3.3.1 抛物线及其标准方程- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:57:05 | ||
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文档简介
3.3.1 抛物线及其标准方程
抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于，则焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
抛物线上的一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是 ( )
A. B. C. D.
已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于另一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为
C. 点的坐标为 D. 的面积为
已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是
C. 已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是
D. 已知，是曲线上的动点，则的最小值为
已知抛物线的准线为，直线，点在上，则点到直线与的距离之和可以为( )
A. B. C. D.
若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是 ．
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．
已知抛物线，若第一象限的在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 ．
已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且若，则的准线方程为 ．
已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为 ；此时点的坐标为 ．
已知抛物线：的焦点，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与直线交于、两点在的上方，若，则抛物线的方程为 ．
已知抛物线过点．
求抛物线的焦点坐标和准线方程
若抛物线上一点到焦点的距离为，求的坐标．
已知是抛物线的焦点，坐标为，点是抛物线的动点，点在轴上的射影是，点．
求抛物线的方程；
求的最小值．
已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点．
求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的焦点，注意先将抛物线的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及的值，由抛物线焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线的方程为，则其标准方程为，
其焦点在轴正半轴上，且，
则其焦点坐标为；
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得其焦点和准线，属于基础题．
由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，可得值，从而求解．
【解答】
解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为的点到准线的距离等于，
即，解得，
故焦点到准线的距离为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的标准方程和抛物线的定义，属于基础题．
由已知条件，利用抛物线的定义得到，求出的值，由此求出抛物线的标准方程．
【解答】
解：抛物线上一点到其准线的距离为，
，解得，
抛物线的标准方程为．
故答案选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
根据抛物线的定义列式求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点，准线，
设点，
根据抛物线的性质得，，解得，
则点到轴的距离是，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
抛物线的焦点，由抛物线的定义可得：，可得的最小值为点到直线的距离．
【解答】
解：抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得：，
的最小值为点到：的距离，
的最小值为．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，涉及圆有关的最值问题，考查转化思想和数形结合思想，属中档题．
如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，设在准线上的射影为，根据，抛物线定义，得，进行转化求解
【解答】
解：如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，半径．
设在准线上的射影为，
，
，
，
，
，
当且仅当，，，共线且依序排列时取等号，
则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值：，
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是抛物线的标准方程与几何性质．
可先由点在抛物线上求出抛物线方程，再判断即可．
【解答】
解：将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，且，，
所以，故D正确．
故选ABD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，抛物线的性质及几何意义，属于中档题．
运用抛物线的定义，得出曲线的方程，逐一分析各选项即可．
【解答】
解：曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，
曲线上任意一点到直线的距离和它到点的距离相等，
曲线为以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
对于选项，若曲线上的一点到点的距离为，则点的横坐标为，
将代入抛物线的方程中，可得，
即点的纵坐标是，故B正确；
对于选项，曲线上的两点，到点的距离之和为，
所以点，的横坐标之和为，
线段的中点横坐标是，故C错误；
对于选项，过作垂直于直线于，过作垂直于直线于，如图所示：
由图可知，，
当且仅当为直线与抛物线的交点时，不等式可取等号，故D正确；
故选ABD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义的应用，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
由抛物线的定义得所求距离之和为点到焦点与到直线的距离之和，其最小值即为点到直线的距离，由点到直线的距离求解．
【解答】
解：设抛物线的焦点为，则点，
由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
则所求距离之和为点到焦点与到直线的距离之和，
其最小值即为点到直线的距离．
选项中符合题意，
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，是基础题．
由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，求得值，即可求解．
【解答】
解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，
