3.2.2课时3：双曲线的综合应用- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.2课时3：双曲线的综合应用- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 393.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:56:17 | ||
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文档简介
3.2.2课时3：双曲线的综合应用
已知平面中的两点，，则满足的点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条线段 D. 两条射线
已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，若，则 ( )
A. B. C. D. 或
经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程( )
A. B. C. D.
已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是( )
A. B. C. D.
求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程
当方程表示双曲线，则的取值范围 ．
已知分别为双曲线的左右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为 ．
对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：
离心率为一条渐近线的斜率为实轴长为，且焦点在轴上写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 ．
已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且垂直于轴若的斜率为，则的离心率为 ．
当方程表示双曲线时，的取值范围为 ．
已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点且，，则双曲线的标准方程为
已知双曲线：，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为且，，则的离心率为 ．
已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，则求出点的纵坐标．
已知方程表示双曲线．
求实数的取值范围；
当时，若点在双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，，试求的面积．
已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则求的最小值．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点不在轴上．
若，求的面积
若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，属于基础题．
由双曲线的定义直接得出结论．
【解答】
解：依题意，，
由双曲线的定义可知，点的轨迹表示焦点在轴上的双曲线．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
可以根据双曲线的定义直接进行解答．
【解答】
解：因为， ，
所以或，经验证都符合．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程，属基础题．
对焦点在和轴上进行分类讨论求解即可．
【解答】
解：当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，得，
双曲线的标准方程为，
当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，，
这种情况不存在，
综上所述，该等轴双曲线的方程为．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出的值．
【解答】
解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，
则有，
即有，
则双曲线的离心率的取值范围为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程的求解及等轴双曲线的定义，属于基础题．
由已知求出焦点坐标，从而得，然后利用等轴双曲线的定义求解．
【解答】
解：由题意，双曲线的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以双曲线的一个焦点坐标为，，
又双曲线为等轴双曲线，
可设双曲线的标准方程为，
，得，
即双曲线的标准方程为，
故双曲线的方程为．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，考查双曲线的性质及几何意义，考查渐近线方程，属于基础题．
根据题意设出双曲线的方程，把点代入即可．
【解答】
解：设所求双曲线的方程为：，
把点代入上式可得，
解得，
因此所求双曲线的方程为：．
故答案为．
8.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．
由方程表示双曲线，则，由此能求出的取值范围．
【解答】
解：若方程表示双曲线，
则，
解得或．
故答案为或．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线，考查双曲线的定义和三角形中位线定理，考查分析与计算能力，属于中档题．
设切点为，连接，过作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到、的关系，进而得到渐近线方程．
【解答】
解：设切点为，连接，过作，垂足为，
，
又为的中点，
为的中位线，
故，
与圆 相切，且，
，，，
则，
在直角三角形中，
可得，即，
有，
由双曲线的定义可得，
可得，
即双曲线的渐近线方程为，
故答案为．
10.【答案】；
；
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
选择条件，，，分别求解双曲线的实半轴，虚半轴的长，写出一个标准方程即可．
【解答】
解：如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
一条渐近线的斜率为，
所以双曲线的焦点坐标在轴，，
所以双曲线的标准方程为：；
如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
实轴长为，且焦点在轴上．所以，，
所以双曲线方程为：；
如果选，
实轴长为，且焦点在轴上．，
一条渐近线的斜率为，
所以，可得，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：；；．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法．
分别求出，点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
解：由题意可知，在双曲线的右支上，且在轴上方，
垂直于轴，
把代入，得，
点坐标为，
又点坐标为，
，
化简得，
即，
解得或舍，
故．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
