、涉及余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题．
根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离即可求出和的关系，问题得以解决，
根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得，问题得以解决．
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