3.3.2课时2：直线与抛物线的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.2课时2：直线与抛物线的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 300.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 09:57:53 | ||
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文档简介
3.3.2课时2：直线与抛物线的位置关系
已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
已知直线与抛物线相切，则等于( )
A. B. C. D.
已知，为抛物线：上异于顶点的两点，是等边三角形，其面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D. 过与抛物线有且仅有一个公共点直线至多有条
设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则．( )
A. B. 以为直径的圆的面积大于
C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于
如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、、、，则的值是
已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 ．
抛物线上到直线距离最短的点的坐标是 ；最短距离是 ．
已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_________．
如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
求抛物线的标准方程和准线方程；
若，证明：直线恒过定点．
已知抛物线：经过点．
Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程；
Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
已知抛物线的焦点为，过且与轴垂直的直线交该抛物线于，两点，．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，若的面积为，求直线的斜率其中为坐标原点．
已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．
求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
求证：为线段的中点．
已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．
【解答】
解：由抛物线：可知，，得到，，
设，，因为的中点的纵坐标为，
所以，则．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
联立直线与抛物线的方程，利用根的判别式为即可求解．
【解答】
解：由消去得，
由于直线与抛物线相切，
所以解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于拔高题．
设，，由抛物线对称性，知点、关于轴对称，可设直线的方程，联立，解得，由是等边三角形可解得的值．
【解答】
解：设，，
，
．
又，，
，
即．
又、与同正，
．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
又，所以不妨设直线的方程为：，
联立，解得．
面积为，
，
又，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系．
由题知，抛物线的焦点，准线方程为，然后逐项分析解答即可．
【解答】
解：由题知，，抛物线的焦点，准线方程为．
A.若，则，所以A正确
B.设直线的方程为，
代入抛物线的方程整理，得，
，
线段的中点坐标为，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到抛物线的准线的距离，
以为直径的圆与准线相切，所以B正确
C.设，则，
当且仅当，，三点共线时等号成立，所以C正确
D.当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，
过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条，所以D错误．
故选ABC．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系．
由已知分类求得所在直线过定点结合选项得答案．
【解答】
解：不妨设为第一象限内的点，
当直线轴时，，由，
得，，
所以直线，的方程分别为：和．
与抛物线方程联立，得，，
所以直线的方程为，此时，
以为直径的圆的面积，故A、不正确．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
与抛物线方程联立消去，得，
则．
设，，则．
因为，所以，
则，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即．
综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；
易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为，
即原点到直线的距离不大于故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及几何意义，是中档题．
设、的坐标分别为，及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出，， 并用，表示，，而所求，代入 上述式子中即可．
【解答】
解：设、的坐标分别为，，依题意知焦点，则设直线方程为：，
联立消去，得，
，
又根据抛物线定义得，，
，，
．
故答案为
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点差法，属于中档题．
设出，坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】
解：设，，
代入抛物线方程得，，，，
整理得，
中点为，
，，
，
则弦所在直线方程为，即为．
故答案为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式．
设出的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得到直线的距离的表达式，根据二次函数的最值求得距离的最小值．
【解答】
解：设为抛物线上任一点，
则到直线的距离
时，取最小值，此时．
故答案为
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
由已知可求过，两点的直线方程为，然后联立直线与抛物线方程组可得，，可表示出，，，，由，再由，代入整理可求．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
整理可得，，
，
即，
，
故答案为．
11.【答案】解：设抛物线的方程为，，
代入，可得，
抛物线的标准方程为，准线方程为；
证明：设，，
则直线方程，
直线方程，
联立直线方程与抛物线方程，
消去，得，
，同理
由得，
所以直线方程为，
，
由，整理得．
由且，得，，
故直线经过定点．
【解析】本题主要考查了抛物线的方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法．
设抛物线的方程为，代入，可得，即可求抛物线的标准方程和准线方程；
设出和所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得，两点的横坐标，再由点斜式写出直线的方程，由式，，代入后整理，即可求出直线恒过的定点．
12.【答案】解：Ⅰ抛物线：经过点可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ证明：抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立抛物线方程，可得，
设，，则有，，
可得，，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
可得，，
可得的中点的横坐标为，
即有为直径的圆心为，
半径为
，
可得圆的方程为，
化为，
由，可得或．
则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．
【解析】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力．
Ⅰ代入点，解方程可得，求得抛物线的方程和准线方程；
Ⅱ抛物线的焦点为，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得，的坐标，可得为直径的圆方程，可令，解方程，即可得到所求定点．
13.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线的方程为，，，
直线与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点到直线的距离，
，
解得，即．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式及点到直线的距离．
根据题意得出，即可求出结果；
设出直线方程，化为，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积为，得出方程即可求出结果．
14.【答案】解：过点，
，
解得，
抛物线的方程为，
焦点坐标为，准线为；
证明：由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程为，，
，，
直线为，直线为：，
由题意知，，
由，可得，
，，且，
，
为线段的中点．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程，以及直线和抛物线的关系，属于中档题．
根据抛物线过点，代值求出，即可求出抛物线的方程，焦点坐标和准线方程；
设过点的直线方程为，，，根据韦达定理得到，，根据中点的定义即可证明．
15.【答案】解：点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，
，即，且，，
，
，
点到直线的距离，
，
又点在圆：上，
故，代入得，，
而，
当时，．
【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．
由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；
对求导，由导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得，以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．
第1页，共1页
已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
已知直线与抛物线相切，则等于( )
