华东师大版数学九年级下册 27.4.1 正多边形和圆的关系 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第27章 圆
27.4 正多边形和圆
第1课时 正多边形和
圆的关系
1
课堂讲解
正多边形与圆的关系的认识
正多边形的有关计算
圆内接正多边形的画法
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
我们已经知道，各条边相等、各个角也相等的多边
形 是正多边形.等边三角形是正三角形，正方形是正四
边 形.正多边形都是轴对称图形，在日常生活和美术设
计中 都很常见.
你还知道那些正多边形？你知道正多边形和圆的关
系吗？
1
知识点
正多边形与圆的关系的认识
1. 正多边形的定义：
各条边相等、各个角也相等的多边形叫做正多边形．
要点精析：“各条边相等、各个角相等”是正多边形的两个基本
特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一不可，否
则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边相等，但各角不
一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都
不是正多边形．
知1－讲
知1－讲
2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个
圆是同心圆．
3. 圆内接正n边形：把圆分成n(n＞2)等份，依次连结各
分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形，而
这 个圆是正 n 边形的外接圆．
拓展：(1)把圆分成n(n＞2)等份，经过各分点作圆的切
线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外
切正n边形，而这个圆是这个正n边形的内切圆．
知1－讲
4. 与正多边形有关的概念：
(1)正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为
正多边形的中心．
(2)正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
(4)正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，
叫做正多边形的中心角．
知1－讲
5. 边心距与弦心距的关系：
边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心
距也可以看成正多边形的外接圆中，圆心到多边形
的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距；
但弦心距不一定是边心距．
知1－讲
下列说法不正确的是(　　)
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
例1
等边三角形是正三角形；当菱形的四个角相等时才
是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；
各边相等，各角相等的多边形是正多边形，故D不对．
导引：
D
总 结
知1－讲
解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形是
否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．
知1－讲
如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C
＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
例2
根据同圆中相等的圆周角所对的弧
相等，得出 利用等式
的性质，两边同时减去 ，即
可得到 ，根据等弧所对的
弦相等，得出BC＝AE.
导引：
知1－讲
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
圆周角∠A对 ，圆周角∠B对 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等．
∴五边形ABCDE是正五边形．
证明：
总 结
知1－讲
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等,
利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．
其证明思路如下：角相等 弧相等 弦相等
正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利
用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形,
证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连结各等
分点，所得多边形即为正多边形.
下列说法正确的是(　　)
A．平行四边形是正多边形
B．矩形是正四边形
C．菱形是正四边形
D．正方形是正四边形
知1－练
1
已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：
① ；②AB＝BC＝CD＝DA；
③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.在这些条件中，能够判定
四边形ABCD是正方形的条件共有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
知1－练
2
下列多边形中，是正多边形的为(　　)
A．各边都相等的多边形
B．有一个角为120°的等边多边形
C．各角都相等的四边形
D．每个角都是108°的等边多边形
知1－练
3
2
知识点
正多边形的有关计算
知2－讲
已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是
正几边形？
例3
由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n
边形的内角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的
值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求边数．
导引：
知2－讲
方法一：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，
∴此正多边形内角和为150°n＝(n－2)·180°，
解得n＝12.
∴此多边形为正十二边形．
方法二：
∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也相等，
∴每个外角为180°－150°＝30°.
又∵多边形的外角和是360°，
∴360°÷30°＝12，即此多边形为正十二边形．
解：
总 结
知2－讲
求正多边形的边数常用的方法：
一是利用多边形内角和公式(n－2)·180°求出多边形内
角和，再根据每个内角的度数相等除以n；
二是先求出每个外角的度数,再用360°除以每个外角的
度数即可．
半径为8 cm的圆的内接正三角形的边长为(　　)
A． cm B． cm
C．8 cm D．4 cm
知2－练
1
知2－练
如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论
错误的是(　　)
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B.
C．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
D．∠BAC＝30°
2
知2－练
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比
是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．2∶π
3
知3－讲
3
知识点
圆内接正多边形的画法
1. 用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等
的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先
用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取
这个圆心角所对弧的等弧”．这种方法简便，且可以画
任意正多边形、误差小．
知3－讲
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依
次连结圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，
不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上
讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图
的误差．
3. 易错警示：作图时由于忽视累积误差的影响，导致作
图不准，应减少累积误差．
知3－讲
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
例4
先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出
中心角为120°的角(2个)，依次连结与圆的交点
即可 , 或将圆六等分, 再依次连结相隔一个的等
分点即可．
导引：
知3－讲
作法一：(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB＝∠BOC ＝120°；
(3)连结 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．
解：
知3－讲
作法二：(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交⊙O于
C，F和D，E；
(4)连结AD，DE，EA.则△ADE为所
求作的正三角形，如图所示．
总 结
知3－讲
1. 画圆内接正n 边形，实质是找圆的n 等分点.
2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差.
3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.
知3－练
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
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正多边形与圆的关系：