4.2指数函数 重点突破专练（含解析）

高一指数函数重点突破
考点一、指数的运算
1．计算：__________.
2．（1）计算
（2）化简：.
（3）已知，求的值.
3．已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．计算下列各式
(1)；
(2)已知，求下列各式的值：
①；
②．
5．设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（ ）
A． B． C． D．
考点二、指数函数的定义域和值域
6．若存在x满足不等式，则实数a的取值范图是______________．
7．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．不等式的解集是___________.
10．已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A． B．2 C． D．
11．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
13．函数在上的值域为___________.
14．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（ ）
A． B． C． D．或
15．函数的值域为____.
16．已知函数，下面说法正确的有（　　）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
考点三、指数函数的单调性
17．函数的单调递减区间是____________．
18．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（　　　）
A． B．
C． D．
19．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
22．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是___________.
23．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
24．若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
考点四、指数函数的图像与性质
25．已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数的值域为
C．函数在区间上单调递增
D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是
27．若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．函数(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A．B．C． D．
考点五、指数指数奇偶单调的综合应用
29．已知是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A．56 B． C．54 D．
30．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．3 D．2
31．已知函数是偶函数，则实数______
32．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
33．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
34．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．
35．已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求a，b的值．
(2)判断函数的单调性，并用定义证明．
(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案：
1．##
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：.
2．(1)；(2)；(3)
【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解；
(2)根据分数指数幂的运算性质即可求解；
(3)根据题意，先计算，然后将其平方得到，代入即可求解.
【详解】(1)
(2)
(3)因为，两边同时平方可得：，
再将两边同时平方可得：，
所以.
3．ACD
【分析】根据幂的运算法则求解判断．
【详解】，，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C正确；
，因此D正确．
故选：ACD．
4．(1)89；
(2)①；②.
【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解；
(2)①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可；
②根据公式，结合①计算即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）①∵，
∴，
又由得，
∴，
所以；
②（法一）
，
（法二）
，
而
，
∴，
又由得，
∴，
所以.
5．BD
【分析】根据根与系数关系可求，，结合指数运算判断各选项对错.
【详解】因为m，n是方程的两根，所以由根于系数关系可得，，所以，，
，，所以B，D正确，
故选：BD.
6．
【分析】根据指数函数的单调性化简，令，然后结合二次函数的图像列出不等式，即可得到结果.
【详解】根据题意可得存在x满足，即
令，
即存在x满足
所以，解得或
即a的取值范图是
故答案为:
7．B
【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【详解】解：由题意得：，
故，故，
解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
8．B
【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.
【详解】的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
9．
【分析】根据指数函数的单调性即可求解．
【详解】．
故答案为：．
10．AC
【分析】分、讨论，利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.
【详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得或（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得或（舍去）．
故选：AC．
11．B
【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.
【详解】令，
则，
所以
又在上单调递增，
所以
即
故选：B.
12．D
【分析】根据换元法以及反比例函数的单调性即可求解的值域，根据高斯函数的定义即可求解的值域.
【详解】由令则，故为，，
由于在单调递增，故在单调递增，故当时，，
故，进而，
故选：D
13．
【分析】本题考查换元法，再结合二次函数求值域．
【详解】
∵则令
在递增
∴
故答案为：．
14．D
【分析】分和两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值.
【详解】时，在上单调递增，
则，解得，
此时，.
当时，
在上单调递减，
所以，解得，
此时，.
综上，m的值为或，
故选：D.
15．
【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
16．AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
17．
【分析】结合复合函数单调性求解即可.
【详解】对于在定义域上为减函数；
对于，首先满足，即，函数在上单减，在单增；
根据“同增异减”性质，的单调递减区间是.
故答案为：
18．C
【分析】由分段函数单调性列式求解，
【详解】由题意得在上单调递增，
则，解得，
故选：C
19．C
【分析】根据分数指数幂的运算和指数函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】∵，所以，
又∵，即，
因此，.
故选：C.
20．A
【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.
【详解】因为单调递增，所以，
因为单调递减，所以，，
即，
因为，所以，即，
综上：.
故选：A
21．ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则．
对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
22．
【分析】根据分段函数为单调递减函数列出不等式组解即可.
【详解】由题意，函数对任意的，都有成立，
即函数为R上的减函数，
可得，解得.
故答案为：.
23．C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，
所以，
又，
∴．
故选：C．
24．A
【分析】根据指数函数的知识确定正确答案.
【详解】函数在上递增，函数在上递减，
所以，
所以.
故选：A
25．C
【分析】由可得出，分析函数的单调性与可判断出函数的图象.
【详解】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
如选：C.
26．BC
【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用函数单调性定义及指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D.
【详解】解：已知函数（，且），则
对于A，，函数恒过定点，故A错误；
对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；
对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：
当时不合题意；时，需要，即，故D错误；
故选：BC.
27．D
【分析】根据指数函数性质可求得的值域，由此可构造不等式求得结果.
【详解】，，，
与轴有公共点，，解得：.
故选：D.
28．C
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；
对于CD，因为渐近线为，故，故时，，
故选项C符合，D不符合；
当时，，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；
故选：C
29．D
【分析】先根据求出，再根据代入题目条件计算即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
得
当时，，得
故选：D.
30．B
【分析】由求得正确答案.
【详解】，
，
所以，
所以，
因为，所以.
故选：B
31．1
【分析】由偶函数的性质可知，再由不恒为0，可得的值.
【详解】因为是偶函数，
所以由得，，即，故，
因为，所以不恒为0，故.
故答案为：1.
32．D
【分析】利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
33．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可．
（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．
（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时，
所以时，是奇函数.
所以；
（2）由（1）可得，
因为，可得，所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为；
（3）由可得，
即，可得对于恒成立，
令，
则，
函数在区间单调递增，
所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
34．(1)，
(2)增函数，或
(3)
【分析】（1）为上的奇函数，利用和，列方程即可求出与；
（2）判断为增函数，利用的单调性解不等式；
（3）化简，利用，
可得，根据，判断出的范围，进而得到的值域.
【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，
∴，得．此时，，，即是R上的奇函数．
∵，∴，即，∴或（舍去）
故，
（2）明显地，为增函数，则只需，，
∴或．
（3）∴，
令，由（2），易知在上为增函数，
∴，∴
当时，有最大值；
当时，有最小值，∴的值域是．
35．(1)，．
(2)在上为减函数，证明见解析．
(3)．
【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；
（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；
（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.
（1）
因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，
∴，又∵，即，∴．
则，由，
则当，原函数为奇函数．
（2）
由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在R上是增函数，，∴．又，
∴，即，∴在上为减涵数．
（3）
因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．