第3课时 余弦定理、正弦定理
应用举例——距离问题
基础知识
1.越长
2.测量时必须选取基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时,至少应已知一边的长度.
3.指北或指南的方向线
基础巩固
1.A 如图,由已知得,在△ABC中,AB=10海里,AC=20海里,∠BAC=60°,
由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 60°=102+202-2×10×20×=300.
故BC=10海里.
2.D 在△ABC中∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.
所以AC=AB=120 m.如图,
作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得
=,
所以=,
所以CD=60 m,所以河的宽度为60 m.
3.B 在△ABC中,cos∠ABC==,∠ABC∈(0,π),
所以sin∠ABC==,
所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).
4.C 由题意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°,
在△ADC中,由正弦定理得AC===2,
在△BDC中,由正弦定理得BC===+1,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC·cos ∠ACB=(2)2+(+1)2-2×2×(+1)×=10,所以AB= km.
5.ABC 对于A,利用内角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
对于B,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C即可解出c;
对于C,先利用内角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
对于D,解不出c.
6.AD 由题意知S△ABC=S△ABD+S△BDC,由角平分线的性质以及面积公式可得ac·sin60°=a·sin30°+c·sin30°,化简得ac=a+c,所以ac=a+c≥2,当且仅当a=c时成立,解得ac≥4,故A正确,B错误;因为ac=a+c,所以1=+,所以a+3c=(a+3c)=4++≥4+2=4+2,当且仅当=,即a=c时等号成立,故C错误,D正确.
7.解析：方法一:由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,
即AB===4m.
答案:4m
方法二:过点C作CD⊥AB,由等腰三角形性质可知D为AB的中点,AD=AC·cos A=4×=2(m),
所以AB=2AD=4m.
答案:4m
8.解析：如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,
所以∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.
在△ABC中,=,所以AC===(千米).
答案:
9.解析：依题意知∠ACB=120°,AC=50 m,BC=40 m,
应用余弦定理得AB=
=
=10(m),
故AB的长为10m.
10.解析：由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,B=45°,AB=12海里.
由正弦定理得AD=·sin45°=24(海里).
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,
所以CD=8(海里).
素养提升
1.D 设该扇形的半径为r米,连接CO,如图所示.
由题意得OD=100米,DC=150米,
因为DC∥OA,∠AOB=120°,所以∠ODC=60°,
在△CDO中,由余弦定理得:
CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,
解得:r=50,所以该扇形的半径为50米.
2.B 设t小时后,B城市恰好处于危险区内,则由余弦定理得:(20t)2+402-2×20t×40cos 45°=302.
化简得:4t2-8t+7=0,
所以t1+t2=2,t1t2=.
从而|t1-t2|==1.
3.解析：设灯塔位于A处,船开始的位置为B,航行45 km后到C处,如图所示,延长CA,与BD交于点D.
∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45 km,
所以∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.
△ABC中,由正弦定理=,
可得AC===15(km).
即此时船与灯塔的距离是15 km.
答案:15
4.解析：因为∠PAB=90°,∠PAQ=60°,
所以∠BAQ=30°,
在△ABQ中,因为∠PBA=∠PBQ=60°,
所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,
所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,
由正弦定理,得=,AQ=900 m.
在Rt△ABP中,解得AP=900 m.
因为AQ=AP=900 m,又∠PAQ=60°,
所以△APQ是等边三角形,所以PQ=900 m,
所以P,Q两点间的距离为900 m.
答案:900
5.解析：设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接BC,如图所示,
设BC=x dm,由题意知CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45°,
解得x1=5,x2=.
所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).
所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.
6.解析：(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=;
(2)由题可得在Rt△ACD中,
|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=,
在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理可得=,即=,
解得|BC|=,
因为cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=,则在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2××=2-,
所以|AB|=.第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
基础知识
1.基线
在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段叫做基线,一般来说,基线 ,测量的精确度越高.
2.测量时是否一定要选取基线
3.方向角
以观测者为中心, 与目标方向线所成的小于90°的水平角.
基础巩固
一、单选题
1.海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,A,C两岛相距20海里,则B岛与C岛间的距离是 ( )
A.10海里 B.10海里
C.300海里 D.700海里
2.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 ( )
A.230 m B.240 m C.50 m D.60 m
3.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为 ( )
A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
4.(教材改编题)如图,地面有四个5G中基站A,B,C,D,已知CD=(+)km,
∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,则A,B两个中基站的距离是( )
A.4 km B.2 km
C. km D.6 km
二、多选题
5.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了下列测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的方案为 ( )
A.测量A,B,b B.测量a,b,C
C.测量A,B,a D.测量A,B,C
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=,则下列说法正确的是 ( )
A.ac的最小值是4
B.ac的最大值是4
C.a+3c的最小值是3+2
D.a+3c的最小值是4+2
三、填空题
7.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为 .
8.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长 千米.
四、解答题
9.如图,A,B两点之间隔着一座小山,现要测量A,B两点间的距离,选择在同一水平面上且均能直线到达的C点,经测量AC=50 m,BC=40 m,B在C北偏东45°方向上,A在C北偏西75°方向上,求AB的长.
10.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
素养提升
一、选择题
1.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD,已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 ( )
A.50米 B.50米
C.50米 D.50米
2.(教材改编题)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为( )
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
二、填空题
3.某船开始看见一座灯塔在南偏东30°方向,该船沿南偏东60°方向航行45 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 km.
4.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为
300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得
∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为 m.
三、解答题
5.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以自己速度的两倍向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,∠BAD=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球
6.如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
