函数的概念与性质 测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以下函数中为奇函数的是 ( )
A.y=-2x B.y=2-x
C.y=x2 D.y=,x∈(0,1)
2.[2022·广东广雅中学高一月考] 下列图像中,以M=为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数是 ( )
A B C D
图D3-1
3.函数y=+1的值域为 ( )
A.(0,+∞) B.[1,+∞)
C.[0,+∞) D.[4,+∞)
4.若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,则f(2)= ( )
A.1 B.-1
C.- D.
5.已知函数f(x)=x+(x>-2),则 ( )
A.f(x)有最小值-1 B.f(x)有最大值-1
C.f(x)有最小值3 D.f(x)有最大值3
6.某市出租车的起步价为5元(起步价内行驶的里程为3 km),以后每1 km收费1.8元(不足1 km按1 km计价),则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为 ( )
A B C D
图D3-2
7.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.已知f(x)=x2-ax+在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为 ( )
A.0 B.
C.1 D.2
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列各组函数中,两个函数是同一个函数的为 ( )
A.f(x)=|x|与g(x)=
B.f(x)=x+1与g(x)=
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=与g(x)=·
10.已知函数f(x)=xα的图像经过点(4,2),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在定义域上为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0
11.已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)为奇函数,y=f(x+2)为偶函数,则 ( )
A.f(-x-1)=-f(x+1) B.f(4+x)=f(-x)
C.f(x)为偶函数 D.y=f(x-3)为奇函数
12.[2022·福建宁德高一期末] 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.令f(x)=2x-[2x],则下列结论正确的是 ( )
A.f(-1.1)=0.8 B.f(x)为偶函数
C.是f(x)的一个周期 D.f(x)的值域为[0,1]
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为 .
14.已知f(x)=若f=3,则实数a= .
15.已知函数f(x)=,记f(1)+f(2)+f(4)+f(8)+f(16)=m,f+f+f+f=n,则m+n= .
16.[2022·广东汕尾高一期末] 若存在常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立(或F(x)≤kx+b和G(x)≥kx+b恒成立),则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=-x2(x∈R),g(x)= (x>0),若函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线y=-3x+b,则实数b的取值范围是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像;
(3)根据图像写出f(x)的单调区间和值域.
18.(12分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(2)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义法证明.
19.(12分) [2022·龙岩一中高一期中] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)为R上的减函数,求实数a的取值范围.
20.(12分)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若(3-a)m>(a-1)m,求a的取值范围.
21.(12分)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f=f(m)-f(n);
(2)求证:f(x)是(0,+∞)上的增函数;
(3)若f(2)=1,解不等式f(x+2)-f(2x)>2.
22.(12分) [2022·宁波效实中学高一期中] 已知二次函数f(x)=x2+2x.
(1)求函数y=|f(x)|的单调递增区间;
(2)设实数b>1,若存在实数a,使得对任意x∈[1,b],f(x+a)-3x≤0恒成立,求b的取值范围.函数的概念与性质
参考答案
1.A [解析] y=-2x的定义域为R,定义域关于原点对称,令y=f(x),则f(-x)=2x=-f(x),所以y=-2x是奇函数;y=2-x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2是偶函数;y=,x∈(0,1)的定义域不关于原点对称,该函数既不是奇函数也不是偶函数.故选A.
2.C [解析] 对于A,其对应函数的值域不是N={y|0≤y≤1},A错误;对于B,图像中存在一部分与x轴垂直,即此时x对应的y值不唯一,该图像不是函数的图像,B错误;对于C,其对应函数的定义域是M={x|0≤x≤1},值域是N={y|0≤y≤1},C正确;对于D,图像不满足一个x对应唯一的y,该图像不是函数的图像,D错误.故选C.
3.D [解析] 因为x2+9≥9,所以≥3,所以+1≥4,所以函数y=+1的值域为[4,+∞),故选D.
4.B [解析] ∵f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,∴①-②×2得-3f(2)=3,∴f(2)=-1,故选B.
5.C [解析] ∵x>-2,∴x+2>0,∴f(x)=x+=(x+2)++1≥2+1=3,当且仅当x+2=,即x=-1时取等号,∴f(x)有最小值3,无最大值.故选C.
6.B [解析] ∵出租车的起步价为5元(起步价内行驶的里程为3 km),∴当07.C [解析] 因为f(x)是R上的减函数,所以解得8.B [解析] 易知f(x)=x2-ax+的图像开口向上,对称轴方程为x=.
①当≤,即a≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值g(a)=f(1)=1-;
②当>,即a>1时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值g(a)=f(0)=.故g(a)=所以g(a)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当a=1时,g(a)取得最小值.故选B.
9.AC [解析] 对于A,g(x)==|x|,故A正确;对于B,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠1},故B错误;对于C,f(x)==故C正确;对于D,f(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥1},g(x)=·的定义域为{x|x≥1},故D错误.故选AC.
