3.2.2课时2：直线与双曲线的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.2课时2：直线与双曲线的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 302.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:55:33 | ||
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文档简介
3.2.2课时2：直线与双曲线的位置关系
已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
A. B. C. D.
已知，是双曲线：的两个焦点，，离心率为，是双曲线上的一点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知双曲线：，若直线：与双曲线交于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于、两点，若，则满足条件的的条数为 ．
若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，则的值为 ．
直线与双曲线相交于不同的两点．
若点分别在双曲线的左、右两支上，则实数的取值范围为 ；
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则实数的值为 ．
已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则 ．
设，分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
如图，平面上，、两地间距离为，为中点，处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且、间距离为，现一机器人正在运行，它在运行过程中始终保持到地的距离比到地的距离大、、、及电波直线均共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出机器人运行的轨迹方程；
为了使机器人免受处发射的电波的影响即机器人接触不到过点的直线，求出电波所在直线斜率的取值范围．
已知双曲线：的两条渐近线方程为，且点为上一点．
求的标准方程；
设为在第一象限的任一点，过的直线与恰有一个公共点，且分别与的两条渐近线交于点，，设为坐标原点，证明：面积为定值．
已知双曲线的离心率为，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点且．
求双曲线的标准方程．
设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系．突出考查了双曲线的几何性质．由双曲线方程可知其渐近线为，分别考虑所求直线的情况有直线的斜率不存在与渐近线平行，即可求解．
【解答】
解：由题意可得：双曲线的渐近线方程为：，
点是双曲线的右顶点，故直线与双曲线只有一个公共点；
过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，有条，
所以，过的直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有条．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程结合已知可得，再由双曲线离心率的计算公式求解即可，一定要注意．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线为，
直线可化为，
由题意可得，即，
又，
，
又双曲线离心率，
双曲线离心率．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于基础题．
由题意可设直线的方程为，根据直线与双曲线相交于右支得，利用直线与双曲线相交的弦长计算公式计算得结论
【解答】
解：设直线的方程为，，．
由得，
则，，
又因为，且、是直线与双曲线右支的交点，
所以，且，
即，且，
解得，且，
所以，
所以直线的方程为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．
设，由题意求出，再由三角形面积公式求解．
【解答】
解：由已知得．
设，
由，得，
所以，
代入，解得．
所以，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．
先求出双曲线的方程，再结合是双曲线上的一点，若，即可求出的取值范围．
【解答】
解：由题意，，，，
双曲线方程为．
，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出切线的斜率，再利用圆的一条切线与双曲线没有公共点，得到，，即可求出双曲线的离心率的取值范围．
【解答】
解：由题意，圆心到直线的距离，，
圆的一条切线与双曲线没有公共点，
与其中一条渐近线斜率比较即可，
，，
双曲线的离心率的取值范围是．
故答案选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线和直线的位置关系、中点坐标公式、斜率公式等知识，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设，，线段的中点为，根据二次方程根与系数的关系和中点坐标公式，以及斜率公式即可求出．
【解答】
解：设，，
由
则
且，，
设的中点为，则，，
，在以为圆心的圆上，，
为的中点，
，
，，
由得或，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及弦长问题，属于中档题．
根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：只与双曲线右支相交，与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．
【解答】
解：，，，则，若、都在右支上，
当垂直于轴时，将代入得，则，满足，
若、分别在两支上，，两顶点的距离为，
满足的直线有条，且关于轴对称，
综上满足条件的的条数为．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
将直线与双曲线联立得出线段的中点坐标，代入圆的方程可得的值．
【解答】
解：设，两点的坐标分别为，，线段的中点为
由得，
则，
，．
点在圆上，
，．
故答案为．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由直线与双曲线，得，利用，在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；
设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值．
【解答】
解：由直线与双曲线，得，
