8.6.3 平面与平面垂直(二)
基础知识
1.交线 垂直
3.直线l在平面α内,即l α.
基础巩固
1.B 由面面垂直的定义、性质定理可知,B正确.
2.D 对于①,当m∥α,n∥β,且m∥n时,有α∥β或α,β相交,所以错误;对于②,
当m∥α,n∥β,且m⊥n时,有α⊥β或α∥β或α,β相交且不垂直,所以错误;对于③,当m⊥α,n⊥β,且m∥n时,得出m⊥β,所以α∥β,正确;对于④,当m⊥α,n⊥β,
且m⊥n时,α⊥β成立,所以正确.综上知,正确的命题序号是③④.
3.A 在四面体ABCD中,
因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,
所以AC⊥平面ABD,AC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,D在平面ABC内的射影H必在AB上.
4.D ①假设m⊥n,因为n与l既不垂直,也不平行,所以n∩l=O,
过O在β内作直线c⊥l,如图所示,
因为α⊥β,所以c⊥α,又因为m α,所以c⊥m,
又因为m⊥n,c∩n=O,所以m⊥β,l β,所以m⊥l,
这与m与l既不垂直,也不平行矛盾,故假设不成立,
所以m与n不垂直;
②假设m∥n,则m∥β,m α,α∩β=l,
所以m∥l,这与m和n与l既不垂直,也不平行矛盾,故假设不成立,所以m与n不平行.
综上所述,m与n的位置关系是既不可能垂直,也不可能平行.
5.ABD 对于选项A.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BDC=BC,
CD 平面BDC,又CD⊥BC,
所以CD⊥平面ABC,
因为AC 平面ABC,AB 平面ABC,
所以CD⊥AC,故A正确,
对于选项B.由上可知,CD⊥AB,
因为AB⊥BD,又因为BD∩CD=D,
所以AB⊥平面BCD,故B正确,对于选项C,若AD⊥BC,因为CD⊥BC,
AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD,
又因为AC 平面ACD,所以BC⊥AC,
由上可知AB⊥BC,那么AB∥AC,矛盾,故C错误.对于选项D,由AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABC,知有三对平面互相垂直.
6.BC 因为BC∥AD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,故A不可能成立;如图,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时,有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,故B可能成立;当点P落在BF上时,DP 平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,故C可能成立;因为点D的射影不可能在FC上,故D不可能成立.
7.解析：∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,可知BC⊥平面PCA,
(1)与PC垂直的直线有:AC,BC,AB.
(2)与AP垂直的直线有:BC.
答案:(1)AC,BC,AB (2)BC
8.解析：因为平面ABS⊥平面ABCD,平面ABS∩平面ABCD=AB,CB 平面ABCD,CB⊥AB.
所以CB⊥平面ABS.
所以∠BSC是直线SC与平面ABS所成的角.
因为SB=AB=BC,CB⊥SB,
所以∠BSC=45°,
所以直线SC与平面ABS所成的角为45°.
答案:45°
9.证明：因为α⊥β,α∩β=l,AB α,AB⊥l,
所以AB⊥β.因为DE β,所以AB⊥DE.
因为BC⊥DE,AB∩BC=B,所以DE⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC,所以AC⊥DE.
10.证明：(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,
AB 平面ABC,BC 平面ABC,且AB∩BC=B,
所以PA⊥平面ABC,因为BD 平面ABC,
所以PA⊥BD.
(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,
由(1)知PA⊥平面ABC,
因为PA 平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABC,
因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD 平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,
因为BD 平面BDE,
所以平面BDE⊥平面PAC.
素养提升
1.A 作AE⊥BD,交BD于E,
因为平面ABD⊥平面BCD,
所以AE⊥平面BCD,又BC 平面BCD.
所以AE⊥BC,而DA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以DA⊥BC,又因为AE∩AD=A,
所以BC⊥平面ABD,而AB 平面ABD.
所以BC⊥AB,即△ABC为直角三角形.
2.D 如图所示,由于m∥α,m∥β,α∩β=n,所以m∥n,又因为AB∥n,所以AB∥m,故A正确,由于AC⊥n,m∥n,所以AC⊥m,故B正确,由于AB∥n,n β,AB在β外,所以AB∥β,故C正确;对于D,虽然AC⊥n,但是AC不一定在平面α内,故它可以与平面β相交、平行,不一定垂直,所以D不正确.
