6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
基础知识
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i,j,取{i,j}作为基底,对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a= ,有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 .
2.平面向量加、减运算的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
a+b= ;
a-b= .
3.若O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则= ,= ,
= .
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a,b的坐标分别为( )
A.(4,0),(-2,6) B.(-2,6),(4,0)
C.(2,0),(-1,3) D.(-1,3),(2,0)
2.如图,{e1,e2}是一个基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),则向量a的坐标为 ( )
A.(1,3) B.(3,1)
C.(-1,-3) D.(-3,-1)
3.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ( )
A.(-7,-4) B.(1,2)
C.(-1,4) D.(1,4)
4.如果将=,,绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是 ( )
A.-, B.,-
C.(-1,) D.-,
二、多选题
5.已知=(-2,4),则下列说法不正确的是 ( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)
6.以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D的坐标可以是( )
A.(2,3) B.(2,-1)
C.(4,1) D.(-2,-1)
三、填空题
7.(教材改编题)在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是 .
8.已知在平面直角坐标系中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),若=,则点D的坐标为 .
四、解答题
9.已知长方形ABCD的长为4、宽为3,建立如图所示的平面直角坐标系,i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,试求和的坐标.
10.(1)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b的坐标;
(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=,=,求M,N及的坐标.
素养提升
一、选择题
1.已知向量a=,b=,c=,若=a+b+c,且A(1,1),则向量的终点B的坐标为 ( )
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
2.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.如图,在 ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则= .
4.已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),则msin α+ncos α的最大值为 .
三、解答题
5.如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,用向量的方法证明:DE∥BC.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标.
(2)求向量的坐标.
(3)求点B的坐标.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
基础知识
1.单位向量 xi+yj a=(x,y)
2.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2)
3.(x1,y1) (x2,y2) (x2-x1,y2-y1)
基础巩固
1.C 2a=(a+b)+(a-b)=(4,0),于是a=(2,0),所以b=(-1,3).
2.A 因为e1,e2分别是与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,由题图可知a=e1+3e2,根据平面向量坐标的定义可知a=(1,3).
3.A 设C(x,y),因为=(-4,-3),所以(x,y-1)=
(-4,-3),所以x=-4,y-1=-3,
所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).
所以=(-4-3,-2-2)=(-7,-4).
4.D 设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x,y),
则x=||cos(120°+30°)=-,y=||·sin(120°+30°)=,由此可知B点坐标为,故的坐标是.
5.ABC 只有当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同.
6.ACD 设D(x,y),若=,则(1,-1)=(x-3,y-2),即
解得即D(4,1);
若=,则(1,-1)=(3-x,2-y),
即
解得即D(2,3);
若=,
则(-2,-2)=(x,y-1),
即
解得即D(-2,-1).
7.解析：因为A(2,2),B(1,1),
所以=(-1,-1).
答案:(-1,-1)
8.解析：设D(x,y),因为=,
所以所以
答案:(1,1)
9.解析：由题图知,CB⊥x轴,CD⊥y轴,
因为AB=4,AD=3,所以=4i+3j,
所以=(4,3).
因为=+=-+,
所以=-4i+3j,所以=(-4,3).
10.解析：(1)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2);
(2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则=(x1+3,y1+4)=(1,8),x1=-2,y1=4;
=(x2+3,y2+4)=(6,3),x2=3,y2=-1,
所以M(-2,4),N(3,-1),=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5).
素养提升
1.A =a+b+c=++=,
设终点为B,则=,
所以所以
所以终点B的坐标为(9,1).
2.C 如图所示,因为∠AOC=45°,
所以设C(x,-x),则=(x,-x).
又因为A(-3,0),B(0,2),
所以λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),
所以 λ=.
3.解析：=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),=+=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
4.解析：因为四边形ABCD为平行四边形,则=,
即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即得m=1,n=-2,得msin α+ncos α=sin α-2cos α=sin(α+φ),其中tan φ=-2,故msin α+ncos α的最大值为.
答案:
5.证明：如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
设||=1,则||=1,||=2.
因为CE⊥AB,而AD=DC,所以四边形AECD为正方形,所以可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),
D(-1,1).
因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
所以=,所以∥,即DE∥BC.
6.解析：(1)过A点作AM⊥x轴于点M,如图.
则OM=OA·cos 45°=4×=2,
AM=OA·sin 45°=4×=2,
所以A(2,2),故a=(2,2).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.又OC=AB=3,
所以C,
所以==,
即b=.
(2)=-=.
(3)=+
=(2,2)+
=.
所以B.
