8.5.3 平面与平面平行
基础知识
1.相交
2.不一定.当这两条直线平行时,这两个平面有可能相交.
3.两条交线
基础巩固
1.D 夹在两个平行平面间的平行线段相等,但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面.
2.C 由题意,取B1C1的中点E,连接EM,NE,B1D1,BD,如图.
M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,
所以BB1∥NE,B1D1∥EM,EM∩NE=E,BB1∩B1D1=B1,
所以平面EMN∥平面BB1D1D,
那么MN∥平面BB1D1D.
3.D 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB 平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1,B1C1 平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD 平面AC,B1C1 平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
4.C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.
5.AD 对于A,由于A1B∥D1C,且A1B 平面ACD1,D1C 平面ACD1,
可得直线A1B∥平面ACD1;
对于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直线B1B不平行平面ACD1;
对于C,由于A1D与AD1相交,A1D 平面A1DC1,可得平面A1DC1不与平面ACD1平行;
对于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B,C1B 平面A1BC1且相交,
可得平面A1BC1∥平面ACD1.
6.BD 因为α∥β,所以AB∥CD.
若P在α,β的同侧时,则有PC=PA+AC=15,
因为=,所以PB=,所以BD=PD-PB=;
若点P在α,β之间时,则有PC=AC-PA=3,
因为=,所以PB=16,所以BD=PB+PD=24.综上,BD=或BD=24.
7.解析：因为平面AC∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,
平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,
同理可证CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1,
所以AB∥CD.同理可证AD∥BC,
所以四边形ABCD是平行四边形.
答案:平行四边形
8.解析：由面面平行的性质定理可知,①正确;
当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;
当n∥β,m γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以,m∥n,③正确.
答案:①或③
9.证明：因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD=O,所以点O为BD的中点.
又因为点F为BC的中点,所以OF∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,所以OF∥平面PCD,
因为点O,E分别是AC,PA的中点,所以OE∥PC,
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以OE∥平面PCD.又OE 平面EFO,OF 平面EFO,且OE∩OF=O,所以平面EFO∥平面PCD.
10.证明：连接OG并延长交AC与M,连接QM,QO.
由G为△AOC的重心,得M为AC中点,
由Q为PA中点,得QM∥PC.
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,
因为QG 平面OMQ,所以QG∥平面PBC.
素养提升
1.C 如图,
由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是等腰梯形CD1MN,易求MN=,CD1=2,MD1=NC=,
所以此截面的面积S=×(+2)×
=.
2.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;
在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,
故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;
在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.
3.解析：由题意得A1E∥BE1,A1E 平面BCF1E1,
BE1 平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.
同理,A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1 平面EFD1A1,
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案:平行
4.解析：由题图知,因为平面α∥平面ABC,
所以AB∥平面α,又由平面α∩平面PAB=A'B',则A'B'∥AB,
同理可得B'C'∥BC,A'C'∥AC,
所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,
所以△A'B'C'∽△ABC,
因为PA'∶AA'=2∶3,即PA'∶PA=2∶5,
所以A'B'∶AB=2∶5,
由相似三角形面积比为相似比的平方,
所以=.
答案:
5.证明：因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,
又BC 平面ADF,AD 平面ADF,
所以BC∥平面ADF.
因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,
且∠BAE=∠AFB=90°,
所以∠BAF=∠ABE=45°,所以AF∥BE,
又BE 平面ADF,AF 平面ADF,
所以BE∥平面ADF.又BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.
6.证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥DD1且CC1=DD1,因为E,F分别为DD1,CC1的中点,则CF∥D1E且CF=D1E,
所以四边形CED1F为平行四边形,则CE∥FD1.
(2)因为四边形ABCD为正方形,AC∩BD=O,则O为BD的中点,因为E为DD1的中点,则OE∥BD1,
因为OE 平面BFD1,BD1 平面BFD1,所以OE∥平面BFD1,因为CE∥FD1,CE 平面BFD1,FD1 平面BFD1,所以CE∥平面BFD1,
因为OE∩CE=E,所以平面ACE∥平面BFD1.8.5.3 平面与平面平行
基础知识
1.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
2.如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行吗
3.平面与平面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么 平行.
4.面面平行的其他性质
(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行;
(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等;
(3)两个平面平行,其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等.
基础巩固
一、单选题
1.平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.MN∥AP B.MN∥BD1
C.MN∥平面BB1D1D D.MN∥平面BDP
3.已知直线l,m,平面α,β,下列结论正确的是 ( )
A.l∥β,l α α∥β
B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β
D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
二、多选题
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有 ( )
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且PA=6,PD=8,AC=9,则BD的长可能为 ( )
A.16 B.24
C.14 D.
三、填空题
7.
如图,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是 .
8.(教材改编题)设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.
四、解答题
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,点E为PA的中点,点F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.
求证:平面EFO∥平面PCD.
10.如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
素养提升
一、选择题
1.
棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积为( )
A.2 B.4 C. D.5
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 ( )
A.AD1∥平面EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
二、填空题
3.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 .
4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则 = .
三、解答题
5.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,CC1的中点,AC与BD交于点O.求证:
(1)CE∥FD1;
(2)平面AEC∥平面BFD1.