因为， 在双曲线的左右两支上，所以，
解得
假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点，设，，
则，即，
，
即，
，
整理得，符合条件，
．
故答案为；．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于拔高题．
由离心率公式和，，的关系，设出的方程，以及，，，运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的的位置，由三角形的面积公式，可得所求值．
【解答】
解：离心率为，即，，
，，可得的方程为，
设，，，
可得，
由表示原点与的距离的平方，
显然垂直于时，最小，
由：，即，联立直线，
可得，即，
当与重合时，可得最大，
可得，
即有．
故答案为：．
12.【答案】解：双曲线的渐近方程为，焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
又，
，
双曲线的方程为．
设点，
由得： ，
，
，，
有
又点在双曲线上， ，
解得，点在双曲线的右支上，
，
，此时点．
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，的方程，再由，，间的平方关系即可求得；
设，，，则，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值．
13.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则，
设点，则，
所以动点是以点为焦点的双曲线的右支，
由题得，
所以，
所以动点的轨迹方程为．
由题得点的坐标为，
设直线的方程为，即：，
联立直线和，
消去得
当时，若，此时直线就是双曲线的渐近线，符合题意；
当，此时直线与双曲线右支一定有交点，不符合题意；
当时，由得，
所以，
所以．
综合得．
所以电波所在直线斜率的取值范围．
【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题、直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
以点为坐标原点，以所在的直线建立直角坐标系，利用定义法求出动点的轨迹方程；
设直线的方程为，联立直线和双曲线的方程进行求解即可．
14.【答案】解：当时，的标准方程为，代入，解得．
故E的标准方程为
直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．
由题意，且，化简得：．
设，
将与联立，解得；与联立，解得
由，，故面积为定值．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系中证明面积为定值．
由以及点坐标代入方程，联立解得，，得到方程；
设直线方程为，与双曲线方程联立，得：与渐近线方程联立解得，进而把面积用，表示，由可证为定值．
15.【答案】解：设双曲线的焦距为，由双曲线的离心率为知，所以，
从而双曲线的方程可化为，
由得，
设，，
因为，
所以，，
因为，所以，
于是，解得，
所以双曲线的标准方程为；
假设存在，点满足题设条件．由知双曲线的右焦点为，
设为双曲线右支上一点，
当时，因为，
所以，于是，所以．
当时，，，
因为，所以，
将代入并整理得，
所以，解得．
综上，满足条件的点存在，其坐标为．
【解析】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题意可得，，，，直线的方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到的值，进而得到双曲线的方程；
假设存在，点满足题设条件，分类讨论，进行求解即可．
第1页，共1页
已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
A. B. C. D.
已知，是双曲线：的两个焦点，，离心率为，是双曲线上的一点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知双曲线：，若直线：与双曲线交于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于、两点，若，则满足条件的的条数为 ．
若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，则的值为 ．
直线与双曲线相交于不同的两点．
若点分别在双曲线的左、右两支上，则实数的取值范围为 ；
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则实数的值为 ．
已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则 ．
设，分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
如图，平面上，、两地间距离为，为中点，处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且、间距离为，现一机器人正在运行，它在运行过程中始终保持到地的距离比到地的距离大、、、及电波直线均共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出机器人运行的轨迹方程；
为了使机器人免受处发射的电波的影响即机器人接触不到过点的直线，求出电波所在直线斜率的取值范围．
已知双曲线：的两条渐近线方程为，且点为上一点．
求的标准方程；
设为在第一象限的任一点，过的直线与恰有一个公共点，且分别与的两条渐近线交于点，，设为坐标原点，证明：面积为定值．
已知双曲线的离心率为，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点且．
求双曲线的标准方程．
设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系．突出考查了双曲线的几何性质．由双曲线方程可知其渐近线为，分别考虑所求直线的情况有直线的斜率不存在与渐近线平行，即可求解．
【解答】
解：由题意可得：双曲线的渐近线方程为：，
点是双曲线的右顶点，故直线与双曲线只有一个公共点；
过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，有条，
所以，过的直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有条．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程结合已知可得，再由双曲线离心率的计算公式求解即可，一定要注意．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线为，
直线可化为，
由题意可得，即，
又，
，
又双曲线离心率，
双曲线离心率．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于基础题．