A. B. C. D.
已知，为抛物线：上异于顶点的两点，是等边三角形，其面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D. 过与抛物线有且仅有一个公共点直线至多有条
设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则．( )
A. B. 以为直径的圆的面积大于
C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于
如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、、、，则的值是
已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 ．
抛物线上到直线距离最短的点的坐标是 ；最短距离是 ．
已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_________．
如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
求抛物线的标准方程和准线方程；
若，证明：直线恒过定点．
已知抛物线：经过点．
Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程；
Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
已知抛物线的焦点为，过且与轴垂直的直线交该抛物线于，两点，．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，若的面积为，求直线的斜率其中为坐标原点．
已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．
求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
求证：为线段的中点．
已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．
【解答】
解：由抛物线：可知，，得到，，
设，，因为的中点的纵坐标为，
所以，则．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
联立直线与抛物线的方程，利用根的判别式为即可求解．
【解答】
解：由消去得，
由于直线与抛物线相切，
所以解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于拔高题．
设，，由抛物线对称性，知点、关于轴对称，可设直线的方程，联立，解得，由是等边三角形可解得的值．
【解答】
解：设，，
，
．
又，，
，
即．
又、与同正，
．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
又，所以不妨设直线的方程为：，
联立，解得．
面积为，
，
又，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系．
由题知，抛物线的焦点，准线方程为，然后逐项分析解答即可．
【解答】
解：由题知，，抛物线的焦点，准线方程为．
A.若，则，所以A正确
B.设直线的方程为，
代入抛物线的方程整理，得，
，
线段的中点坐标为，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到抛物线的准线的距离，
以为直径的圆与准线相切，所以B正确
C.设，则，
当且仅当，，三点共线时等号成立，所以C正确
D.当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，
过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条，所以D错误．
故选ABC．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系．
由已知分类求得所在直线过定点结合选项得答案．
【解答】
解：不妨设为第一象限内的点，
当直线轴时，，由，
得，，
所以直线，的方程分别为：和．
与抛物线方程联立，得，，
所以直线的方程为，此时，
以为直径的圆的面积，故A、不正确．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
与抛物线方程联立消去，得，
则．
设，，则．
因为，所以，
则，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即．
综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；
易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为，
即原点到直线的距离不大于故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及几何意义，是中档题．
设、的坐标分别为，及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出，， 并用，表示，，而所求，代入 上述式子中即可．
【解答】
解：设、的坐标分别为，，依题意知焦点，则设直线方程为：，
联立消去，得，
，
又根据抛物线定义得，，
，，
．
故答案为
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点差法，属于中档题．
设出，坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】
解：设，，
代入抛物线方程得，，，，
整理得，
中点为，
，，
，
则弦所在直线方程为，即为．
故答案为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式．
设出的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得到直线的距离的表达式，根据二次函数的最值求得距离的最小值．
【解答】
解：设为抛物线上任一点，
则到直线的距离
时，取最小值，此时．
故答案为
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
由已知可求过，两点的直线方程为，然后联立直线与抛物线方程组可得，，可表示出，，，，由，再由，代入整理可求．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
整理可得，，
，
即，
，
故答案为．
11.【答案】解：设抛物线的方程为，，
代入，可得，
抛物线的标准方程为，准线方程为；
证明：设，，
则直线方程，
直线方程，
联立直线方程与抛物线方程，
消去，得，
，同理
由得，
所以直线方程为，
，
由，整理得．
由且，得，，
故直线经过定点．
【解析】本题主要考查了抛物线的方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法．
设抛物线的方程为，代入，可得，即可求抛物线的标准方程和准线方程；
设出和所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得，两点的横坐标，再由点斜式写出直线的方程，由式，，代入后整理，即可求出直线恒过的定点．
12.【答案】解：Ⅰ抛物线：经过点可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ证明：抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立抛物线方程，可得，
设，，则有，，
可得，，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
可得，，
可得的中点的横坐标为，
即有为直径的圆心为，
半径为
，
可得圆的方程为，
化为，
由，可得或．
则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．
【解析】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力．
Ⅰ代入点，解方程可得，求得抛物线的方程和准线方程；
Ⅱ抛物线的焦点为，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得，的坐标，可得为直径的圆方程，可令，解方程，即可得到所求定点．
13.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线的方程为，，，
直线与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点到直线的距离，
，
解得，即．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式及点到直线的距离．
根据题意得出，即可求出结果；
设出直线方程，化为，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积为，得出方程即可求出结果．
14.【答案】解：过点，
，
解得，
抛物线的方程为，
焦点坐标为，准线为；
证明：由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程为，，
，，
直线为，直线为：，
由题意知，，
由，可得，
，，且，
，
为线段的中点．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程，以及直线和抛物线的关系，属于中档题．
根据抛物线过点，代值求出，即可求出抛物线的方程，焦点坐标和准线方程；
设过点的直线方程为，，，根据韦达定理得到，，根据中点的定义即可证明．
15.【答案】解：点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，
，即，且，，
，
，
点到直线的距离，
，
又点在圆：上，
故，代入得，，
而，
当时，．
【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．
由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；
对求导，由导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得，以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．
第1页，共1页