华东师大版数学九年级下册27.1.2 圆的对称性--垂直于弦的直径性质 授课课件(1)(共26张PPT)

(共26张PPT)
第27章 圆
27.1 圆的认识
第3课时 圆的对称性——垂直
于弦的直径性质
1
课堂讲解
圆的轴对称性
垂径定理
垂径定理的推论
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1
知识点
圆的轴对称性
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，
重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么
结论？
知1－导
知1－讲
圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,经过圆心的
每一条直线都是圆的对称轴.
下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称
轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所
在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知1－练
1
过圆内一点A可以作出(　　)圆的对称轴．
A．1条
B．2条
C．无数条
D．1条或无数条
知1－练
2
2
知识点
垂径定理
知2－导
按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，
把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，
得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
知2－导
第四步，将纸打开，新的折痕与
圆交于另一点B，如图1．
在上述的操作过程中，你发
现了哪些相等的线段和相等的弧
为什么？
知2－讲
1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦
所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的
直径，那么可用几何语言表述为：
知2－讲
要点精析：
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦
的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆
心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径．
(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知2－讲
2.易错警示：
(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．弦
与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则
它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，
弦越长，则其弦心距越小．
(2)两条平行弦所夹的弧相等．
知2－讲
例1 如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 2 ，BD= 3 ，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
导引：
如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上
点，且AC＝BD.
求证：△OCD为等腰三角形．
知2－讲
例2
知2－讲
要证△OCD为等腰三角形，只需证OC＝OD.
导引：
过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图所示．
则AM＝BM，
∵AC＝BD，∴CM＝DM，
又∵OM⊥CD，∴OC＝OD，
∴△OCD为等腰三角形．,
证明：
(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝
6 cm，OC⊥AB于点C，则OC等于(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
知2－练
1
知2－练
(2015·广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，
则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE
2
知2－练
如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)
A．16
B．18
C．19
D．20
3
知3－讲
3
知识点
垂径定理的推论
1.推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平
分这条弦所对的两条弧，即：

要点精析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径．
(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：
知3－讲
2．拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，
它具备以下五个性质：
(1)直线过圆心；
(2)直线垂直于弦；
(3)直线平分弦(不是直径)；
(4) 直线平分弦所对的优弧；
(5)直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，
组成的命题都是真命题．
知3－讲
例3 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N分别为AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
如图所示，连结OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN.
∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
知3－讲
导引：
总 结
知3－讲
证明两条弦相等的方法：
证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等. 根据垂径定理的推论，连结圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.
知3－练
如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)
A．8 cm　　
cm
C．6 cm
D．2 cm
1
知3－练
如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是(　　)
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
2
知3－练
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦
AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
3
(1)圆的轴对称性；
(2)垂径定理及应用．
方法：
(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距
等问题的方法，构造直角三角形；
(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；
(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；
②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧．