3.3.2课时1：抛物线的简单几何性质- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.2课时1：抛物线的简单几何性质- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 464.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:57:37 | ||
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文档简介
3.3.2课时1：抛物线的简单几何性质
若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线：上的点到的焦点的距离为，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知双曲线：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和：的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
已知拋物线的焦点为，点为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为( )
A. B. C. D.
点到抛物线的准线的距离为，则的值可以为( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有( )
A. 准线方程为
B. 若，则线段中点到轴为
C. 的周长的最小值为
D. 以线段为直径的圆与准线相切
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．
某抛物线拱桥的跨度是米，中间拱高是米，在建桥时每隔米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是 米
设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为 ．
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，与相交于点若，且的面积为，则的值为
点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ．
给出下列命题：
到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
设为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线。
对任意实数，直线总与某一个定圆相切。
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中真命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上。
求适合下列条件的曲线标准方程．
虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；
过点的抛物线的标准方程．
河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高，船顶部宽．
试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 精确到
已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于两点，且．
求该抛物线的方程；
为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线上点到抛物线对称轴的距离为，设该点为根据点坐标适合抛物线方程及点到焦点的距离为，列方程组，解之可得与的值，从而得到本题的答案．
本题已知抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离，求抛物线的焦参数，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
【解答】
解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为，
设该点为，则的坐标为
到抛物线的焦点的距离为
由抛物线的定义，得
点是抛物线上的点，
由联立，解得，或，
则抛物线方程为或．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意画出图形，过作准线的垂线，交抛物线于，则此时的周长最小，然后结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：如图，
抛物线：的焦点为，准线方程为．
过作准线的垂线，交抛物线于，则的周长最小．
最小值为．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义以及几何性质的应用，属于基础题．
根据题意可得四边形为直角梯形，结合抛物线的定义可得，再得出、，即可求四边形的周长．
【解答】
解：由抛物线的方程可知，，直线为抛物线的准线，
所以，四边形为直角梯形．
因为，所以根据抛物线的定义，得，
过点作轴于点，则，
在中，，
所以四边形的周长为，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．
【解答】
解：由抛物线：可知，，得到，，
设，，因为的中点的纵坐标为，
所以，则．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论．
【解答】
解：抛物线的准线：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为，
的周长
，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为，
，
，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程，属于较难题．
求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得，进而得到，可得，进而得到抛物线的方程．连接，过点作于点，作准线于点由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当、、三点共线时，有最小值，因此算出到直线的距离，即可得到所求距离的最小值．
【解答】
解：双曲线：的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，
即有，
由题意可得，解得，
即有抛物线的方程为，设焦点为，
过点作于点，
作准线：于点，
连接，根据抛物线的定义得，
设到的距离为，到直线的距离为，
，
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．
到直线：的距离为．
的最小值是，
由此可得所求距离和的最小值为．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的几何性质与标准方程，属于中档题．
设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，因为且直线 的斜率为 ，于是可证明为正三角形，求出，进一步可知，，，从而得出抛物线的标准方程．
【解答】
解：设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，
如图所示：
直线 的斜率为 ，，于是，
又根据已知条件以及抛物线的性质，知，
为正三角形，，，，
而由抛物线的性质知， ，
拋物线的方程为．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是抛物线的标准方程与几何性质的应用，属于基础题．
可先求出抛物线的准线方程，再求值即可．
【解答】
解：由抛物线方程得，其准线方程为，
因为点到抛物线的准线的距离为，
所以，
解得或，
故选AB．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线性质，属于中档题．
解题时依据抛物线性质对每个选项逐一判断即可．
【解答】
解：选项A：抛物线为，其准线方程为，焦点，故A错；
选项B：设，在准线上投影为，
根据抛物线定义可知
，
所以线段中点到轴距离为，故B对；
选项C：设在准线上投影为，
，
，
当三点共线时取最值，
所以的周长的最小值为，故C对；
选项D：因为点，没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错；
故选BC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件利用抛线的质得到，求出的值由此求出抛物线的标准方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要掌握抛物线的性质．
【解答】
解：物线上一点到其准线的距离为，
，即，
抛物线的标准方程为．
故答案为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．解应用题需要把文字语言转化为形式化数学语言．介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来解决问题．
先建立适当坐标系，设抛物线方程为，把点代入抛物线方程，求得，得到抛物线方程，进行求解即可．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为，