3.解析：如图,取CD的中点G,连接MG,NG.
因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MG 平面ABCD,
所以MG⊥平面DCEF,又NG 平面DCEF,
所以MG⊥NG,所以MN==.
答案:
4.解析：设BD中点为E,连接A'E,
对①,因为AD=AB=1, 即A'D=A'B=1,
所以A'E⊥BD,又因为平面A'BD⊥平面BCD,
所以A'E⊥平面BCD,
又因为BC 平面BCD,所以A'E⊥BC,
若A'D⊥BC,因为A'D∩A'E=A',所以BC⊥平面A'BD,又因为BD 平面A'BD,
所以BC⊥BD,与已知矛盾,所以错误;
对②,因为AD=AB=1,AD⊥AB,
所以A'E=,BD=,
又因为∠BCD=45°,所以CD⊥BD,
所以S△BDC=××=1,
所以VA'-BCD=×1×=,所以错误;
对③,因为平面A'BD⊥平面BCD,
平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,
所以CD⊥平面A'BD,所以正确;
对④,因为CD⊥平面A'BD,CD 平面A'DC,
所以平面A'BD⊥平面A'DC,所以正确.
答案:③④
5.证明：如图,设AC∩BD=G,连接EG,FG.
由AB=易知CG=1,则EF=CG=CE.又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,CF 平面ACEF,所以BD⊥CF.
又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
6.证明：(1)取BC的中点M,连接DM,
因为BD=CD且BD⊥CD,BC=2.
所以DM=1,DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD,DM 平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,
又AE=1,DM=1,
所以四边形DMAE是平行四边形,
所以DE∥AM.
又△ABC是正三角形,M为BC的中点,
所以AM⊥BC,
因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,
所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD,所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD,BD∩DE=D,
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE,
所以平面BDE⊥平面CDE.8.6.3 平面与平面垂直(二)
基础知识
1.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面 .
2.空间线、面之间的垂直关系
3.若平面α⊥平面β,点A∈α,过点A作直线l⊥β,那么直线l与平面α的关系是什么
基础巩固
一、单选题
1.设两个平面互相垂直,则 ( )
A.一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内
C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面
D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直
2.已知α,β是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是 ( )
①m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β;
②m∥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β;
③m⊥α,n⊥β,且m∥n,则α∥β;
④m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β.
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.③④
3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在 ( )
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
4.已知平面α与β互相垂直,α与β交于l,m和n分别是平面α,β上的直线.若m,n均与l既不平行,也不垂直,则m与n的位置关系是( )
A.可能垂直,但不可能平行
B.可能平行,但不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.既不可能垂直,也不可能平行
二、多选题
5.如图,在三棱锥A-BCD中,CD⊥BC,AB⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,则下列判断中正确的有 ( )
A.CD⊥AC B.AB⊥平面BCD
C.AD⊥BC D.图中恰有三对平面互相垂直
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.在翻折过程中,可能成立的结论是 ( )
A.DF⊥BC
B.BD⊥FC
C.平面DBF⊥平面BFC
D.平面DCF⊥平面BFC
三、填空题
7.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
(1)与PC垂直的直线有 ;
(2)与AP垂直的直线有 .
8.如图所示,等边三角形ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为 .
四、解答题
9.如图,α⊥β,α∩β=l,AB α,AB⊥l,BC β,DE β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.
10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.
素养提升
一、选择题
1.在四面体A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2.已知平面α⊥平面β,α∩β=n,点A∈α,A n,直线AB∥n,直线AC⊥n,直线m∥α,
m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
二、填空题
3.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于 .
4.(教材改编题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起,设折起后点A的位置为A',且平面A'BD⊥平面BCD,则下列四个命题中正确的是 .
①A'D⊥BC;
②三棱锥A'-BCD的体积为 ;
③CD⊥平面A'BD;
④平面A'BD⊥平面A'DC.
三、解答题
5.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,
EF∥AC,AB=,CE=EF=1,
求证:CF⊥平面BDE.
6.如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.
(1)求证:AE∥平面BCD;
(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.
