5.2.1三角函数的概念 练习（含解析）

人教版高中数学（2019）必修第一册第五章5.2.1三角函数的概念
一、单选题
1．已知角的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
2．若 ，则点 位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知角终边经过点，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知点是角终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点．且点的横坐标为，若角的终边与角的终边关于轴对称，则（　　）
A． B．
C． D．
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若点在角α终边上，则（　　）
A． B．0 C． D．
7．已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知角的终边经过点，且，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系 中，角 顶点在原点 ，以 正半轴为始边，终边经过点 ，则下列各式的值恒大于0的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知点是角终边上一点，则（　　）
A． B．
C． D．
11．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（　　）
A．
B．α为钝角
C．
D．点(tan θ，tan α)在第四象限
12．下列结论正确的是（　　）
A． 是第三象限角
B．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
C．若角 的终边过点 ，则
D．若角 为锐角，则角 为钝角
三、填空题
13．角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα=　 　．
14．不等式在区间上的解集为　 　．
15．已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=　 　
16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为　 　．
四、解答题
17．已知角 终边上有一点 ，求下列各式的值．
（1） ；
（2）
18．已知角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．
（1）已知 ，且 为第三象限角，求 的值
（2）已知 ，计算 的值.
20．
（1）已知角 的终边经过点 ，求 的值；
（2）已知角 的终边经过点 ，求 的值；
（3）已知角 的终边上一点 ，且 ，求 ．
21．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
22．如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，．
（1）求的值；
（2）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求的值；
（3）若点与关于轴对称，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由题设，。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合余弦函数的定义，进而得出角 的余弦值。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴tanα<0，cosα>0，
∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，
故选：B
【分析】根据三角函数的符号规律，可判断tanα<0，cosα>0，进而可得结论.
3．【答案】B
【解析】【解答】因为角终边经过点，且，
所以，所以，且，
解得，
所以
故答案为：B.
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义求出m的值，进而求出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】依题意点的坐标为，
故答案为：B
【分析】 根据余弦函数的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可得答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】显然，，的终边与角的终边关于轴对称，故，，所以，所以C符合题意
故答案为：C
【分析】由三角函数的定义，把点的坐标代入结合诱导公式计算出结果即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】由定义可知，，，，
则.
故答案为：D
【分析】 直接利用三角函数的定义和三角函数的值的应用求出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】角的终边经过点，，
则，，，
．
故答案为：A．
【分析】根据角的终边过的点，求出角的三角函数值，利用弦函数化切函数，求得答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】点的纵坐标为，且，
所以在第三象限，
所以，
，
.
故答案为：B
【分析】 由点的纵坐标为，且，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，及tana的值，分别代入所求的式子中即可求出答案.
9．【答案】A,B
【解析】【解答】由题意知 ， ， .
选项A ；
选项B， ；
选项C， ；
选项D， 符号不确定.
故答案为：AB.
【分析】根据角 终边经过点 ，结合三角函数的定义可以判断角 的正弦、余弦、正切的正负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
10．【答案】A,C
【解析】【解答】因为点是角终边上一点，则，
于是得，A符合题意；
，当时，，当时，，B不正确；
又，则，C符合题意，D不正确.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合勾股定理和三角函数的定义，再结合分类讨论的方法和同角三角函数基本关系式，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】角θ的终边经过点，，A符合题意．
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B不符合题意，C符合题意．
因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】根据角θ的终边经过点 ，且 θ与α的终边关于x轴对称， 先计算出，进而逐项进行分析判断，可得答案。
12．【答案】B,C
【解析】【解答】A： 终边与 相同，为第二象限角，所以A不正确；
B：设扇形的半径为 ，
扇形面积为 ，所以B符合题意；
C：角 的终边过点 ，根据三角函数定义，
，所以C符合题意；
D：角 为锐角时， ，所以D不正确.
故答案为：BC
【分析】根据角的定义，可判断A是否正确；由扇形的面积公式，判断B是否正确；根据三角函数定义，判断C是否正确；根据角的范围，判断D是否正确.
13．【答案】﹣2
【解析】【解答】解：∵已知角α的终边上有一点M（﹣2，4），
∴x=﹣2，y=4，
∴tanα= =﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，可得tanα的值．
14．【答案】
【解析】【解答】如图所示，由于，
所以在上的解集为．
故答案为：
【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.
15．【答案】-
【解析】【解答】由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；
再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．
∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP cos∠xOQ﹣sin∠xOP sin∠xOQ=
故答案为：﹣．
【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和 sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．
16．【答案】（，）
【解析】【解答】解；设点A′的坐标（x，y），则OA＝OA′，
设A为α终边上的一点，则sinα ，cos ，
则cos（ ） ，sin（ ） （sinα+cosα） ，
即x ，y ，
故点A′的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【分析】根据三角函数定义求出sinα，cosα，然后通过两角和的正弦、余弦公式求出cos（ ）及sin（），即可确定的坐标 。
17．【答案】（1）解：
（2）解： ，
原式上下同时除以
【解析】【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义求得tana的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值.
18．【答案】（1）解：点到坐标原点的距离．
因为，所以．
根据三角函数的定义，可得．
（2）解：根据三角函数的定义，可得
．
【解析】【分析】 (1) 根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解出 的值；
(2)根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解出 的值．
19．【答案】（1）解： ,∴ ,又∵ 是第三象限.
∴
（2）解：
【解析】【分析】（1）由 ，结合 为第三象限角，即可得解；（2）由 ，代入求解即可.
20．【答案】（1）解： （O为原点），
（2）解： （O为原点），
当 时， ；
当 时，
（3）解：由题设知 ，
（O为原点）， ．
所以 ，即 ，
解得 ．
当 时，
当 时，
【解析】【分析】(1)根据题意由任意角的三角函数值结合已知条件计算出结果即可。
(2)根据题意对a分情况讨论结合任意角的三角函数值计算出结果即可。
(3)由已知条件设出，结合任意角的三角函数值公式即可求出m的值，由此即可求出的值。
21．【答案】（1）解：因为角终边与单位圆相交于点，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
所以.
【解析】【分析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得 的值；
(2)由题意可得 ， 再利用诱导公式，求得 的值.
22．【答案】（1）解：因为角的终边与单位圆交于点，且，
由三角函数定义，得.
因为，所以.
因为点在第一象限，
所以.
（2）解：因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，
所以.
因为，
所以
（3）解：因为点与关于轴对称，
所以点的坐标是.
连接交轴于点，所以．
所以
.
所以的值是.
【解析】【分析】(1)由已知条件设出点的坐标，结合圆的几何性质由余弦函数的定义即可得出点的坐标，由此得出答案。
(2)根据题意结合诱导公式以及正弦函数的定义，代入数值计算出结果即可。
(3)由已知条件即结合正切函数的定义以及二倍角的正切公式，再把结果代入到公式计算出结果即可。