一元二次函数、方程和不等式 测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式2x2+x-6<0的解集为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2022·北京朝阳区高一期末] 已知x>0,则x+ 的最小值为 ( )
A. B.2
C.2 D.4
3.设a∈R,M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 ( )
A.M>N B.M≥N
C.M
4.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.a≤2 B.-2C.-25.已知关于x的不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是 ( )
A.{x|23}
C. D.
6.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.> B.a2+b2≥8
C.≥2 D.+≤1
7.[2022·石家庄一中高一月考] 若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为,则关于x的不等式>0的解集是 ( )
A.{x|3B.{x|x<-2或x>6}
C.{x|x<-2或-16}
D.{x|-28.[2022·广东广大附中高一月考] 若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.-14
C.-43
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知a,b,c,d均为实数,则下列说法中正确的是 ( )
A.若ab<0,bc-ad>0,则->0
B.若ab>0,->0,则bc-ad>0
C.若bc-ad>0,->0,则ab>0
D.若<<0,则<
10.[2022·温州十校联合体高一期中] 实数a,b满足1A.3C.211.下列结论正确的是 ( )
A.当x>0时,+≥2
B.当x>2时,y=x+的最小值是2
C.当x<时,y=4x-2+的最小值为5
D.当x>0,y>0时,+≥2
12.[2022·辽宁辽南协作体高一期中] 若x1,x2是一元二次方程x2-2mx-3m2=0(m≠0)的两根,则下列说法正确的是 ( )
A. =-3 B.x1+x2=2m
C.x1x2=-3m2 D.x1-x2=±4m
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.不等式≤1的解集为 .
14.当x∈{x|115.某种杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少2000本.若提价后的销售总收入不低于20万元,则单价的最大值为 元.
16.若x<,y=3x+,则当x= 时,y取得最大值,最大值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列不等式的解集.
(1)x2-x-2≥0;
(2)-x2+7x>13.
18.(12分)(1)设a≥b>0,证明:a3+b3≥a2b+ab2.
(2)已知x>0,y>0,x+y=2xy,求证:xy≥1.
19.(12分)[2022·唐山高一期末] 已知关于x的不等式ax2-(3a+1)x+3<0.
(1)当a=-2时,解不等式;
(2)当a>0时,解不等式.
20.(12分) 已知正数a,b满足+=1.
(1)求a+b的最小值;
(2)求+的最小值.
21.(12分)[2022·衢州一中高一期中] 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车平均速度x(千米/时)的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)为使运输的总费用不超过1260元,求x的取值范围;
(2)若要使运输的总费用最少,汽车应以每小时多少千米的平均速度行驶
22.(12分)已知y=-3x2+a(6-a)x+12.
(1)若不等式y>b的解集为{x|0(2)当a=3时,若对任意的x∈{x|-1≤x≤1},都有y≥-3x2+(m+9)x+10,求m的取值范围.一元二次函数、方程和不等式
参考答案
1.B [解析] 不等式2x2+x-6<0可化为(2x-3)(x+2)<0,解得-22.C [解析] 由x>0,得x+≥2 =2,当且仅当x=,即x=时取等号,故x+的最小值为2,故选C.
3.A [解析] 因为M-N=2a(a-2)+7-(a-2)(a-3)=a2+a+1=+>0,所以M>N, 故选A.
4.B [解析] 当a≠2时,由题意得解得-25.A [解析] ∵关于x的不等式ax2-bx-1≥0的解集是,∴a<0,且关于x的方程ax2-bx-1=0的两个根为-,-,则-=--,- =,∴a=-6,b=5,∴x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,∴(x-2)(x-3)<0,解得26.B [解析] ∵a>0,b>0,且a+b=4,∴ab≤=4(当且仅当a=b=2时等号成立),∴≥,故A不恒成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,故B恒成立;≤2,故C不恒成立;+==≥1,故D不恒成立.故选B.
7.C [解析] 因为关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x∈R|-20为>0,即(x2-x-6)(x2-5x-6)>0,即(x+1)(x-6)(x+2)(x-3)>0,方程(x+1)(x-6)(x+2)(x-3)=0的4个根从小到大依次为-2,-1,3,6,因此原不等式的解集为{x|x<-2或-16}.故选C.
8.B [解析] 因为x+==2++≥2+2=4,当且仅当x=2,y=8时取等号,所以=4.因为不等式x+4或m<-1,故选B.
