3.3.2课时3：抛物线的综合应用- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.2课时3：抛物线的综合应用- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 10:09:39 | ||
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文档简介
3.3.2课时3：抛物线的综合应用
已知直线与抛物线交于两点、，且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点．( )
A. B. C. D.
抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
在直角坐标系中，动点在抛物线上，点满足，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，，，三点坐标分别为 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
已知点为坐标原点，点为抛物线：的焦点，动直线与抛物线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
已知，为平面内两不同定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，其中为常数，则动点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
已知点，的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有( )
A. 若，则的轨迹是椭圆除去两个点
B. 若，则的轨迹是抛物线除去两个点
C. 若，则的轨迹是双曲线除去两个点
D. 若，则的轨迹是一条直线除去一点
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则( )
A. 以线段为直径的圆与直线相离
B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 的最小值为
已知抛物线的方程是，直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则直线必过定点 ．
过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则
已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是 ．
已知顶点在坐标原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标准方程为 ；设为该抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则
已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则等于 ，双曲线方程为 ．
已知抛物线：过点．
Ⅰ求抛物线的方程，并求其准线方程；
Ⅱ过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求弦长．
如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于．
若，求抛物线的焦点坐标；
若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点且不平行于轴的直线与轨迹交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查学生计算能力，属于基础题．
设直线方程为，与抛物线方程联立即可，利用韦达定理解决问题。
【解答】
解：设直线方程为，斜率为的直线不需要考虑，不可能与抛物线交于两点，
联立得，
所以，
所以，
所以，
所以直线恒过定点．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于基础题．
首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
直线倾斜角为，
直线的方程为：
设直线与抛物线的交点为、，
，，
联立方程组
消去并整理，得，
解得，，
，，
：：，
的值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是用相关点法求轨迹方程，向量相等的坐标运算，属于基础题．
设，由，即，解得，再由点在抛物线上，代入即可得出答案．
【解答】
解：设，
，
即，解得
点在抛物线上，
，即，整理得，
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质与定义，属于基础题．
由抛物线可得抛物线焦点坐标，准线方程：，结合抛物线的定义即可求出答案．
【解答】
解：抛物线焦点坐标，准线方程：，
，，，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的方程、几何性质以及与直线的位置关系，属于基础题．
由题意可得抛物线的方程，与直线联立结合韦达定理可得的方程，解之可得值，结合选项可得答案．
【解答】
解：由点为抛物线：的焦点，得抛物线的方程为，
与联立得，
设，，则，
因为，所以，
显然，所以．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线轨迹方程的求法，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
建立平面直角坐标系，设出、坐标，以及、坐标，通过已知条件求出点坐标满足的方程，然后判断选项．
【解答】
解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，、，，
因为，
所以，，
即，当时，轨迹是圆；
当且时，是椭圆的轨迹方程；
当时，是双曲线的轨迹方程；
当时，是直线的轨迹方程，
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选ABD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜率公式，轨迹方程求法，属于中档题．
设点，，得到，再根据选项中的条件，以及圆锥曲线方程的形式，判断即可．
【解答】
解：不妨设点，，
则，
对于．，化简得，，，不是椭圆，A错误；
对于．，化简得，，，B正确；
对于．，化简得，，C正确；
对于．，化简得，，，D正确；
故选BCD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据抛物线的定义和性质，以及直线与圆和抛物线的位置关系对四个选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，点到准线的距离为，
于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．
对于，，设，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程可得，
由韦达定理可得，，
则，
若设，则，
于是，
当且仅当时，取等号，所以最小值为；
当可得，即，
所以，．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到直线过定点的问题，属于中档题．
