广西梧州市黄埔双语实验学校2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理科）试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广西梧州市黄埔双语实验学校2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理科）试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 454.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 10:56:50 | ||
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文档简介
2022年秋黄埔双语实验学校期中高三考试（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，0，1}
2．（5分）已知复数z＝（1﹣2i） 2i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B．2 C．2 D．5
3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（ ）
A．3 B．1 C. 0 D. ﹣3
4．（5分） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
6．（5分）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1）其拉格朗日余项是．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn 不超过时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（5分）老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）p：直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点；q：点（a，b）在圆x2+y2＝1外．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）函数f（x）＝lg的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax+b在x＝0处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为（ ）
A．[0，ln2] B．[，2] C．[，e] D．[1，1+ln2]
12．（5分）已知S，A，B，C四点都在某个球表面上，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．3π D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是单位向量，且|+|＝，则向量与的夹角为 ．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，则a3+a7＝ ．
15．（5分）若x＞0，y＞0，xy＝10，则的最小值为 ．
16．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，直线AF1与双曲线的左支交于点B，且|AB|＝|AF2|，设双曲线的离心率为e，则e2＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝S．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积S．
18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥AD，DE⊥平面ABE．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（2）若DC＝DE＝1，AB＝AD＝2，求二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值．
19．（12分）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）来刻画．
①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．
（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e﹣0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6．
参考公式：＝x+，＝，＝﹣．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（m＞0）．
（Ⅰ）若m＝2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；
（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0），试求当时，|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．
2021年黄埔双语实验学校12月份期中考试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【解答】解：∵A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B＝{x∈Z|x＜2}∩{x|﹣2＜x＜3}＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．（5分）已知复数z＝（1﹣2i） i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．1
【解答】解法1：.；
解法2：．
故选：A．
3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（ ）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．
故选：D．
4．（5分）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝sin（﹣）＝﹣sin＝﹣．
故选：A．
5．（5分）（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（ ）
A．5 B．3 C．0 D．﹣3
【解答】解：（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝0，
故选：C．
6．（5分）英国数学家秦勒（B．Taylor，1685﹣1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1）其拉格朗日余项是．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据题意，得，即（n+1）!≥3000，
又（5+1）!＝6×5×4×3×2×1＝720，（6+1）!＝7×6×5×4×3×2×1＝5040＞3000，
所以n的最小值是6．
故选：B．
7．（5分）老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，
规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，
基本事件总数n＝＝20，
该同学能及格包含的基本事件个数m＝＝16，
∴该同学能及格的概率P＝＝＝．
故选：D．
