6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
基础知识
1.向量求和的法则
(1)
三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+= .
(2)
平行四边形法则:已知两个不共线向量a,b,作=a,=b,以,为邻边作 ABCD,则对角线上的向量 =a+b.
2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的实质是什么 它们有哪些区别
3.一般地,我们有|a+b| |a|+|b|,
当且仅当a,b 时等号成立.
4.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:(a+b)+c= .
基础巩固
一、单选题
1.向量(+)+(+)+化简后等于 ( )
A. B. C. D.
2.
如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= ( )
A. B.
C. D.
3.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示 ( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
4.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
二、多选题
5.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式中成立的是 ( )
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.=
6.对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是 ( )
A.++
B.++
C.++
D.++
三、填空题
7.
(教材改编题)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)++= .
8.已知非零向量a,b,|a|=8,|b|=5,则|a+b|的最大值为 .
四、解答题
9.如图,已知向量a,b,c,d.
求作a+b+c+d.
10.如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.求证:
(1)+=+;
(2)++=0.
素养提升
一、选择题
1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是 ( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
2.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 ( )
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量且方向相反
C.a=b
D.a,b无论什么关系均可
二、填空题
3.当非零向量a,b满足 时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.
4.①如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|= .
②如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且+=,则∠ABC= .
三、解答题
5.(教材改编题)已知船在静水中的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,+=+=0,cos ∠DAB=.求|+|与|+|的值.6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
基础知识
1.(1) (2)
2.实质:三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.
区别:①三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;
②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
3.≤ 方向相同
4.(2)a+(b+c)
基础巩固
1.D 原式=(+)+(++)=+0=.
2.C 设a=+,利用平行四边形法则作出向量+,再平移即发现a=.
3.B =a表示“向东航行1 km”,=b表示“向北航行 km”,根据三角形法则,
所以=a+b,因为tan A=,所以A=60°,且||==2(km),所以a+b表示向北偏东30°方向航行2 km.
4.B 依题意,在平行四边形ABCD中,|+|=|+|,则平行四边形ABCD的两条对角线相等.故四边形ABCD为矩形.
5.ABD 由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故=也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,b+d=a不成立.
6.AB 在A中,++=+=;
在B中,++=+=;
在C中,++=+=;
在D中,++=+.
7.解析：由已知可得四边形DFCB为平行四边形.
(1)易知=.
由三角形法则得+=+=.
答案:
(2)易知=,
所以+=+=.
答案:
(3)++=++=.
答案:
8.解析：|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|的最大值为13.
答案:13
9.解析：在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
10.证明：(1)由向量加法的三角形法则,
因为+=,+=,
所以+=+.
(2)由向量加法的平行四边形法则,
因为=+,=+,=+,
所以++=+++++=(+)+(+)+(+)=0+0+0=0.
素养提升
1.D +=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.
2.A 根据三角形法则可知,若非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|,则a∥b,且a与b方向相同.
3.解析：当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.
答案:|a|=|b|
4.解析：①如图所示,设菱形对角线交点为O.+=+=.
因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,
所以△ABD为等边三角形.
又因为AB=2,所以OB=1.
在Rt△AOB中,||==,
所以|+|=||=2||=2.
答案:2
②因为+=,所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形,
又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形,
且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.
答案:120°
5.解析：作出图形,如图.
船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10 m/min,
||=|v船|=20 m/min,
所以cos α===,所以α=60°,从而船与水流方向成120°的角.故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.
6.解析：因为+=+=0,
所以=,=,所以四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,
所以四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,0°<∠DAB<180°,
所以∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形,
所以|+|=|+|=||=2||=,
|+|=||=||=1.