把平曲线方程整理为标准方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及已知向量的关系式即可求解．
【解答】
解：抛物线的标准方程为：，
设直线的方程为：，，，
把直线方程代入抛物线方程可得：，
所以，，
则
，
所以
，解得，
即直线方程为：，
所以直线过定点，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题．
设出两直线的方程，与抛物线方程联立，利用焦点弦的弦长公式分别表示出，，即可求得答案．
【解答】
解：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为．
由题意两直线斜率一定存在，设，且，则
联立得
则，
则
同理可得，
所以，
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了与抛物线有关的轨迹问题，向量的坐标运算．
根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，设的坐标为，由建立关于的方程组，再消去参数即可得到点的轨迹方程．
【解答】
解：设的坐标为，
抛物线中，，可得
，
，
又
，
可得，消去参数可得，
即点的轨迹方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线方程与性质及平面向量在抛物线中的应用，属于中档题目．
根据题意设出抛物线方程，将点代入得出抛物线方程，设出、、三点坐标，由得出点为三角形的重心，得出，再由抛物线的性质得出、、，进而得出答案．
【解答】
解：由题意设抛物线方程为，，
则，
，
故抛物线方程为，
设，，，
抛物线的焦点坐标，准线方程为，
，
为的重心，
，，
而，，，
，
故答案为；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点，可得，，
双曲线方程为：，
它的渐近线方程为：，即：，
直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：，
，可得
，解得或，
，
所以双曲线方程为：．
故答案为；双曲线方程为：．
15.【答案】解：Ⅰ根据抛物线：过点，可得，解得．
从而抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ抛物线焦点坐标为，
直线：．
设点，，
联立，得：，即．
，
则由韦达定理有：，．
则弦长
．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是基础题．
Ⅰ把点坐标代入抛物线方程，求得，则抛物线方程可求；
Ⅱ求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．
16.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
由题意可设直线：，点，
将直线的方程代入椭圆：得
，
为线段的中点，
点的纵坐标，
将直线的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标；
由题意可设直线：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解．
17.【答案】解：设，
则，
由，可得：
化简得：，即动点的轨迹方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，，，
由得，
，
，
的值为．
【解析】本题主要考查动点轨迹方程，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，属于较难题．
直接由动点满足，即可求出轨迹方程
设直线的方程，联立抛物线方程求得，结合韦达定理及直线的斜率公式即可求解．
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已知直线与抛物线交于两点、，且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点．( )
A. B. C. D.
抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
在直角坐标系中，动点在抛物线上，点满足，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，，，三点坐标分别为 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
已知点为坐标原点，点为抛物线：的焦点，动直线与抛物线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
已知，为平面内两不同定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，其中为常数，则动点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
已知点，的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有( )
A. 若，则的轨迹是椭圆除去两个点
B. 若，则的轨迹是抛物线除去两个点
C. 若，则的轨迹是双曲线除去两个点
D. 若，则的轨迹是一条直线除去一点
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则( )
A. 以线段为直径的圆与直线相离
B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 的最小值为
已知抛物线的方程是，直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则直线必过定点 ．
过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则
已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是 ．
已知顶点在坐标原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标准方程为 ；设为该抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则
已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则等于 ，双曲线方程为 ．
已知抛物线：过点．
Ⅰ求抛物线的方程，并求其准线方程；
Ⅱ过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求弦长．
如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于．
若，求抛物线的焦点坐标；
若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点且不平行于轴的直线与轨迹交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查学生计算能力，属于基础题．
设直线方程为，与抛物线方程联立即可，利用韦达定理解决问题。
【解答】
解：设直线方程为，斜率为的直线不需要考虑，不可能与抛物线交于两点，
联立得，
所以，
所以，
所以，