由题意可设直线的方程为，根据直线与双曲线相交于右支得，利用直线与双曲线相交的弦长计算公式计算得结论
【解答】
解：设直线的方程为，，．
由得，
则，，
又因为，且、是直线与双曲线右支的交点，
所以，且，
即，且，
解得，且，
所以，
所以直线的方程为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．
设，由题意求出，再由三角形面积公式求解．
【解答】
解：由已知得．
设，
由，得，
所以，
代入，解得．
所以，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．
先求出双曲线的方程，再结合是双曲线上的一点，若，即可求出的取值范围．
【解答】
解：由题意，，，，
双曲线方程为．
，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出切线的斜率，再利用圆的一条切线与双曲线没有公共点，得到，，即可求出双曲线的离心率的取值范围．
【解答】
解：由题意，圆心到直线的距离，，
圆的一条切线与双曲线没有公共点，
与其中一条渐近线斜率比较即可，
，，
双曲线的离心率的取值范围是．
故答案选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线和直线的位置关系、中点坐标公式、斜率公式等知识，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设，，线段的中点为，根据二次方程根与系数的关系和中点坐标公式，以及斜率公式即可求出．
【解答】
解：设，，
由
则
且，，
设的中点为，则，，
，在以为圆心的圆上，，
为的中点，
，
，，
由得或，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及弦长问题，属于中档题．
根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：只与双曲线右支相交，与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．
【解答】
解：，，，则，若、都在右支上，
当垂直于轴时，将代入得，则，满足，
若、分别在两支上，，两顶点的距离为，
满足的直线有条，且关于轴对称，
综上满足条件的的条数为．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
将直线与双曲线联立得出线段的中点坐标，代入圆的方程可得的值．
【解答】
解：设，两点的坐标分别为，，线段的中点为
由得，
则，
，．
点在圆上，
，．
故答案为．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由直线与双曲线，得，利用，在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；
设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值．
【解答】
解：由直线与双曲线，得，
因为， 在双曲线的左右两支上，所以，
解得
假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点，设，，
则，即，
，
即，
，
整理得，符合条件，
．
故答案为；．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于拔高题．
由离心率公式和，，的关系，设出的方程，以及，，，运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的的位置，由三角形的面积公式，可得所求值．
【解答】
解：离心率为，即，，
，，可得的方程为，
设，，，
可得，
由表示原点与的距离的平方，
显然垂直于时，最小，
由：，即，联立直线，
可得，即，
当与重合时，可得最大，
可得，
即有．
故答案为：．
12.【答案】解：双曲线的渐近方程为，焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
又，
，
双曲线的方程为．
设点，
由得： ，
，
，，
有
又点在双曲线上， ，
解得，点在双曲线的右支上，
，
，此时点．
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，的方程，再由，，间的平方关系即可求得；
设，，，则，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值．
13.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则，
设点，则，
所以动点是以点为焦点的双曲线的右支，
由题得，
所以，
所以动点的轨迹方程为．
由题得点的坐标为，
设直线的方程为，即：，
联立直线和，
消去得
当时，若，此时直线就是双曲线的渐近线，符合题意；
当，此时直线与双曲线右支一定有交点，不符合题意；
当时，由得，
所以，
所以．
综合得．
所以电波所在直线斜率的取值范围．
【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题、直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
以点为坐标原点，以所在的直线建立直角坐标系，利用定义法求出动点的轨迹方程；
设直线的方程为，联立直线和双曲线的方程进行求解即可．
14.【答案】解：当时，的标准方程为，代入，解得．
故E的标准方程为
直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．
由题意，且，化简得：．
设，
将与联立，解得；与联立，解得
由，，故面积为定值．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系中证明面积为定值．
由以及点坐标代入方程，联立解得，，得到方程；
设直线方程为，与双曲线方程联立，得：与渐近线方程联立解得，进而把面积用，表示，由可证为定值．
15.【答案】解：设双曲线的焦距为，由双曲线的离心率为知，所以，
从而双曲线的方程可化为，
由得，
设，，
因为，
所以，，
因为，所以，
于是，解得，
所以双曲线的标准方程为；
假设存在，点满足题设条件．由知双曲线的右焦点为，
设为双曲线右支上一点，
当时，因为，
所以，于是，所以．
当时，，，
因为，所以，
将代入并整理得，
所以，解得．
综上，满足条件的点存在，其坐标为．
【解析】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题意可得，，，，直线的方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到的值，进而得到双曲线的方程；
假设存在，点满足题设条件，分类讨论，进行求解即可．
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