10.ACD [解析] ∵函数f(x)=xα的图像经过点(4,2),∴2=4α,解得α=,∴f(x)=,故f(x)在定义域上为增函数,故A正确;f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故B错误;f(x)在定义域上为增函数,且f(1)==1,故C正确;∵00,>0,<,∴<=,即11.BCD [解析] 根据题意,函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)为奇函数,y=f(x+2)为偶函数,则f(x)的图像关于点(1,0)对称,且关于直线x=2对称.对于A,若f(-x-1)=-f(x+1)成立,则f[-(x+1)]=-f(x+1)成立,则函数f(x)为奇函数,不一定成立,故A错误;对于B,因为f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(2-x)=f(2+x),变形可得f(4+x)=f(-x),故B正确;对于C,因为f(x)的图像关于点(1,0)对称,且关于直线x=2对称,所以直线x=0即y轴也是函数f(x)的图像的对称轴,故f(x)为偶函数,故C正确;对于D,因为f(x)的图像关于点(1,0)对称,由f(4+x)=f(-x)且f(x)为偶函数,得f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,则f(x)的图像关于点(-3,0)对称,故y=f(x-3)为奇函数,故D正确.故选BCD.
12.AC [解析] f(-1.1)=2×(-1.1)-[2×(-1.1)]=-2.2+3=0.8,故A正确;f(0.1)=2×0.1-[2×0.1]=0.2+0=0.2,f(-0.1)=2×(-0.1)-[2×(-0.1)]=-0.2+1=0.8,故B错误;f=2-=2x+1-[2x+1]=2x+1-[2x]-1=2x-[2x]=f(x),所以是f(x)的一个周期,故C正确;由取整函数的定义知,f(x)的值域为[0,1),故D错误.故选AC.
13.(1,2)∪(2,+∞) [解析] 因为f(x)=+(x-1)0,所以解得x>1且x≠2,即函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,+∞).
14.2 [解析] 根据题意,f(x)=f=3×+1=3,则f=f(3)=9-3a=3,解得a=2.
15.18 [解析] 当x≠0且x≠-1时,f(x)+f=+=+==4,又f(1)==2,所以m+n=f(1)++++=2+4×4=18.
16. [解析] 因为函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线y=-3x+b,所以当-x2≤-3x+b 时,可得-x2+3x-b≤0 对任意x>0恒成立,则b≥-x2+3x=-+对任意x>0恒成立,所以b≥.当≥-3x+b时,可得≥0对任意x>0恒成立,令t(x)=3x2-bx+1,则t(x)=3x2-bx+1≥0 对任意x>0恒成立,所以或解得017.解:(1)设x<0,则-x>0,
∵当x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x),∴当x<0时,f(x)=x2+2x.故f(x)=
(2)f(x)的图像如图所示.
(3)观察图像可得,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1),
单调递增区间为(-1,0),(1,+∞),
值域为[-1,+∞).
18.解:(1)根据题意,函数f(x)=是定义在R上的奇函数,则f(0)==0,解得n=0,又由f(2)=,得f(2)==,解得m=1,所以f(x)=.
(2)f(x)=在(0,1)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(0,1),且x10,又1+>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)19.解:(1)当a=-2时,f(x)=-x2-2x.当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2+2x,即f(x)=x2-2x.因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,因此,当x=0时,f(0)+f(0)=0,从而f(0)=0.
综上所述,f(x)=
(2)当x<0时,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2-ax,所以f(x)=x2+ax,又f(0)=0,所以f(x)=因为f(x)为R上的减函数,所以≤0,解得a≤0,故实数a的取值范围是(-∞,0].
20.解:(1)因为f(x)=(m2+2m-2)xm+2是幂函数,所以m2+2m-2=1,解得m=-3或m=1.又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,所以m=-3,故f(x)=x-1=.
(2)由(1)可得m=-3,设g(x)=x-3,则g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.因为(3-a)-3>(a-1)-3,所以3-a0>a-1,解得221.解:(1)证明:由题可得f(m)=f=f+f(n),即f=f(m)-f(n).
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x11.由(1)得f=f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)是(0,+∞)上的增函数.
(3)∵f(2)=1,∴2=f(2)+f(2)=f(4),由f(x+2)-f(2x)>2,得f(x+2)>f(2x)+f(4),即f(x+2)>f(8x),又f(x)是(0,+∞)上的增函数,∴解得02的解集为.
22.解:(1)作出函数f(x)=x2+2x的图像,将x轴下方的图像翻折到x轴上方,得到y=|f(x)|的图像,如图所示,
由图像可得,函数y=|f(x)|的单调递增区间为[-2,-1],[0,+∞).
(2)记g(x)=f(x+a)-3x=x2+(2a-1)x+(a2+2a),x∈[1,b],
因为存在实数a,使得对任意x∈[1,b],f(x+a)-3x≤0恒成立,即g(x)≤0对任意x∈[1,b]恒成立,所以g(x)max≤0.因为g(x)的图像是开口向上的抛物线,所以g(x)max在g(1)或g(b)中取到,故只需即记h(a)=a2+(2b+2)a+(b2-b),则存在实数a∈[-4,0],使得h(a)≤0,故只需h(a)min≤0.因为b>1,函数h(a)的图像的对称轴为直线a=-b-1,所以可分两种情况讨论:
当-b-1<-4,即b>3时,h(a)min=h(-4)=b2-9b+8≤0,可得3