6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
基础知识
1.余弦定理
a2= ,
b2= ,
c2= .
2.余弦定理和勾股定理有什么关系
3.余弦定理的推论
cos A= ,
cos B= ,
cos C= .
4.利用余弦定理可以解的三角形的问题
(1)已知两边及其夹角,解三角形;
(2)已知三边,解三角形.
5.已知三角形的两边及其中一边的对角,能否利用余弦定理解三角形
基础巩固
一、单选题
1.在△ABC中,已知a=1,b=2,∠C=60°,则c等于 ( )
A.3 B. C.5 D.
2.在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,则AC= ( )
A. B.5 C. D.6
3.(教材改编题)在△ABC中,已知a=3,b=5,c=,则最大角与最小角的和为 ( )
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
二、多选题
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=15,c=16,B=60°,则a边的值可以
是 ( )
A.8+
B.8+
C.8-
D.8-
6.△ABC为钝角三角形,a=3,b=4,c=x,则x的取值可以是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
三、填空题
7.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A= .
8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为 .
四、解答题
9.在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.
10.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.求:
(1)角C;
(2)AB的长.
素养提升
一、选择题
1.在△ABC中,tan A=,AC=,AB=4,则BC= ( )
A. B.4 C. D.
2.(多选题)在△ABC中,满足(a2+c2-b2)tan B=ac的角B的值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶∶(+1),则△ABC的最大内角的余弦值为 .
4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则A= ,AC边上的高为 .
三、解答题
5.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
基础知识
1.b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcos C
2.在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cos C=0,于是c2=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.
3.
5.能解三角形.当已知三角形两边和其中一边的对角时,如已知a,b,A,可用a2=b2+c2-2bccos A求解c,可能有两解.
基础巩固
1.B 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×1×2×=3,所以c=.
2.B 在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,如图所示:
由余弦定理得72=AC2+32-2·3·AC·cos,
整理得AC2+3·AC-40=0,
解得AC=5或AC=-8(不合题意,舍去),
所以AC=5.
3.B 在△ABC中,因为a=3,b=5,
c=,所以最大角为B,最小角为A,
所以cos C===,
所以C=60°,所以A+B=120°,
所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.
4.C 由>0得-cos C>0,
所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.
5.AC 在△ABC中,b=15,c=16,B=60°,
由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,
即a2-16a+31=0,解得a=8±.
6.AC 若x>4,则x所对的角为钝角,
所以<0且x<3+4=7,所以5
若x<4,则4对的角为钝角,
所以<0且3+x>4,所以1所以x的取值范围是(1,)∪(5,7),故AC选项满足.
7.解析：因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,
所以cos A==.
因为A∈(0,π),所以A=.
答案:
8.解析：因为bcos C+ccos B=asin A,
所以由余弦定理得b·+c·=asin A,
整理,得a=asin A.
所以sin A=1.
又A∈(0,π),所以A=.
故△ABC为直角三角形.
答案:直角三角形
9.解析：根据余弦定理,cos A===.
因为A∈(0,π),
所以A=,cos C=
=,
因为C∈(0,π),所以C=.
所以B=π-A-C=π--=,
所以A=,B=,C=.
10.解析：(1)因为cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),所以C=.
(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以
所以AB2=b2+a2-2abcos =(a+b)2-ab=10,所以AB=.
素养提升
1.C 设AC=b,AB=c,BC=a,则b=,c=4,
因为tan A=>0,A∈(0,π),
所以=,A∈,
又因为sin2A+cos2A=1,
解得cos A=,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A
=()2+42-2××4×=5,所以BC=.
2.BD 因为(a2+c2-b2)tan B=ac,
所以·tan B=,
即cos B·tan B=sin B=.
因为0所以角B的值为或.
3.解析：因为a∶b∶c=2∶∶(+1),
不妨设a=2k,b=k,c=(+1)k,显然a所以△ABC的最大内角为C,
则cos C=
=
===.
答案:
4.解析：由余弦定理,可得cos A===.
又0则AC边上的高h=ABsin A=3×=.
答案:
5.【思路探求】根据三角形三边的关系,用a,c表示边b,再结合角B等于60°,利用余弦定理即可求出三角形三边的关系.
解析：由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B.
因为B=60°且b=,
所以=a2+c2-2accos 60°.
整理,得(a-c)2=0,所以a=c,所以a=b=c,
所以△ABC为正三角形.
6.解析：(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin A·cos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0.
因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0.
又cos B≠0,所以tan B=.
又0(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
因为a+c=1,cos B=,有b2=3(a-)2+.
又0