先化简得，由双曲线可得，解出即可．
【解答】
解：方程，
可化为，
由双曲线可得，解得或，
即的取值范围为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义、性质和标准方程以及向量的数量积，属于中档题．
根据双曲线的定义和性质结合向量的数量积求解即可得双曲线得方程．
【解答】
解：由题意可设双曲线方程为，
由，得，
根据勾股定理得，
即，
根据双曲线定义有，
两边平方并代入，
得，解得，
从而，
所以双曲线方程为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率的求法，注意运用平行四边形性质和双曲线的定义，考查数形结合思想和方程思想，属于中档题．
由题意可知：四边形为平行四边形，利用双曲线的定义及性质，求得，，利用余弦定理即可求得和的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率．
【解答】
解：关于原点的对称点为，在双曲线上，如图，
可得四边形为平行四边形，
，，
可设，，
设．
，
．
，
．
故答案为：．
15.【答案】解：取为双曲线的左焦点，如图：
由双曲线的方程可知：，，，，左焦点，右焦点，
，所以当三角形的周长最小时，最小．
由双曲线的定义得，，，
又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立．
三角形的周长：．
此时，直线的方程为，将其代入到双曲线方程得：，
解得舍或，
由得负值已舍．
点的纵坐标为．
【解析】本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，属中档题．
左焦点，周长最小，进行求解即可．
16.【答案】解：因为方程表示双曲线，
所以，
解得
当时，双曲线方程是，，
因为点在双曲线上，
又，
所以点在双曲线的右支上，
则有，
故解得，，
因此在中，，
所以
所以的面积为．
【解析】本题主要考查双曲线的概念与性质，属于较难题．
利用双曲线的概念，即可得；
利用双曲线的概念与余弦定理，三角形的面积公式，即可得．
17.【答案】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为，
比较方程，得，
所以双曲线方程为，点，
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，
所以，
最小为，
因为点在圆上运动，
所以最小为点到圆心的距离减去半径，
所以，
所以的最小值为，
【解析】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，属于拔高题．先由双曲线渐近线求出，记双曲线的左焦点为，利用，得，求出的最小值，然后得出答案．
18.【答案】解：设，，
由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得
，
可得，
则的面积．
如图所示，，，
设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，．
由双曲线的定义可得，
由圆的切线长定理知，，
，即．
设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，
故，可得．
由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，
可得，，
解得，，
故内切圆圆心的横坐标为．
【解析】本题双曲线的定义，余弦定理的应用，三角形的面积公式，圆的切线长定理的应用，椭圆的性质，属于拔高题．
设，，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，即可求出的面积；
设，，设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，设内切圆圆心的横坐标为，可知结合已知条件可得，，求出，，可得内切圆圆心的横坐标．
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已知平面中的两点，，则满足的点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条线段 D. 两条射线
已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，若，则 ( )
A. B. C. D. 或
经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程( )
A. B. C. D.
已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是( )
A. B. C. D.
求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程
当方程表示双曲线，则的取值范围 ．
已知分别为双曲线的左右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为 ．
对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：
离心率为一条渐近线的斜率为实轴长为，且焦点在轴上写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 ．
已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且垂直于轴若的斜率为，则的离心率为 ．
当方程表示双曲线时，的取值范围为 ．
已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点且，，则双曲线的标准方程为
已知双曲线：，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为且，，则的离心率为 ．
已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，则求出点的纵坐标．
已知方程表示双曲线．
求实数的取值范围；
当时，若点在双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，，试求的面积．
已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则求的最小值．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点不在轴上．
若，求的面积
若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，属于基础题．
由双曲线的定义直接得出结论．
【解答】
解：依题意，，
由双曲线的定义可知，点的轨迹表示焦点在轴上的双曲线．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
可以根据双曲线的定义直接进行解答．
【解答】
解：因为， ，
所以或，经验证都符合．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程，属基础题．
对焦点在和轴上进行分类讨论求解即可．
【解答】
解：当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，得，
双曲线的标准方程为，
当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，，