过定点，
将代入，得．
抛物线方程为．
设最长的支柱为，点的坐标为，解得，
点的坐标为，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，抛物线的简单几何性质．
由题意，圆心的横坐标为，利用，可得点的纵坐标为，半径为，可得结论．
【解答】
解：由可得点的坐标为，准线的方程为，
由圆心在上，且圆与轴正半轴相切如图，
可得点的横坐标为，圆的半径为，，
又因为，
所以，所以，
所以点的纵坐标为，
所以圆的方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
求得的坐标由于轴，，，可得，，利用抛物线的定义可得，代入可得 ，再利用，即可得出．
【解答】
解：如图所示，．
轴，，，
，．
，解得，
代入可取，
，
解得．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，当位于抛物线内，当，，共线时，的距离最小，，解得：，当位于抛物线外，由勾股定理可知：，或，当时，，则点在抛物线内，舍去，即可求得的值．
【解答】
解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离等于该点到准线的距离，
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，
当位于抛物线内，
，
当，，共线时，的距离最小，
由最小值为，即，解得：，
当位于抛物线外，
当，，共线时，取最小值，
即，解得：或，
由当时，，则点在抛物线内，舍去，
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由于定点在定直线上，可得点的轨迹是不是抛物线；
利用双曲线的定义即可判断出正误；
对任意实数，由于原点到直线的距离，即可判断出正误；
利用椭圆的定义即可判断出正误；
方程的两根：，；即可判断出正误；
【解答】
解：由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，不正确；
设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，因此不正确．
对任意实数，由于原点到直线的距离，因此对任意实数，直线总与定圆相切，正确．
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点的距离时才是椭圆，因此不正确；
方程的两根：，；可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．
其中真命题的序号是．
故答案为：．
16.【答案】解：设双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，
离心率，即，
又双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
综上所述，所求双曲线的标准方程为或．
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，即，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为，
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质及几何意义、抛物线的标准方程，属于基础题．
根据题意求出，，然后分双曲线焦点在轴，轴上分别写出相应曲线的标准方程，即可求出结果；
分焦点在轴上和在轴上，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出结果．
17.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，
以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是
船沿中线行驶，顶部最宽处的横坐标为，
因，故当时，，
故水位暴涨后，船身至少应降低米．
因精确到，故船身应降低．
答：船身应降低，才能安全通过桥洞．
【解析】本题考查抛物线的标准方程的运用，正确建立坐标系是关键，属于中档题．
设所在的抛物线方程为，待定系数法求方程；
当时，，船身至少应降低，进而得到答案．
18.【答案】解：直线的方程是，与联立，
从而有，
所以： ，
由抛物线定义得： ，
所以，
抛物线方程为 ；
由， ．
化简得 ，
从而 ，
从而， ，，
设
，
且，即，
解得．
【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，属拔高题．
本小题考查抛物线的标准方程，直线的方程与联立，有，从而，再由抛物线定义得：，求得，则抛物线方程可得；
本小题考查圆锥曲线中的向量与参数问题，由，求得，再设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得．
第1页，共1页
若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线：上的点到的焦点的距离为，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知双曲线：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和：的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
已知拋物线的焦点为，点为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为( )
A. B. C. D.
点到抛物线的准线的距离为，则的值可以为( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有( )
A. 准线方程为
B. 若，则线段中点到轴为
C. 的周长的最小值为
D. 以线段为直径的圆与准线相切
若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．
某抛物线拱桥的跨度是米，中间拱高是米，在建桥时每隔米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是 米
设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为 ．
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，与相交于点若，且的面积为，则的值为
点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ．
给出下列命题：
到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
设为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线。
对任意实数，直线总与某一个定圆相切。
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中真命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上。
求适合下列条件的曲线标准方程．
虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；
过点的抛物线的标准方程．
河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高，船顶部宽．
试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 精确到
已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于两点，且．
求该抛物线的方程；
为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线上点到抛物线对称轴的距离为，设该点为根据点坐标适合抛物线方程及点到焦点的距离为，列方程组，解之可得与的值，从而得到本题的答案．
本题已知抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离，求抛物线的焦参数，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
【解答】
解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为，
设该点为，则的坐标为
到抛物线的焦点的距离为
由抛物线的定义，得
点是抛物线上的点，
由联立，解得，或，
则抛物线方程为或．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意画出图形，过作准线的垂线，交抛物线于，则此时的周长最小，然后结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：如图，
抛物线：的焦点为，准线方程为．
过作准线的垂线，交抛物线于，则的周长最小．
最小值为．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义以及几何性质的应用，属于基础题．
根据题意可得四边形为直角梯形，结合抛物线的定义可得，再得出、，即可求四边形的周长．
【解答】