9.BCD [解析] 对于A,∵ab<0,∴<0,又bc-ad>0,∴-=·(bc-ad)<0,即-<0,故A不正确;对于B,∵ab>0,->0,∴ab·>0,∴bc-ad>0,故B正确;对于C,∵->0,∴>0,又bc-ad>0,∴ab>0,故C正确;对于D,由<<0,可知b0,∴<,故D正确.故选BCD.
10.AC [解析] 对于A,因为111.AD [解析] 当x>0时,+≥2=2,当且仅当=,即x=1时取等号,A正确;当x>2时,y=x+随着x的增大而增大,可得y>,B错误;当x<时,y=4x-2+=4x-5++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时取等号,C错误;当x>0,y>0时,+≥2=2,当且仅当x=y时取等号,D正确.故选AD.
12.BCD [解析] 因为x1,x2是一元二次方程x2-2mx-3m2=0的两根,所以x1+x2=2m,x1x2=-3m2,则|x1-x2|= =|4m|=±4m.解方程x2-2mx-3m2=0(m≠0)可得x=3m或x=-m,所以=-3或-.故选BCD.
13.{x|-2≤x<1} [解析] 由≤1得-1≤0,即≤0,等价于解得-2≤x<1,所以所求不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
14.m≤-5 [解析] 令y=x2+mx+4,则其图像是开口向上的抛物线.若当x∈{x|115.4 [解析] 设单价为x(x≥2.5)元,销售总收入为y元,则由题意得y=x,整理得y=-20 000x2+130 000x.因为提价后的销售总收入不低于20万元,所以y=-20 000x2+130 000x≥200 000,解得2.5≤x≤4,所以单价的最大值为4元.
16. 3 [解析] 当x<时,5-3x>0,所以y=3x+=5-≤5-2=3,当且仅当5-3x=,即x=时,等号成立,因此,y的最大值为3.
17.解:(1)不等式x2-x-2≥0等价于(x-2)(x+1)≥0,解得x≥2或x≤-1,∴不等式的解集为{x|x≥2或x≤-1}.
(2)不等式-x2+7x>13等价于x2-7x+13<0,∵方程x2-7x+13=0的判别式Δ=49-52<0,∴不等式的解集为 .
18.证明:(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2,∵a>0,b>0,∴a+b>0,而(a-b)2≥0,∴(a+b)(a-b)2≥0,故(a3+b3)-(a2b+ab2)≥0,
即a3+b3≥a2b+ab2.
(2)∵x>0,y>0,∴x+y≥2,当且仅当x=y时,等号成立.由x+y=2xy,得2xy≥2,故≥1,∴xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立.
19.解:(1)当a=-2时,不等式为-2x2+5x+3<0,整理得(2x+1)(x-3)>0,解得x<- 或x>3,所以原不等式的解集为.
(2)当a>0时,不等式ax2-(3a+1)x+3<0可化为(x-3)<0.
当a= 时,=3,此时不等式无解;当03,解得3时,<3,解得时,解集为.
20.解:(1)因为a,b是正数,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,故a+b的最小值为4.
(2)由+=1得ab=a+b,得(a-1)(b-1)=1,所以a>1,b>1,所以a-1>0,b-1>0,则+=4++9+≥13+2=25,当且仅当a=,b=时等号成立,故+的最小值为25.
21.解:(1)由题意得×60+1000+2x≤1260,化简得x2-130x+3600≤0,
解得40≤x≤90,∴x的取值范围为40≤x≤90.
(2)∵×60+1000+2x=2x++1000≥2+1000=1240,当且仅当2x=,即x=60时取等号,
∴若要使运输的总费用最少,汽车应以每小时60千米的平均速度行驶.
22.解:(1)因为y>b的解集为{x|0所以方程-3x2+a(6-a)x+12-b=0的两根为0,3,
故解得
经检验,当a=3,b=12时,不等式y>b的解集为{x|0(2)当a=3时,y=-3x2+9x+12,对任意的x∈{x|-1≤x≤1},都有y≥-3x2+(m+9)x+10,即对任意的x∈{x|-1≤x≤1},都有mx-2≤0,令t=mx-2.当m=0时,t=-2≤0恒成立;当m>0时,由题意可得m-2≤0,所以0综上所述,m的取值范围为-2≤m≤2.