则其准线方程为，得．
该抛物线的标准方程是．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件利用抛线的质得到，求出的值由此求出抛物线的标准方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要掌握抛物线的性质．
【解答】
解：物线上一点到其准线的距离为，
，即，
抛物线的标准方程为．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线的斜率即可．
本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，
由抛物线的定义，可得，，
，
直线的斜率．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的准线方程，属于中档题．
根据题意设点在第一象限，得出点坐标为，由于与轴垂直，，得出∽，根据相似比得出的值，从而得到答案．
【解答】
解：与轴垂直，设点在第一象限，
点坐标为，
又，
∽，，
则，
，即，故，
则准线方程为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，由此可解抛物线中的最值问题属于中档题．
常见的有下列两种情况：
将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
本题利用第二种情况解决．
【解答】
解：设抛物线的准线为，则的方程为，
如图，过作于，
则由抛物线的定义得，
所以，
由图形得当、、三点共线时，最小，
又最小值为到准线的距离此时最小值为，
此时点的纵坐标为，
所以，即点的坐标为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，是中档题．
依题意作图，可以把放在直角三角形中，可得，由抛物线定义转化，，即可得到与的关系，再代入方程中即可求出，则抛物线方程可求．
【解答】
解：如图所示，过点作，垂足为，交准线于，
，
由抛物线定义可得：，
，即，
点是抛物线上一点，
，即，
，得．
故答案为：．
16.【答案】解：由题意可知，解得，
因此抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
由抛物线的定义，可知点到准线的距离为，
因此点的纵坐标为，由易知抛物线方程为，
将点的纵坐标代入抛物线方程得，
解得或，即或．
【解析】本题考查了抛物线的定义，方程及性质，属于基础题．
由已知求得的值，进而得焦点坐标和准线方程；
由抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，求点坐标即可．
17.【答案】解：因为抛物线的焦点坐标为，
所以．
所以抛物线的方程为：．
抛物线焦点，准线，
如图，延长交准线于，由抛物线定义得，
，而，
，当且仅当，，三点共线时，取“”号，此时，位于线段上，
的最小值为．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、与抛物线定义有关的距离最值问题，属于中档题．
根据焦点坐标求出，即可得到抛物线的方程；
画出图形，分析可知当，，三点共线时，取到最小值，即可求解．
18.【答案】解：将代入抛物线方程，得，
，
点在抛物线内部，
过点作垂直抛物线的准线：于点，
由抛物线的定义，知，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为，
此时点的纵坐标为，代入，得，
点的坐标为；
设抛物线上点到准线：的距离为，
显然点在抛物线的外部，
由抛物线的定义，
得，
当，，三点共线在线段上时取等号，
又，
所求最小值为．
【解析】本题考查了抛物线的性质及几何意义，属于拔高题．
根据抛物线方程可求得点在抛物线内部，过点作垂直抛物线的准线于点，由抛物线的定义，，当，，三点共线时的值最小，即可得最小值及点的坐标；
设抛物线上点到准线的距离为，可得点在抛物线的外部，由抛物线的定义得，，当，，三点共线可得结果．
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抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于，则焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
抛物线上的一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是 ( )
A. B. C. D.
已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于另一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点坐标为
C. 点的坐标为 D. 的面积为
已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是
C. 已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是
D. 已知，是曲线上的动点，则的最小值为
已知抛物线的准线为，直线，点在上，则点到直线与的距离之和可以为( )
A. B. C. D.
若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是 ．
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．
已知抛物线，若第一象限的在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 ．
已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且若，则的准线方程为 ．
已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为 ；此时点的坐标为 ．
已知抛物线：的焦点，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与直线交于、两点在的上方，若，则抛物线的方程为 ．
已知抛物线过点．
求抛物线的焦点坐标和准线方程
若抛物线上一点到焦点的距离为，求的坐标．
已知是抛物线的焦点，坐标为，点是抛物线的动点，点在轴上的射影是，点．
求抛物线的方程；
求的最小值．
已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点．
求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；
求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的焦点，注意先将抛物线的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及的值，由抛物线焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线的方程为，则其标准方程为，
其焦点在轴正半轴上，且，
则其焦点坐标为；
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得其焦点和准线，属于基础题．
由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，可得值，从而求解．
【解答】
解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为的点到准线的距离等于，
即，解得，
故焦点到准线的距离为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的标准方程和抛物线的定义，属于基础题．
由已知条件，利用抛物线的定义得到，求出的值，由此求出抛物线的标准方程．
【解答】
解：抛物线上一点到其准线的距离为，
，解得，
抛物线的标准方程为．
