8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
基础知识
1.无限延展
2.(1)且只有一 两个点 且只有一
(2)这条直线外一点 两条相交直线 两条平行直线
3.当三个点共线时可以作出无数个平面;当三个点不共线时只能作唯一的一个平面.
基础巩固
1.D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.
2.D 由已知得直线l α,故直线l上至多有一个点在平面α内.
3.D 利用基本事实3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的公共点.
4.A 因为M∈a,N∈b,a α,b α,所以M∈α,N∈α.而M,N确定直线l,根据基本事实2可知,l α.
5.BCD 如果三条直线都交于一点,且三线不共面,则每两条直线都确定一个平面,共确定3个平面;
如果三条直线两两相交,交于不同的三点,则只确定1个平面;如果两条直线不在同一个平面内,另一条与其均相交,则只确定2个平面;如果两条直线平行,另一条与其均相交,则只确定1个平面.综上,这三条直线共可确定1或2或3个平面.
6.AC 对于选项A,三角形的三个顶点不共线,不共线的三点确定的平面有且只有一个,故正确.
对于选项B,四边形假设为空间四边形,确定的平面可能有四个,故错误.
对于选项C,由于梯形有两条对边平行,所以确定的平面有且只有一个,故另两条边也在该平面上,故正确.
对于选项D,当圆心和圆上的两点在同一条线上时,不能确定一个平面,故错误.
7.①A∈a,B∈a ②a α
8.解析：由题图可知,平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=直线A1B1;平面A1C1CA∩平面ABCD=直线AC.
答案:(1)直线A1B1 (2)直线AC
9.证明：因为PQ∥a,所以PQ 与 a 确定一个平面β.
所以直线a β,点 P∈β.
因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,所以α与β重合.所以PQ α.
10.解析：由题意知,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
因为E∈AC,AC 平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理可证E∈平面SBD,
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上.
连接SE,故直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
素养提升
1.D A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,又C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
2.BD 当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面;当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面.
3.解析：由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1共5条.
答案:5
4.解析：当三个平面两两平行时,可以把空间分成四部分,当三个平面两两相交且存在一个公共点时,把空间分成8部分.
答案:4 8
5.证明：因为在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点(相交于一点).
6.解析：如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M,连接MB,
因为M∈FD1,M∈DA,FD1 平面BED1F,DA 平面ABCD,所以M在平面BED1F与平面ABCD的交线上,又B在平面BED1F与平面ABCD的交线上,所以平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直线MB为所求作的两平面的交线.8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
基础知识
1.平面
平面是由点构成,平的,向四周__________.
2.平面基本事实及其推论
(1)基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有__________个平面;
基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;
基本事实3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有__________条过该点的公共直线.
(2)推论
推论1:经过一条直线和______________,有且只有一个平面;
推论2:经过______________,有且只有一个平面;
推论3:经过______________,有且只有一个平面.
3.经过空间中三个点可以作出几个平面
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)能确定一个平面的条件是 ( )
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
2.若直线l上有两个点在平面α外,则 ( )
A.直线l上至少有一个点在平面α内
B.直线l上有无穷多个点在平面α内
C.直线l上所有点都在平面α外
D.直线l上至多有一个点在平面α内
3.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有 ( )
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
4.如果直线a 平面α,直线b 平面α,且a∥b,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 ( )
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
二、多选题
5.如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线共可确定的平面个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.在空间中,下列结论正确的是 ( )
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.梯形可确定一个平面
D.圆心和圆上两点确定一个平面
三、填空题
7.用符号语言表示以下各概念:
①点A,B在直线a上__________;
②直线a在平面α内__________.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=______________;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________.
四、解答题
9.如图,已知:a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
10.如图所示,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
素养提升
一、选择题
1.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,C l,直线AB∩l=D,A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 ( )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
2.(多选题)三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条.
4.空间中三个平面最少把空间分成________部分;最多把空间分成________部分.
三、解答题
5.如图,已知平面α, β, 且α∩β=l. 设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
6.如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,你能利用所学的知识,画出平面BED1F与平面ABCD的交线吗
