第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
基础知识
1.随机试验特点
(1)试验可以在 下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且 个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先 出现哪一个结果.
2.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω= 为有限样本空间.
3.随机试验的结果能事先确定吗
4.我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含 的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中 出现时,称为事件A发生.
基础巩固
一、单选题
1.袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件多于一个样本点的是 ( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
2.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有 ( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
3.(教材改编题)掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是 ( )
A.一枚是3点,一枚是1点
B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
二、多选题
4.下列四种说法中正确的是 ( )
A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件
5.从12本书(其中10本语文书,2本英语书)中任意抽取3本,则下列事件中的必然事件是( )
A.3本都是语文书
B.至多有2本是英语书
C.3本都是英语书
D.至少有一本是语文书
三、填空题
6.给出下面四个事件:
(1)某地2月3日将下雪;
(2)函数y=ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数;
(3)实数a,b都不为零,则a2+b2=0;
(4)a,b∈R,则ab=ba,
其中必然事件是 ;不可能事件是 ;随机事件是 .
7.哥德巴赫猜想是“任何一个大于4的偶数都是两个质数之和”,如16=3+13.现从不超过16的质数中随机选取两个不同的数(两个数无序),则满足条件的样本点共有 个.
四、解答题
8.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点 “x<3且y>1”呢
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
9.从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),其中x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字.
(1)写出样本空间;
(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
素养提升
一、选择题
1.有一列北上的火车,已知停靠的车站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.铁路局需为该列车准备 种北上的车票. ( )
A.9 B.10 C.45 D.55
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是 ( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上
二、填空题
3.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则事件“其和为奇数”包含的样本点个数为 .
4.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个,观察取到的小正方体的情况,则事件A“从小正方体中任取1个,恰有两面涂有颜色”含有 个样本点.
三、解答题
5.袋子中有4个大小和质地相同的球,标号为1,2,3,4,从中随机摸出一个球,记录球的编号,先后摸两次.
(1)若第一次摸出的球不放回,写出试验的样本空间;
(2)若第一次摸出的球放回,写出试验的样本空间.
6.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述两个问题.第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
基础知识
1.(1)相同条件 (2)不止一 (3)不能确定
2.{ω1,ω2,…,ωn}
3.不能事先确定试验的结果,但可确定有哪些可能结果.
4.一个样本点 某个样本点
基础巩固
1.D 选项A,B,C都只含有一个样本点,D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点,所以D不是一个样本点.
2.C “点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因为A中有9个非零数,所以样本点共有9个.
3.B 掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点.
4.ABD A正确,因为无论怎么放,其中一个盒子的球的个数都不小于2;
B正确,因为无论x为何实数,x2<0均不可能发生;
C错误,三角形中大边对大角,所以③是不可能事件;
D正确,因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”这件事有可能发生,也有可能不发生,是随机事件.
5.BD 因为12本书中只有2本英语书,从中任取3本,必然至少有一本语文书,至多有2本是英语书.
6.解析：(1)随机事件,某地在2月3日可能下雪,也可能不下雪;
(2)随机事件,函数y=ax,当a>1时在定义域上是增函数,当0
(3)不可能事件;
(4)必然事件,若a,b∈R,则ab=ba恒成立.
答案:(4) (3) (1)(2)
7.解析：用(x,y)表示从不超过16的质数2,3,5,7,11,13中随机选取两个不同的数,则样本空间为
{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),
(7,13),(11,13)}共含15个样本点.
答案:15
8.解析：(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4)}.
(2)样本点的总数为16.
(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);
“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
9.解析：(1)用有序数对(x,y)表示事件,所以Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.
(2)根据题意可知,0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,第一次取出2,则第二次取出的只能是0或1,所以“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示为{(2,0),(2,1)}.
素养提升
C 铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计
8种,…,从S9站发车的车票有1种,合计共9+8+…+2+1=45(种).
2.A 先后抛掷两枚质地均匀的硬币各一次的基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四个基本事件.
“至少一枚硬币正面向上”包括“(正,正),(正,反),(反,正)”3个样本点,故A正确;
“只有一枚硬币正面向上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故B错误;
“两枚硬币都是正面向上”包括“(正,正)”1个样本点,故C错误;
“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上”包括“(正,反),(反,正)”2个样本点,故D错误.
3.解析：从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)三个数字之和为奇数,共有4个样本点.
答案:4
4.解析：每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体,共12个.
答案:12
5.解析：用m表示第一次摸出的球的编号,用n表示第二次摸出的球的编号,则样本点可用(m,n),m,n∈{1,2,3,4}表示.
(1)若第一次摸出的球不放回,则m≠n,此时的样本空间可表示为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点.
(2)若第一次摸出的球放回,则m,n可以相同.此时试验的样本空间可表示为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},共有16个样本点.
6.解析：(1)样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(2)A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(3)若改为取出后放回,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),
(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.