9类抛物线小题
参考答案：
1．A
【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解.
【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.
直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: .
将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.
设，则有，.
所以弦长.
故选：A
2．A
【分析】利用三角不等式可求得弦的长的最大值.
【详解】设点、，则，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
故弦的长的最大值为.
故选：A.
3．A
【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案.
【详解】因为抛物线方程为，故焦准距，
即焦点到准线的距离是，
故选：A.
4．C
【分析】由抛物线的性质可求得，从而可得焦点坐标.
【详解】抛物线的准线方程为：，
由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，得，抛物线方程为，
则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.
故选：C
5．B
【分析】由抛物线定义推导出，在三角形中求即可.
【详解】
由抛物线定义知，又，所以，
所以
即
所以在三角形中，由余弦定理得
所以
故选：B
6．C
【分析】由点在抛物线上可设，利用可得到，通过计算即可得到答案
【详解】因为点在抛物线上，故设，
由抛物线可得焦点，准线为，故准线与轴的交点，
因为，所以，
因为，
所以，解得，所以的横坐标为，
由抛物线的定义可得，
故选：C
7．A
【分析】作图，分别过、点向准线作垂线，根据向量比例关系得到线段比例关系，根据抛物线的定义转化距离，即可得出结果.
【详解】
由已知，可得，点B在F、C中间.
如图，分别过、点向准线作垂线，垂足为、，
则根据抛物线的定义有，，.
又，则可知，，则，
又为直角三角形，所以.
为直角三角形，则有，
因为，.
所以，.
因为，.
所以，.
故选：A.
8．C
【分析】过点作垂直于抛物线的准线于点B，进而根据抛物线的定义得取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，再根据直线为抛物线的位置关系得，再结合双曲线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：
过点作垂直于抛物线的准线于点B，
由抛物线的定义知，
因为轴，可得，
，
当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，
此时，设的直线方程为，
联立，整理得，
其中，解得：，
由为抛物线第一象限内点，则.
所以，，解得：，此时，即或.
所以点的坐标为.
由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为.
设双曲线的实轴长为，则，
所以，，又，
所以，.
故选：C
9．B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
10．D
【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，得到动点P到直线的距离为，根据，即可求解.
【详解】抛物线化为，可得焦点，准线方程为，如图所示，
可得动点P到直线l∶的距离为，
又由，从而.
所以的最小值等于.
故选：D.
11．D
【分析】首先求出焦点坐标，依题意可得点的横坐标为，根据点到抛物线准线的距离求出，从而得到抛物线方程，再求出点坐标，即可求出的纵坐标.
【详解】解：抛物线：（）的焦点为，由，且点在轴正半轴上，
所以点的横坐标为，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
解得，所以抛物线方程为，令，解得，
所以，又，所以的纵坐标为.
故选：D
12．B
【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，
设，，，，
则由可得：，
所以，解得，
则到轴的距离为，
故选：B．
13．C
【分析】利用向量的坐标运算得，再根据抛物线的定义即可求解.
【详解】因为在抛物线上，所以，即，所以，
设，
由得，
所以，即，
根据抛物线的定义可得
.
故选:C.
14．B
【分析】将向量式坐标化，然后结合抛物线定义可得.
【详解】设
抛物线焦点坐标，准线方程：x=，
所以
∵，
∴，即，
由抛物线定义可得，，
，
∴
故选：B．
15．A
【分析】根据题意求出其余两个顶点坐标，然后由抛物线定义求其边长
【详解】依题意，抛物线的焦点，设正三角形另外两个顶点为，
由得：，整理得，
因此有，而，即有，于是得点关于y轴对称，如图，
等边三角形中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角是，
所以点分别在上，由，解得，
根据抛物线的定义得其边长为．
故选：A
16．C
【分析】根据抛物线的对称性可知,若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线（）上,则另外两个定点关于x轴对称,就可的直线的倾斜角,据此求出直线的方程,与抛物线方程联立解出A点坐标,就可求出正三角形的边长.
【详解】∵抛物线关于x轴对称,
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线（）上,
则A,B点关于x轴对称,
∴直线倾斜角为斜率为
∴直线方程为,
由得,,
∴,则,
∴
∴这个正三角形的边长为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性,直线方程的点斜式,以及曲线交点的求法,属于圆锥曲线的综合题.
17．C
【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．
【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，
由得，设，则，
又，，∴，
∴，
圆，圆心为，半径为，
∴，
∵，∴，解得，∵，∴．
故选：C．
18．4
【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.
【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为且，
所以，即，
所以，可得，因为，所以.
故答案为：.
19．
【分析】根据斜率及焦点坐标，求得直线方程，联立直线与抛物线方程，结合抛物线的定义即可求得．
【详解】抛物线的焦点的坐标为
斜率为且过焦点的直线方程为
联立抛物线方程，得，化简得
设两个交点坐标分别为
所以
则
所以
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的综合应用，用两个交点表示弦长，属于难题．9类抛物线小题
一.根据定义求焦点弦
1．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ）
A．2 B． C． D．1
2．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为，若该抛物线上两点、的横坐标之和为，则弦的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二.到焦点距离转为到准线距离
3．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
三.已知角求点到焦点距离
5．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上， ，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
四.距离商最值
7．过拋物线焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
五.距离和最值
9．设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线上的动点P到直线的距离为d，A点坐标为，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C． D．
六.坐标类
11．设抛物线：（）的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知点是拋物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，设，点为的中点，则到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
七.应用重心坐标
13．已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
14．已知抛物线的焦点，的顶点都在抛物线上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
八.图形类
15．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
16．等边三角形的三个顶点都在抛物线（）上，O为坐标原点，则这个三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
九.距离间关系求参
17．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
18．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
19．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．