8．（5分）p：直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点；q：点（a，b）在圆x2+y2＝1外．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：p：∵直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点，
∴≤1，∴a2+b2≥1，
q：∵点（a，b）在圆x2+y2＝1外，
∴a2+b2＞1，
∴q能推出p，p不能推出q，∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：
∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF＝，OE＝
故cos∠OEF＝＝
故选：D．
10．（5分）函数f（x）＝lg的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：＝，
可知：f（x）是奇函数，排除C、D，
在上，，，
故选：A．
11．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax+b在x＝0处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为（ ）
A．[0，ln2] B．[，2] C．[，e] D．[1，1+ln2]
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣ax+b，所以f'（x）＝ex﹣a，
由题意知，f'（0）＝e0﹣a＝1，解得a＝0，
把x＝0代入f（x）＝ex+b得，切点为（0，1+b），
而切点也在切线方程上，于是有1+b＝0，解得b＝﹣1，
所以f（x）＝ex﹣1，
令0≤f（x）＝ex﹣1≤1，则1≤ex≤2，即0≤x≤ln2，
所以满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为[0，ln2]．
故选：A．
12．（5分）已知S，A，B，C四点都在某个球表面上，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．3π D．
【解答】解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，则∠ADS＝，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取△ABC，△SBC的外心E，F，过点E，F分别作两平面的垂线，
两直线的交点为O，则O为三棱锥外接球的球心，连结OA，则球O半径R＝OA，
由题意知BD＝，AD＝，DE＝AD＝，AE＝AD＝，
连结OD，在Rt△ODE中，∠ODE＝，OE＝DE＝，
∴OA2＝OE2+AE2＝，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是单位向量，且|+|＝，则向量与的夹角为 60° ．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
，是单位向量，且|+|＝，
则（+）2＝2+2 +2＝2+2cosθ＝3，变形可得cosθ＝，
而0°≤θ≤180°，则θ＝60°，
故答案为：60°．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，则a3+a7＝ 10 ．
【解答】解：∵等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，
∴a2+a5+a8＝3a5＝15，解得a5＝5，
∴a3+a7＝2a5＝10．
故答案为：10．
15．（5分）若x＞0，y＞0，xy＝10，则的最小值为 2 ．
【解答】解：由x＞0，y＞0，xy＝10，
则，
（当且仅当x＝2，y＝5时，取“＝”）
即的最小值为2．
故答案为：2．
16．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，直线AF1与双曲线的左支交于点B，且|AB|＝|AF2|，设双曲线的离心率为e，则e2＝ 5+2 ．
【解答】解：∵|AB|＝|AF2|，A为圆与双曲线在第一象限交点，即|AF1|＞|AF2|，∴B在线段AF2上，
由双曲线定义可知：|AF1|﹣|AF2|＝2a，又|AB|＝|AF2|，∴|AF1|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AB|＝|BF1|＝2a，
又|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a，
∵A在以F1F2为直径的圆上，∴AF1⊥AF2，∴|AB|＝|AF2|＝2a，
由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2得：，
故e2＝．
故答案为：5+2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝S．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴，即，
∴，且C∈（0，π），
∴；
（2）∵，，
∴＝，解得ab＝3，
∴．
18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥AD，DE⊥平面ABE．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（2）若DC＝DE＝1，AB＝AD＝2，求二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ABE，又AB 平面ABE，所以DE⊥AB，
又AB⊥AD，DE∩AD＝D，DE，AD 平面ADE，
所以AB⊥平面ADE，又AB 平面ABCD，
所以平面ADE⊥平面ABCD；
（2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为DE⊥平面ABE，AE 平面ABE，所以DE⊥AE，故△ADE为直角三角，
因为AD＝2，DE＝1，所以AE＝，∠DAE＝30°，
故，D（0，2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），
所以，
设平面DBC的法向量为，
则，即，
令z＝1，则，
设平面BCE的法向量为，
则，即，
令a＝4，则b＝2，，故，
所以＝，
故二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值为．
19．（12分）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）来刻画．
①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．
（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e﹣0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6．
参考公式：＝x+，＝，＝﹣．
【解答】解：（1）①由已知得出x与z的关系，如下表：
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设线性回归方程，
由题意，得，，
∴＝（﹣2）×0.2+（﹣1）×0.1+1×（﹣0.1）+2×（﹣0.2）＝﹣1，
，
则，
，
则z关于x的线性回归方程为；
②由y＝kcx+20（x≥0），得y﹣20＝kcx（x≥0），
两边取对数得，ln（y﹣20）＝lnk+xlnc，
利用①的结论得：lnc＝﹣0.1，lnk＝4.2，
∴c＝e﹣0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7；
（2）由（1）得，y＝66.7×0.9x+20（x≥0），
