华东师大版数学九年级下册27.1.2 圆的对称性-圆心角弧弦间的关系 授课课件(1)(共29张PPT)

(共29张PPT)
第27章 圆
27.1 圆的认识
第2课时 圆的对称性——圆心角、
弧、弦间的关系
1
课堂讲解
圆的旋转对称性
圆心角
圆心角、弧、弦之间的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1
知识点
圆的旋转对称性
动手画一圆
1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得
出：圆是 对称图形；
2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，
这时可以发现圆又是一个 对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与
原来图形互相重合，这是圆的 不变性。
知1－导
知1－讲
1．圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度都
能与自身重合，对称中心为圆心．
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都
是它的对称轴．
如图所示，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥ AB，求证： BC = AE .
知1－讲
如图所示，连结OE.
∵ OE=OC，
∴∠ C= ∠ E.
∵ CE ∥ AB，
∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
∴∠ BOC= ∠ AOE.
∴ BC = AE .
导引：
例1
总 结
知1－讲
由结论可知，在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹弧相等证明两弧所对的弦、圆心角分别相等.
如图所示，在⊙O中，将△AOB绕圆
心O顺时针旋转150°，得到△COD，
指出图中相等的量．
知1－讲
题中涉及的量有：弧、角、线段，按圆的旋转不变性
这一规律找相等的量．
导引：
例2
相等的弧有：
相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，
∠A＝∠B＝∠C＝∠D；
相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD.
解：
总 结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时，具有下列特性：
一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大
小保持不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、
角、线段都相等．
下列说法中正确的有(　　)
(1)圆是轴对称图形；(2)圆是旋转对称图形；(3)圆不
是中心对称图形；(4)圆是轴对称图形但不是旋转对
称图形．
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
知1－练
1
2
知识点
圆心角
知2－导
1.问题：
如图1,∠AOB的位置有什么特点？∠AOB所对弧
是什么？弦是什么？
知2－讲
2.定义：像∠AOB这样顶点在圆心的角叫做圆心角.
3.认识：圆心角∠AOB所对的弧是 、弦是AB，
它们在⊙O中是一一对应的.
下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
知2－练
1
知2－练
如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则 所对的圆
心角等于(　　)
A．40°
B．80°
C．100°
D．120°
2
知2－练
(2015·武威)如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D
均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为________．
3
知3－讲
3
知识点
圆心角、弧、弦之间的关系
1．圆心角、弧、弦的关系定理：
(1)在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，
所对的弦相等；
(2)在一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，
所对的弦相等；
(3)在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，
圆心角所对的弧相等．
知3－讲
拓展：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
要点精析：
(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则
不成立．
(2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”
中的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
(3)圆心角是顶点在圆心的角，圆心角的度数等于它所对的弧
的度数；
知3－讲
(4)在圆心角、弧、弦的关系定理中，圆心角一般指小于
平角的角，因此它所对的弧是劣弧．
2.弦与弦心距之间的关系．
弦心距是指圆心到弦的距离，在同圆或等圆中，“如果
两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等．”
注意：涉及弦心距的问题，应用时要加上垂直的条件．
下列命题中，正确的是(　　)
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角所对的
弧也相等；③在同圆中，两条弦相等，它们所对的弧
也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②　　　　　　　　　 B．①和③
C．①和④ D．①②③④
知3－讲
例3
C
①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故
①正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的
圆心角所对的弧才相等，故错误；③在圆中，一条弦对
着两条弧，所以同圆中的两条弦相等，它们所对的弧不
一定相等，故错误；④根据弧、弦、圆心角之间的关系
定理，可知在等圆中，若圆心角相等，则所对的弦相等,
若圆心角不等，则所对的弦也不等，故④正确．故选C.
知3－讲
导引：
总 结
知3－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推
论的理解，对于圆中的一些易混易错定理和推论应结
合图形来解答．特别要注意两点：(1)看是否有“在同
圆或等圆中”这个前提条件；(2)弦所对的弧要看它们
是否同为优弧或同为劣弧．
如图所示，在⊙ O 中， AB = CD，则
在① AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD；
④ AC = BD中，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知3－讲
例4
D
知3－讲
解：∵ AB = CD，∴ AB=CD，故①正确.
∵ AB = CD，∴ AC = BD .
∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确. 故选D.
总 结
知3－讲
在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等. 线段有和差，弧也有和差.
知3－练
下列说法中，正确的是(　　)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
1
知3－练
在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则 与
的关系是(　　)
A. ＝2 B. ＞2
C. ＜2 D．不能确定
2
知3－练
(2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是(　　)


A．120° B．135° C．150° D．165°
3
知3－练
如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为(　　)
A．5π cm
B．6π cm
C．9π cm
D．8π cm
4
1.本节课应掌握
（1）圆心角的概念；
（2）在同圆或等圆中，弧，弦，圆心角关系定理.
2．在应用定理解决问题时注意“在同圆或等圆中，
弧等 弦等 圆心角等”的关系的灵活转化。