这种情况不存在，
综上所述，该等轴双曲线的方程为．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出的值．
【解答】
解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，
则有，
即有，
则双曲线的离心率的取值范围为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程的求解及等轴双曲线的定义，属于基础题．
由已知求出焦点坐标，从而得，然后利用等轴双曲线的定义求解．
【解答】
解：由题意，双曲线的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以双曲线的一个焦点坐标为，，
又双曲线为等轴双曲线，
可设双曲线的标准方程为，
，得，
即双曲线的标准方程为，
故双曲线的方程为．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，考查双曲线的性质及几何意义，考查渐近线方程，属于基础题．
根据题意设出双曲线的方程，把点代入即可．
【解答】
解：设所求双曲线的方程为：，
把点代入上式可得，
解得，
因此所求双曲线的方程为：．
故答案为．
8.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．
由方程表示双曲线，则，由此能求出的取值范围．
【解答】
解：若方程表示双曲线，
则，
解得或．
故答案为或．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线，考查双曲线的定义和三角形中位线定理，考查分析与计算能力，属于中档题．
设切点为，连接，过作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到、的关系，进而得到渐近线方程．
【解答】
解：设切点为，连接，过作，垂足为，
，
又为的中点，
为的中位线，
故，
与圆 相切，且，
，，，
则，
在直角三角形中，
可得，即，
有，
由双曲线的定义可得，
可得，
即双曲线的渐近线方程为，
故答案为．
10.【答案】；
；
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
选择条件，，，分别求解双曲线的实半轴，虚半轴的长，写出一个标准方程即可．
【解答】
解：如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
一条渐近线的斜率为，
所以双曲线的焦点坐标在轴，，
所以双曲线的标准方程为：；
如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
实轴长为，且焦点在轴上．所以，，
所以双曲线方程为：；
如果选，
实轴长为，且焦点在轴上．，
一条渐近线的斜率为，
所以，可得，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：；；．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法．
分别求出，点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
解：由题意可知，在双曲线的右支上，且在轴上方，
垂直于轴，
把代入，得，
点坐标为，
又点坐标为，
，
化简得，
即，
解得或舍，
故．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
先化简得，由双曲线可得，解出即可．
【解答】
解：方程，
可化为，
由双曲线可得，解得或，
即的取值范围为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义、性质和标准方程以及向量的数量积，属于中档题．
根据双曲线的定义和性质结合向量的数量积求解即可得双曲线得方程．
【解答】
解：由题意可设双曲线方程为，
由，得，
根据勾股定理得，
即，
根据双曲线定义有，
两边平方并代入，
得，解得，
从而，
所以双曲线方程为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率的求法，注意运用平行四边形性质和双曲线的定义，考查数形结合思想和方程思想，属于中档题．
由题意可知：四边形为平行四边形，利用双曲线的定义及性质，求得，，利用余弦定理即可求得和的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率．
【解答】
解：关于原点的对称点为，在双曲线上，如图，
可得四边形为平行四边形，
，，
可设，，
设．
，
．
，
．
故答案为：．
15.【答案】解：取为双曲线的左焦点，如图：
由双曲线的方程可知：，，，，左焦点，右焦点，
，所以当三角形的周长最小时，最小．
由双曲线的定义得，，，
又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立．
三角形的周长：．
此时，直线的方程为，将其代入到双曲线方程得：，
解得舍或，
由得负值已舍．
点的纵坐标为．
【解析】本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，属中档题．
左焦点，周长最小，进行求解即可．
16.【答案】解：因为方程表示双曲线，
所以，
解得
当时，双曲线方程是，，
因为点在双曲线上，
又，
所以点在双曲线的右支上，
则有，
故解得，，
因此在中，，
所以
所以的面积为．
【解析】本题主要考查双曲线的概念与性质，属于较难题．
利用双曲线的概念，即可得；
利用双曲线的概念与余弦定理，三角形的面积公式，即可得．
17.【答案】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为，
比较方程，得，
所以双曲线方程为，点，
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，
所以，
最小为，
因为点在圆上运动，
所以最小为点到圆心的距离减去半径，
所以，
所以的最小值为，
【解析】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，属于拔高题．先由双曲线渐近线求出，记双曲线的左焦点为，利用，得，求出的最小值，然后得出答案．
18.【答案】解：设，，
由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得
，
可得，
则的面积．
如图所示，，，
设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，．
由双曲线的定义可得，
由圆的切线长定理知，，
，即．
设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，
故，可得．
由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，
可得，，
解得，，
故内切圆圆心的横坐标为．
【解析】本题双曲线的定义，余弦定理的应用，三角形的面积公式，圆的切线长定理的应用，椭圆的性质，属于拔高题．
设，，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，即可求出的面积；
设，，设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，设内切圆圆心的横坐标为，可知结合已知条件可得，，求出，，可得内切圆圆心的横坐标．
第1页，共1页