令y＝60，得x≈log0.90.6≈4.8．
∴该品种绿茶用85℃的水泡制4.8min后饮用，口感最佳．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（m＞0）．
（Ⅰ）若m＝2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴椭圆C：+＝1，
∴c＝，a＝2，b＝，
∴椭圆C的离心率e＝，短轴长2b＝2．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，由题意设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（m+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4m＝0，
∵以线段AB为直径的圆恰好过原点，
∴⊥，∴x1x2+y1y2＝0，
即（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2＝0，
∴（1+k2） +k2（）+k2＝0，
∴k2＝，
由≥0，m＞0，得0＜m＜，
当直线l的斜率不存在时，
∵以线段AB为直径的圆恰好过坐标原点，∴A（﹣1，1），
∴＝1，解得m＝．
综上所述，m的取值范围是（0，]．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；
（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当a＝1，b＝0时，f（x）＝x2+x﹣lnx，
所以，x＞0，
所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，
所以当且仅当时，f（x）有最小值，
因为，f（）﹣＝﹣+ln2＝（ln4﹣1）＞0，
所以f（x）＞；
（Ⅱ）f（x）≥x2恒成立，即x﹣ln（ax+b）≥0，且要求ax+b＞0，
所以ex﹣ax≥b，
①若a＜0，对任意的实数b，当x＜0且时，由于0＜ex＜1，ax+b＞1，
故不等式ex﹣ax≥b不成立．
②若a＞0，设g（x）＝ex﹣ax，则g'（x）＝ex﹣a．
当x∈（﹣∞，lna），g′（x）＜0，当x∈（lna，+∞），g′（x）＞0，
从而g（x）＝ex﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）单调递增，
故g（x）＝ex﹣ax有最小值g（lna）＝a﹣alna，
因此b≤a﹣alna，所以ab≤a2﹣a2lna，
设h（a）＝a2﹣a2lna（a＞0），则h′（a）＝a（1﹣2lna），
所以h（a）＝a2﹣a2lna在上单调递增，在上单调递减，
从而h（a）＝a2﹣a2lna的最大值为，
当，时，取等号，故ab的最大值为．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0），试求当时，|PA|+|PB|的值．
【解答】解：（1）曲线C2：，可以化为，ρ2＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，
因此，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0…（4分）
它表示以（1，﹣1）为圆心、为半径的圆． …（5分）
（2）当时，直线的参数方程为（为参数）
点P（1，0）在直线上，且在圆C内，把
代入x2+y2﹣2x+2y＝0中得…（6分）
设两个实数根为t1，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t2，
则，t1t2＝﹣1…（8分）∴…（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝，
由f（x）＜2，
当x＞3时，2x﹣5＜2，解得3＜x＜；
当2≤x≤3时，1＜2恒成立；
当x＜2时，5﹣2x＜2，解得2＞x＞；
综上所述，，
即不等式f（x）＜2的解集是；
（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，
当x∈[3，5]时，f（x）＝2x﹣5，f（x）≥a|2x+1|，即2x﹣5≥a（2x+1），
因为2x+1＞0，所以，
令，x∈[3，5]，易知g（x）在[3，5]上单调递增，
所以g（x）的最小值为，因此，即a的取值范围为．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，0，1}
2．（5分）已知复数z＝（1﹣2i） 2i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B．2 C．2 D．5
3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（ ）
A．3 B．1 C. 0 D. ﹣3
4．（5分） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
6．（5分）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1）其拉格朗日余项是．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn 不超过时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（5分）老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）p：直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点；q：点（a，b）在圆x2+y2＝1外．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）函数f（x）＝lg的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax+b在x＝0处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为（ ）
A．[0，ln2] B．[，2] C．[，e] D．[1，1+ln2]
12．（5分）已知S，A，B，C四点都在某个球表面上，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．3π D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是单位向量，且|+|＝，则向量与的夹角为 ．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，则a3+a7＝ ．
15．（5分）若x＞0，y＞0，xy＝10，则的最小值为 ．
16．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，直线AF1与双曲线的左支交于点B，且|AB|＝|AF2|，设双曲线的离心率为e，则e2＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝S．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积S．
18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥AD，DE⊥平面ABE．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（2）若DC＝DE＝1，AB＝AD＝2，求二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值．
19．（12分）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）来刻画．