所以直线恒过定点．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于基础题．
首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
直线倾斜角为，
直线的方程为：
设直线与抛物线的交点为、，
，，
联立方程组
消去并整理，得，
解得，，
，，
：：，
的值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是用相关点法求轨迹方程，向量相等的坐标运算，属于基础题．
设，由，即，解得，再由点在抛物线上，代入即可得出答案．
【解答】
解：设，
，
即，解得
点在抛物线上，
，即，整理得，
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质与定义，属于基础题．
由抛物线可得抛物线焦点坐标，准线方程：，结合抛物线的定义即可求出答案．
【解答】
解：抛物线焦点坐标，准线方程：，
，，，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的方程、几何性质以及与直线的位置关系，属于基础题．
由题意可得抛物线的方程，与直线联立结合韦达定理可得的方程，解之可得值，结合选项可得答案．
【解答】
解：由点为抛物线：的焦点，得抛物线的方程为，
与联立得，
设，，则，
因为，所以，
显然，所以．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线轨迹方程的求法，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
建立平面直角坐标系，设出、坐标，以及、坐标，通过已知条件求出点坐标满足的方程，然后判断选项．
【解答】
解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，、，，
因为，
所以，，
即，当时，轨迹是圆；
当且时，是椭圆的轨迹方程；
当时，是双曲线的轨迹方程；
当时，是直线的轨迹方程，
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选ABD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜率公式，轨迹方程求法，属于中档题．
设点，，得到，再根据选项中的条件，以及圆锥曲线方程的形式，判断即可．
【解答】
解：不妨设点，，
则，
对于．，化简得，，，不是椭圆，A错误；
对于．，化简得，，，B正确；
对于．，化简得，，C正确；
对于．，化简得，，，D正确；
故选BCD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据抛物线的定义和性质，以及直线与圆和抛物线的位置关系对四个选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，点到准线的距离为，
于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．
对于，，设，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程可得，
由韦达定理可得，，
则，
若设，则，
于是，
当且仅当时，取等号，所以最小值为；
当可得，即，
所以，．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到直线过定点的问题，属于中档题．
把平曲线方程整理为标准方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及已知向量的关系式即可求解．
【解答】
解：抛物线的标准方程为：，
设直线的方程为：，，，
把直线方程代入抛物线方程可得：，
所以，，
则
，
所以
，解得，
即直线方程为：，
所以直线过定点，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题．
设出两直线的方程，与抛物线方程联立，利用焦点弦的弦长公式分别表示出，，即可求得答案．
【解答】
解：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为．
由题意两直线斜率一定存在，设，且，则
联立得
则，
则
同理可得，
所以，
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了与抛物线有关的轨迹问题，向量的坐标运算．
根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，设的坐标为，由建立关于的方程组，再消去参数即可得到点的轨迹方程．
【解答】
解：设的坐标为，
抛物线中，，可得
，
，
又
，
可得，消去参数可得，
即点的轨迹方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线方程与性质及平面向量在抛物线中的应用，属于中档题目．
根据题意设出抛物线方程，将点代入得出抛物线方程，设出、、三点坐标，由得出点为三角形的重心，得出，再由抛物线的性质得出、、，进而得出答案．
【解答】
解：由题意设抛物线方程为，，
则，
，
故抛物线方程为，
设，，，
抛物线的焦点坐标，准线方程为，
，
为的重心，
，，
而，，，
，
故答案为；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点，可得，，
双曲线方程为：，
它的渐近线方程为：，即：，
直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：，
，可得
，解得或，
，
所以双曲线方程为：．
故答案为；双曲线方程为：．
15.【答案】解：Ⅰ根据抛物线：过点，可得，解得．
从而抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ抛物线焦点坐标为，
直线：．
设点，，
联立，得：，即．
，
则由韦达定理有：，．
则弦长
．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是基础题．
Ⅰ把点坐标代入抛物线方程，求得，则抛物线方程可求；
Ⅱ求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．
16.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
由题意可设直线：，点，
将直线的方程代入椭圆：得
，
为线段的中点，
点的纵坐标，
将直线的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标；
由题意可设直线：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解．
17.【答案】解：设，
则，
由，可得：
化简得：，即动点的轨迹方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，，，
由得，
，
，
的值为．
【解析】本题主要考查动点轨迹方程，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，属于较难题．
直接由动点满足，即可求出轨迹方程
设直线的方程，联立抛物线方程求得，结合韦达定理及直线的斜率公式即可求解．
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