第四章 指数与对数函数 单元复习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章指数与对数函数——单元复习
一、单选题
1．“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．9
3．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（　　）．
A． B． C． D．3
4．设，，则=（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）．
A． B． C． D．
6．已知函数，则对任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（　　）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
8．已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列运算中正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
10．已知，则下列选项中正确的有（　　）
A． B． C． D．
11．已知，当时，，则（　　）
A．， B．
C． D．
12．已知函数，，则（　　）
A．对于任意，函数有零点
B．对于任意，存在，函数恰有一个零点
C．对于任意，存在，函数恰有二个零点
D．存在，函数恰有三个零点
三、填空题
13．计算：　 　．
14．已知，，则　 　．（用a，b表示）
15．已知函数 ，则 的值为　 　．
16．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是　 　．
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知函数，（，），.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）当时，求不等式的解集.
19．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，问：
（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用=）
（2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）
20．已知函数，且的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点．
21．若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
（1）求a，b的值；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
22．已知函数（且）.
（1）若，求的单调区间；
（2）已知有最大值，且，，，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为指数函数单调递增，
由可得：，充分性成立，
当时，，但不一定，必要性不成立，
故答案为：A
【分析】根据指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】由，则，，.
故答案为：B.
【分析】根据指对互化可求出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数，
因为图像①单调递减，由指数函数的图象性质可知，排除D；
再由图像②存在的图像，由幂函数的图象性质可知的分母为奇数，排除AC；
综上：满足a的取值要求，A的可能取值为.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和幂函数的单调性与奇偶性性，求得的取值范围，结合选项，即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意知，，
则，
故答案为：D
【分析】 由已知结合对数的运算性质即可求解出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】化简，，，进而得到的大小关系，得到答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】因为，
所以，A符合题意，C不符合题意；
，不是常数，BD不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据条件直接计算，进而即得．
7．【答案】A
【解析】【解答】依题意可知当t=0时，y=6.05，即0.05+=6.05，=6，所以，
由，得，解得t≥ln120=3ln2+ln3+ln5≈4.8，至少需要放置的时间为5周.
故答案为：A
【分析】根据题意，解相应的指数和对数不等式即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.
函数恒过定点，，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.
综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 若函数有两个零点，得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，在同一坐标系内画出函数f (x)的图象与的图象，数形结合可求解出实数的取值范围 .
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，因为，所以，则，A不符合题意；
对于B，因为，所以，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合根式与指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，进而找出运算正确的选项。
10．【答案】A,C
【解析】【解答】，
；
，
；
A符合题意，B不符合题意；
；
，
，
C符合题意，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】因为，且，可得，从而得到，
因为，所以，
所以，
而，（，等号不成立）
所以.
从而可知ACD符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用，可得，从而得到，再对每一个选项进行分析即可.
12．【答案】A,B,D
【解析】【解答】A选项：如图为的图象，由题意知，的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
当时，函数和的图象一定有交点；
当，时，，当时 ，，则由零点存在性定理得有零点，A符合题意；
B选项：当时，，当时，，所以切线的斜率都大于或等于1，当时，直线与有一个交点，即有一个零点，B符合题意；
C选项：由B选项得，当时，对于任意的，只有一个零点，C不符合题意；
D选项：当时，，所以在的切线方程为，所以当时，直线与有三个交点，即有三个零点，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】A选项：将的零点个数可以转化为与图象的交点个数，根据图象即可得到当时一定有零点，当时，利用零点存在性定理判断即可；
BCD选项：根据切线斜率的范围来判断直线与图象的交点情况即可.
13．【答案】7
【解析】【解答】原式．
故答案为：7.
【分析】 直接利用指数幂的运算法则化简，可得答案.
14．【答案】
【解析】【解答】因为，所以，
又因为，，所以，
由换底公式可得：.
故答案为：.
【分析】化指数式为对数式，再结合换底公式及对数的运算性质可求出答案.
15．【答案】
【解析】【解答】因为 ，则 .
故答案为： .
【分析】利用分段函数的性质、对数数的运算性质即可求出 的值 。
16．【答案】
【解析】【解答】解：因为函数 ，若实数a，b，c满足 ，且 ，
；
如图： ，且 ；
令 ；
因为 ；
，当且仅当 时取等号；
， ；
故答案为：
【分析】根据函数的表达式，作出函数图象，结合函数的零点与方程根的关系，得到a，b，c的关系，利用基本不等式，即可求出相应的取值范围。
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
=21
【解析】【分析】（1）根据根式和分数指数幂互化进行化简即可；
（2）利用对数的运算性质进行计算即可.
18．【答案】（1）证明：由 得的定义域为．
所以是奇函数.
（2）解：任取，
，
由题设可得 ，，，
故，
，
函数在上是增函数；
∵，为奇函数，
∴，
又函数在上是增函数，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为.
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义结合对数的运算性质，整理化简即可得出函数为奇函数。
(2)根据题意由对数的运算性质结合函数单调性的定义，整理化简即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围由此得出不等式的解集。
19．【答案】（1）解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，
所以关于的表达式为
（2）解：因为，所以，
当且仅当时取等号，即时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.
【解析】【分析】（1）根据题意，将购买设备的费用，管理费，维修费求和，并除以年限，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
20．【答案】（1）解：因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
（2）解：因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
（3）证明：因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点．
【解析】【分析】(1)由特殊值代入法，把点的坐标代入到指数函数的解析式，计算出a的取值从而得出函数的解析式。
(2)结合指数函数的单调性，代入数值计算出函数的值，由此得出函数的最值。
(3)首先整理化简函数g(x)的解析式，然后由零点存在性定理代入数值计算出结果，由此得出答案。
21．【答案】（1）解：令，则，
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则，解得；
（2）解：令，则，于是方程可变为，即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.
【解析】【分析】(1)由已知条件结合指数函数的性质即可得出，函数g(x)的最值然后由二次函数的图象和性质即可求出a与b的取值。
(2)根据题意整理化简即可求出t与k的关系，再由函数的单调性即可求出函数的取值，结合已知条件即可得出k的取值范围。
22．【答案】（1）解：由得，则的定义域为.
当时，，函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减.
故的单调递增区间为.单调递减区间为.
（2）解：，.得.
因为有最大值.所以在上有最大值，则，.
因为，所以.
因为，，，所以.
所以，解得，A的取值范围为
【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性结合对数的运算性质，整理化简函数的解析式，由此即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围从而即可得出函数的定义域，然后由复合函数的单调性结合二次函数和对数函数的单调性，即可得出答案。
(2)由复合函数的单调性结合二次函数和对数函数的图象和性质，即可求出函数的最大值，结合题意即可得出不等式，由对数函数的单调性即可求出a的取值范围。