①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．
（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e﹣0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6．
参考公式：＝x+，＝，＝﹣．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（m＞0）．
（Ⅰ）若m＝2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；
（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0），试求当时，|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．
2021年黄埔双语实验学校12月份期中考试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【解答】解：∵A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B＝{x∈Z|x＜2}∩{x|﹣2＜x＜3}＝{﹣1，0，1}．
故选：C．
2．（5分）已知复数z＝（1﹣2i） i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．1
【解答】解法1：.；
解法2：．
故选：A．
3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（ ）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．
故选：D．
4．（5分）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝sin（﹣）＝﹣sin＝﹣．
故选：A．
5．（5分）（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（ ）
A．5 B．3 C．0 D．﹣3
【解答】解：（1+x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝0，
故选：C．
6．（5分）英国数学家秦勒（B．Taylor，1685﹣1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1）其拉格朗日余项是．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据题意，得，即（n+1）!≥3000，
又（5+1）!＝6×5×4×3×2×1＝720，（6+1）!＝7×6×5×4×3×2×1＝5040＞3000，
所以n的最小值是6．
故选：B．
7．（5分）老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，
规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，
基本事件总数n＝＝20，
该同学能及格包含的基本事件个数m＝＝16，
∴该同学能及格的概率P＝＝＝．
故选：D．
8．（5分）p：直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点；q：点（a，b）在圆x2+y2＝1外．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：p：∵直线ax+by＝1与圆x2+y2＝1有公共点，
∴≤1，∴a2+b2≥1，
q：∵点（a，b）在圆x2+y2＝1外，
∴a2+b2＞1，
∴q能推出p，p不能推出q，∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：
∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则在△OEF中，EF＝，OE＝
故cos∠OEF＝＝
故选：D．
10．（5分）函数f（x）＝lg的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：＝，
可知：f（x）是奇函数，排除C、D，
在上，，，
故选：A．
11．（5分）若函数f（x）＝ex﹣ax+b在x＝0处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为（ ）
A．[0，ln2] B．[，2] C．[，e] D．[1，1+ln2]
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣ax+b，所以f'（x）＝ex﹣a，
由题意知，f'（0）＝e0﹣a＝1，解得a＝0，
把x＝0代入f（x）＝ex+b得，切点为（0，1+b），
而切点也在切线方程上，于是有1+b＝0，解得b＝﹣1，
所以f（x）＝ex﹣1，
令0≤f（x）＝ex﹣1≤1，则1≤ex≤2，即0≤x≤ln2，
所以满足0≤f（x）≤1的x的取值范围为[0，ln2]．
故选：A．
12．（5分）已知S，A，B，C四点都在某个球表面上，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C．3π D．
【解答】解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，则∠ADS＝，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取△ABC，△SBC的外心E，F，过点E，F分别作两平面的垂线，
两直线的交点为O，则O为三棱锥外接球的球心，连结OA，则球O半径R＝OA，
由题意知BD＝，AD＝，DE＝AD＝，AE＝AD＝，
连结OD，在Rt△ODE中，∠ODE＝，OE＝DE＝，
∴OA2＝OE2+AE2＝，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，是单位向量，且|+|＝，则向量与的夹角为 60° ．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
，是单位向量，且|+|＝，
则（+）2＝2+2 +2＝2+2cosθ＝3，变形可得cosθ＝，
而0°≤θ≤180°，则θ＝60°，
故答案为：60°．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，则a3+a7＝ 10 ．
【解答】解：∵等差数列{an}满足a2+a5+a8＝15，
∴a2+a5+a8＝3a5＝15，解得a5＝5，
∴a3+a7＝2a5＝10．
故答案为：10．
15．（5分）若x＞0，y＞0，xy＝10，则的最小值为 2 ．
【解答】解：由x＞0，y＞0，xy＝10，
则，
（当且仅当x＝2，y＝5时，取“＝”）
即的最小值为2．
故答案为：2．
16．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，直线AF1与双曲线的左支交于点B，且|AB|＝|AF2|，设双曲线的离心率为e，则e2＝ 5+2 ．
【解答】解：∵|AB|＝|AF2|，A为圆与双曲线在第一象限交点，即|AF1|＞|AF2|，∴B在线段AF2上，
由双曲线定义可知：|AF1|﹣|AF2|＝2a，又|AB|＝|AF2|，∴|AF1|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AB|＝|BF1|＝2a，
又|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a，
∵A在以F1F2为直径的圆上，∴AF1⊥AF2，∴|AB|＝|AF2|＝2a，