解：由抛物线的方程可知，，直线为抛物线的准线，
所以，四边形为直角梯形．
因为，所以根据抛物线的定义，得，
过点作轴于点，则，
在中，，
所以四边形的周长为，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．
【解答】
解：由抛物线：可知，，得到，，
设，，因为的中点的纵坐标为，
所以，则．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论．
【解答】
解：抛物线的准线：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为，
的周长
，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为，
，
，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程，属于较难题．
求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得，进而得到，可得，进而得到抛物线的方程．连接，过点作于点，作准线于点由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当、、三点共线时，有最小值，因此算出到直线的距离，即可得到所求距离的最小值．
【解答】
解：双曲线：的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，
即有，
由题意可得，解得，
即有抛物线的方程为，设焦点为，
过点作于点，
作准线：于点，
连接，根据抛物线的定义得，
设到的距离为，到直线的距离为，
，
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．
到直线：的距离为．
的最小值是，
由此可得所求距离和的最小值为．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的几何性质与标准方程，属于中档题．
设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，因为且直线 的斜率为 ，于是可证明为正三角形，求出，进一步可知，，，从而得出抛物线的标准方程．
【解答】
解：设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，
如图所示：
直线 的斜率为 ，，于是，
又根据已知条件以及抛物线的性质，知，
为正三角形，，，，
而由抛物线的性质知， ，
拋物线的方程为．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是抛物线的标准方程与几何性质的应用，属于基础题．
可先求出抛物线的准线方程，再求值即可．
【解答】
解：由抛物线方程得，其准线方程为，
因为点到抛物线的准线的距离为，
所以，
解得或，
故选AB．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线性质，属于中档题．
解题时依据抛物线性质对每个选项逐一判断即可．
【解答】
解：选项A：抛物线为，其准线方程为，焦点，故A错；
选项B：设，在准线上投影为，
根据抛物线定义可知
，
所以线段中点到轴距离为，故B对；
选项C：设在准线上投影为，
，
，
当三点共线时取最值，
所以的周长的最小值为，故C对；
选项D：因为点，没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错；
故选BC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件利用抛线的质得到，求出的值由此求出抛物线的标准方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要掌握抛物线的性质．
【解答】
解：物线上一点到其准线的距离为，
，即，
抛物线的标准方程为．
故答案为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．解应用题需要把文字语言转化为形式化数学语言．介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来解决问题．
先建立适当坐标系，设抛物线方程为，把点代入抛物线方程，求得，得到抛物线方程，进行求解即可．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为，
过定点，
将代入，得．
抛物线方程为．
设最长的支柱为，点的坐标为，解得，
点的坐标为，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，抛物线的简单几何性质．
由题意，圆心的横坐标为，利用，可得点的纵坐标为，半径为，可得结论．
【解答】
解：由可得点的坐标为，准线的方程为，
由圆心在上，且圆与轴正半轴相切如图，
可得点的横坐标为，圆的半径为，，
又因为，
所以，所以，
所以点的纵坐标为，
所以圆的方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
求得的坐标由于轴，，，可得，，利用抛物线的定义可得，代入可得 ，再利用，即可得出．
【解答】
解：如图所示，．
轴，，，
，．
，解得，
代入可取，
，
解得．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，当位于抛物线内，当，，共线时，的距离最小，，解得：，当位于抛物线外，由勾股定理可知：，或，当时，，则点在抛物线内，舍去，即可求得的值．
【解答】
解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离等于该点到准线的距离，
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，
当位于抛物线内，
，
当，，共线时，的距离最小，
由最小值为，即，解得：，
当位于抛物线外，
当，，共线时，取最小值，
即，解得：或，
由当时，，则点在抛物线内，舍去，
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由于定点在定直线上，可得点的轨迹是不是抛物线；
利用双曲线的定义即可判断出正误；
对任意实数，由于原点到直线的距离，即可判断出正误；
利用椭圆的定义即可判断出正误；
方程的两根：，；即可判断出正误；
【解答】
解：由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，不正确；
设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，因此不正确．
对任意实数，由于原点到直线的距离，因此对任意实数，直线总与定圆相切，正确．
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点的距离时才是椭圆，因此不正确；
方程的两根：，；可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．
其中真命题的序号是．
故答案为：．
16.【答案】解：设双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，
离心率，即，
又双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
综上所述，所求双曲线的标准方程为或．
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，即，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为，
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质及几何意义、抛物线的标准方程，属于基础题．
根据题意求出，，然后分双曲线焦点在轴，轴上分别写出相应曲线的标准方程，即可求出结果；
分焦点在轴上和在轴上，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出结果．
17.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，
以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是
船沿中线行驶，顶部最宽处的横坐标为，
因，故当时，，
故水位暴涨后，船身至少应降低米．
因精确到，故船身应降低．
答：船身应降低，才能安全通过桥洞．
【解析】本题考查抛物线的标准方程的运用，正确建立坐标系是关键，属于中档题．
设所在的抛物线方程为，待定系数法求方程；
当时，，船身至少应降低，进而得到答案．
18.【答案】解：直线的方程是，与联立，
从而有，
所以： ，
由抛物线定义得： ，
所以，
抛物线方程为 ；
由， ．
化简得 ，
从而 ，
从而， ，，
设
，
且，即，
解得．
【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，属拔高题．
本小题考查抛物线的标准方程，直线的方程与联立，有，从而，再由抛物线定义得：，求得，则抛物线方程可得；
本小题考查圆锥曲线中的向量与参数问题，由，求得，再设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得．
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