故答案选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
根据抛物线的定义列式求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点，准线，
设点，
根据抛物线的性质得，，解得，
则点到轴的距离是，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
抛物线的焦点，由抛物线的定义可得：，可得的最小值为点到直线的距离．
【解答】
解：抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得：，
的最小值为点到：的距离，
的最小值为．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，涉及圆有关的最值问题，考查转化思想和数形结合思想，属中档题．
如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，设在准线上的射影为，根据，抛物线定义，得，进行转化求解
【解答】
解：如图所示，抛物线焦点，圆的圆心为，半径．
设在准线上的射影为，
，
，
，
，
，
当且仅当，，，共线且依序排列时取等号，
则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值：，
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是抛物线的标准方程与几何性质．
可先由点在抛物线上求出抛物线方程，再判断即可．
【解答】
解：将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，且，，
所以，故D正确．
故选ABD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，抛物线的性质及几何意义，属于中档题．
运用抛物线的定义，得出曲线的方程，逐一分析各选项即可．
【解答】
解：曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，
曲线上任意一点到直线的距离和它到点的距离相等，
曲线为以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
对于选项，若曲线上的一点到点的距离为，则点的横坐标为，
将代入抛物线的方程中，可得，
即点的纵坐标是，故B正确；
对于选项，曲线上的两点，到点的距离之和为，
所以点，的横坐标之和为，
线段的中点横坐标是，故C错误；
对于选项，过作垂直于直线于，过作垂直于直线于，如图所示：
由图可知，，
当且仅当为直线与抛物线的交点时，不等式可取等号，故D正确；
故选ABD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义的应用，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
由抛物线的定义得所求距离之和为点到焦点与到直线的距离之和，其最小值即为点到直线的距离，由点到直线的距离求解．
【解答】
解：设抛物线的焦点为，则点，
由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
则所求距离之和为点到焦点与到直线的距离之和，
其最小值即为点到直线的距离．
选项中符合题意，
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，是基础题．
由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，求得值，即可求解．
【解答】
解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，
则其准线方程为，得．
该抛物线的标准方程是．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件利用抛线的质得到，求出的值由此求出抛物线的标准方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要掌握抛物线的性质．
【解答】
解：物线上一点到其准线的距离为，
，即，
抛物线的标准方程为．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线的斜率即可．
本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点，
由抛物线的定义，可得，，
，
直线的斜率．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的准线方程，属于中档题．
根据题意设点在第一象限，得出点坐标为，由于与轴垂直，，得出∽，根据相似比得出的值，从而得到答案．
【解答】
解：与轴垂直，设点在第一象限，
点坐标为，
又，
∽，，
则，
，即，故，
则准线方程为，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，由此可解抛物线中的最值问题属于中档题．
常见的有下列两种情况：
将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
本题利用第二种情况解决．
【解答】
解：设抛物线的准线为，则的方程为，
如图，过作于，
则由抛物线的定义得，
所以，
由图形得当、、三点共线时，最小，
又最小值为到准线的距离此时最小值为，
此时点的纵坐标为，
所以，即点的坐标为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，是中档题．
依题意作图，可以把放在直角三角形中，可得，由抛物线定义转化，，即可得到与的关系，再代入方程中即可求出，则抛物线方程可求．
【解答】
解：如图所示，过点作，垂足为，交准线于，
，
由抛物线定义可得：，
，即，
点是抛物线上一点，
，即，
，得．
故答案为：．
16.【答案】解：由题意可知，解得，
因此抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
由抛物线的定义，可知点到准线的距离为，
因此点的纵坐标为，由易知抛物线方程为，
将点的纵坐标代入抛物线方程得，
解得或，即或．
【解析】本题考查了抛物线的定义，方程及性质，属于基础题．
由已知求得的值，进而得焦点坐标和准线方程；
由抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，求点坐标即可．
17.【答案】解：因为抛物线的焦点坐标为，
所以．
所以抛物线的方程为：．
抛物线焦点，准线，
如图，延长交准线于，由抛物线定义得，
，而，
，当且仅当，，三点共线时，取“”号，此时，位于线段上，
的最小值为．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、与抛物线定义有关的距离最值问题，属于中档题．
根据焦点坐标求出，即可得到抛物线的方程；
画出图形，分析可知当，，三点共线时，取到最小值，即可求解．
18.【答案】解：将代入抛物线方程，得，
，
点在抛物线内部，
过点作垂直抛物线的准线：于点，
由抛物线的定义，知，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为，
即的最小值为，
此时点的纵坐标为，代入，得，
点的坐标为；
设抛物线上点到准线：的距离为，
显然点在抛物线的外部，
由抛物线的定义，
得，
当，，三点共线在线段上时取等号，
又，
所求最小值为．
【解析】本题考查了抛物线的性质及几何意义，属于拔高题．
根据抛物线方程可求得点在抛物线内部，过点作垂直抛物线的准线于点，由抛物线的定义，，当，，三点共线时的值最小，即可得最小值及点的坐标；
设抛物线上点到准线的距离为，可得点在抛物线的外部，由抛物线的定义得，，当，，三点共线可得结果．
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