由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2得：，
故e2＝．
故答案为：5+2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝S．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝，a+b＝4，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴，即，
∴，且C∈（0，π），
∴；
（2）∵，，
∴＝，解得ab＝3，
∴．
18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥AD，DE⊥平面ABE．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABCD；
（2）若DC＝DE＝1，AB＝AD＝2，求二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ABE，又AB 平面ABE，所以DE⊥AB，
又AB⊥AD，DE∩AD＝D，DE，AD 平面ADE，
所以AB⊥平面ADE，又AB 平面ABCD，
所以平面ADE⊥平面ABCD；
（2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为DE⊥平面ABE，AE 平面ABE，所以DE⊥AE，故△ADE为直角三角，
因为AD＝2，DE＝1，所以AE＝，∠DAE＝30°，
故，D（0，2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），
所以，
设平面DBC的法向量为，
则，即，
令z＝1，则，
设平面BCE的法向量为，
则，即，
令a＝4，则b＝2，，故，
所以＝，
故二面角D﹣BC﹣E所成角的余弦值为．
19．（12分）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）来刻画．
①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．
（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e﹣0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6．
参考公式：＝x+，＝，＝﹣．
【解答】解：（1）①由已知得出x与z的关系，如下表：
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设线性回归方程，
由题意，得，，
∴＝（﹣2）×0.2+（﹣1）×0.1+1×（﹣0.1）+2×（﹣0.2）＝﹣1，
，
则，
，
则z关于x的线性回归方程为；
②由y＝kcx+20（x≥0），得y﹣20＝kcx（x≥0），
两边取对数得，ln（y﹣20）＝lnk+xlnc，
利用①的结论得：lnc＝﹣0.1，lnk＝4.2，
∴c＝e﹣0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7；
（2）由（1）得，y＝66.7×0.9x+20（x≥0），
令y＝60，得x≈log0.90.6≈4.8．
∴该品种绿茶用85℃的水泡制4.8min后饮用，口感最佳．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（m＞0）．
（Ⅰ）若m＝2，求椭圆C的离心率及短轴长；
（Ⅱ）若存在过点P（﹣1，0），且与椭圆C交于A、B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴椭圆C：+＝1，
∴c＝，a＝2，b＝，
∴椭圆C的离心率e＝，短轴长2b＝2．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，由题意设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（m+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4m＝0，
∵以线段AB为直径的圆恰好过原点，
∴⊥，∴x1x2+y1y2＝0，
即（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2＝0，
∴（1+k2） +k2（）+k2＝0，
∴k2＝，
由≥0，m＞0，得0＜m＜，
当直线l的斜率不存在时，
∵以线段AB为直径的圆恰好过坐标原点，∴A（﹣1，1），
∴＝1，解得m＝．
综上所述，m的取值范围是（0，]．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；
（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当a＝1，b＝0时，f（x）＝x2+x﹣lnx，
所以，x＞0，
所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，
所以当且仅当时，f（x）有最小值，
因为，f（）﹣＝﹣+ln2＝（ln4﹣1）＞0，
所以f（x）＞；
（Ⅱ）f（x）≥x2恒成立，即x﹣ln（ax+b）≥0，且要求ax+b＞0，
所以ex﹣ax≥b，
①若a＜0，对任意的实数b，当x＜0且时，由于0＜ex＜1，ax+b＞1，
故不等式ex﹣ax≥b不成立．
②若a＞0，设g（x）＝ex﹣ax，则g'（x）＝ex﹣a．
当x∈（﹣∞，lna），g′（x）＜0，当x∈（lna，+∞），g′（x）＞0，
从而g（x）＝ex﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）单调递增，
故g（x）＝ex﹣ax有最小值g（lna）＝a﹣alna，
因此b≤a﹣alna，所以ab≤a2﹣a2lna，
设h（a）＝a2﹣a2lna（a＞0），则h′（a）＝a（1﹣2lna），
所以h（a）＝a2﹣a2lna在上单调递增，在上单调递减，
从而h（a）＝a2﹣a2lna的最大值为，
当，时，取等号，故ab的最大值为．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0），试求当时，|PA|+|PB|的值．
【解答】解：（1）曲线C2：，可以化为，ρ2＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，
因此，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0…（4分）
它表示以（1，﹣1）为圆心、为半径的圆． …（5分）
（2）当时，直线的参数方程为（为参数）
点P（1，0）在直线上，且在圆C内，把
代入x2+y2﹣2x+2y＝0中得…（6分）
设两个实数根为t1，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t2，
则，t1t2＝﹣1…（8分）∴…（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝，
由f（x）＜2，
当x＞3时，2x﹣5＜2，解得3＜x＜；
当2≤x≤3时，1＜2恒成立；
当x＜2时，5﹣2x＜2，解得2＞x＞；
综上所述，，
即不等式f（x）＜2的解集是；
（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，
当x∈[3，5]时，f（x）＝2x﹣5，f（x）≥a|2x+1|，即2x﹣5≥a（2x+1），
因为2x+1＞0，所以，
令，x∈[3，5]，易知g（x）在[3，5]上单调递增，
所以g（x）的最小值为，因此，即a的取值范围为．
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