6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础知识
1.数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),则λa= .
2.平面向量共线的充要条件
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
(1)a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a= b.
(2)若用坐标表示,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是 .
3.两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标条件能表示成=吗
4.中点坐标公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是线段P1P2的中点,则点P的坐标为 .
基础巩固
一、单选题
1.设向量a=,b=,则3a-b= ( )
A. B.
C. D.
2.(教材改编题)已知向量a=(2,x),b=(1,x-1),若(2a-b)∥a,则x= ( )
A.-2 B.2
C. D.-
3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 ( )
A.(3,1)
B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1)
D.(3,1)或(1,1)
4.在 ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
5.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),则下列结论正确的是 ( )
A.=-
B.+=
C.+=
D.=-2
6.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是 ( )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
三、填空题
7.已知向量a=,b=,则a与b的位置关系是 .
8.已知e1,e2不共线,若向量ke1+2e2与向量e1+3ke2反向共线,则实数k的值为 .
四、解答题
9.(教材改编题)已知向量a=(1,3),b=(-2,1).向量m=a-2b,n=a+b.
(1)求向量m,n的坐标;
(2)判断向量m与n是否平行,并说明理由.
10.已知O为坐标原点,=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.
(2)若=2,求点C的坐标.
素养提升
一、选择题
1.设向量a=,b=,c=,用{a,b}作基底可将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值为( )
A.p=4,q=1 B.p=1,q=4
C.p=0,q=4 D.p=1,q=-4
2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),则下列说法正确的是 ( )
A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线
C.AB∥CD D.AC∥BD
二、填空题
3.已知平面向量a=(m,-4),b=(-1,m+3),若存在实数λ<0,使得a=λb,则实数m的值为 .
4.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为 .
三、解答题
5.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.
6.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础知识
1.(λx,λy)
2.(1)λ (2)x1y2-x2y1=0
3.不一定,x2,y2有一者为零时,比例式没有意义,只有x2y2≠0时,才能使用.
4.
基础巩固
1.B 因为向量a=(-1,3),b=(-5,4),
所以3a-b=.
2.B 根据题意,向量a=(2,x),b=(1,x-1),则2a-b=(3,x+1),若(2a-b)∥a,
则有2(x+1)=3x,解得x=2.
3.C 因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2),
因为点P在直线AB上,且||=2||,
所以=2或=-2,
所以=(1,1)或(-1,-1),
所以点P的坐标为(3,1)或(1,-1).
4.B =-=-(+)=
-(1,10)=.
5.AD 因为=(-2,1),=(2,-1),
所以=-,所以A正确;
因为+=≠,所以B错误;
因为+=≠,所以C错误;
因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D正确.
6.ABC 由a∥b得x2=-9,无实数解,故A中叙述错误,符合题意;
a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,故B中叙述错误,符合题意;
ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-
3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,故C叙述错误,符合题意;
由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D中叙述正确,不符合题意.
7.解析：因为向量a=(2,-1),b=,所以a=-3b,因此a与b平行.
答案:平行
8.解析：因为e1,e2不共线,所以e1+3ke2≠0.
又因为向量ke1+2e2与向量e1+3ke2反向共线,
所以存在实数λ,且λ<0,使ke1+2e2=λ(e1+3ke2)=λe1+3kλe2,即
解得k=(舍去)或k=-.
答案:-
9.解析：(1)由a=(1,3),b=(-2,1),
得m=a-2b=(1,3)-(-4,2)=(5,1),
n=a+b=+(-2,1)=;
(2)m=(5,1),n=,
因为5×-1×=14≠0,
所以向量m与n不平行.
10.解析：(1)因为已知=(1,1),=(3,-1),
=(a,b),
若A,B,C三点共线,则∥,
即=λ·,即(a-1,b-1)=λ (2,-2),
所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.
(2)若=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),
所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).
素养提升
1.B 由题得(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(q-p,2p-q),
所以解得p=1,q=4.
2.C 因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),
=(2-1,7-5)=(1,2),
=(2-1,7-3)=(1,4).
A不正确,因为2×6-4×2=4≠0,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线.
B不正确,因为2×2-6×1=-2≠0,所以与不共线,所以A,C,D三点不共线.
C正确,因为2×2-4×1=0,所以∥.
又因为A,B,C三点不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.
D不正确,因为2×4-6×1=2≠0,所以与不共线,所以AC与BD不平行.
3.解析：因为a=λb,所以(m,-4)=λ(-1,m+3),
则
解得λ=4或λ=-1,
又λ<0,所以λ=-1,所以m=1.
答案:1
4.解析：=-=(6,-3)-(3,-4)=(3,1),=-=(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于点A,B,C能构成三角形,则与不共线,则3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠.
答案:m≠
5.证明：设E(x1,y1),F(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).
因为=,所以=,
因为=,所以=.
因为=(x1+1,y1)=,
所以x1=-,y1=,
所以E.
因为=(x2-3,y2+1)=,
所以x2=,y2=0,
所以F,
所以=,
又因为4×-×(-1)=0,
所以∥.
6.解析：因为==(0,5)=,
所以C.
因为==(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
==.
因为∥,所以-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20.①
又=,=,
因为∥,所以x-4=0,
即7x-16y=-20 ②,联立①②解得x=,y=2,
故点M的坐标为.
