10.1.4 概率的基本性质
基础知识
1.P(A)≥0 1 0 P(A)+P(B)
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
1-P(A) P(A)≤P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B)
2.不一定.当在一次试验中只有事件A与B时才是对立事件.
基础巩固
1.B P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
2.B 该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]= 1-(0.2+0.5)=0.3.
3.B 设事件A“摸出的数为偶数”,事件B“摸出的数能被5整除”,则P(A)=,P(B)==,P(A∩B)==,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
4.D 记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2.
从3个红球、2个白球中任取3个,则所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.
故P(A)=1-P()=1-=.
5.ACD 将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),共有10种.令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为不合格的事件,G表示此人被评为良好及以上的事件.则:事件D含(123),只有1个样本点,事件E含(124),(125),(134),(135),(234),(235),共6个样本点,故P(D)=,P(E)=,P(F)=1-P(D)-P(E)=,
P(G)=P(D)+P(E)=.
6.ABD 因为脱靶的概率为0.01,所以不脱靶的概率为1-0.01=0.99,所以A正确;因为成绩为10环的概率为0.1,9环的概率为0.3,由互斥事件的概率加法公式得小明成绩为9环或10环的概率为0.1+0.3=0.4,所以B正确;由已知条件无法得到小明成绩为7环的概率,所以C错误;由互斥事件与对立事件的概率公式得小明成绩在9环以下但不脱靶的概率为1-0.1-0.3-0.01=0.59,所以D正确.
7.解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
答案:0.10
8.解析：因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.
又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,
所以P(A)=.
答案:
9.解析：记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
10.解析：(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A',B',C',D',它们彼此互斥.由已知得P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
由于B,O型血可以输给B型血的人,
因此“可以输血给小明的人”为事件B'+D',
根据互斥事件的概率加法公式,得:
P(B'+D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,
因此“不能输血给小明的人”为事件A'+C',
所以P(A'+C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
素养提升
1.C 抛掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意,得P(A)==,P(B)==,
所以P()=1-P(B)=1-=,
因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=+=.
2.B 事件“抽到的产品不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,而事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,
于是得1-P(A)=1-0.65=0.35,
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
【名师点睛】求复杂的互斥事件概率的两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.
注:当题目涉及“至多”“至少”型问题,多考虑间接法.
3.解析：(1)因为B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.P(AB)=P( )=0.
答案:(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
4.解析：商店不进货即日销售量少于2件,显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥,分别计算两事件发生的频率,将其视作概率,利用概率加法公式可解.
记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,则P(C)=P(A)+P(B)=+=.
答案:
5.解析：(1)因为=0.19,所以x=380.
(2)高三年级人数为y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在高三年级抽取的人数为×48=12(名).
(3)设高三年级女生比男生少为事件A,则为高三年级女生比男生多或高三年级男生和女生同样多.高三年级女生数、男生数记为(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个,事件包含的样本点是(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共6个.所以P()=.因此,P(A)=1-=.
6.解析：(1)因为每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,所以P(A)=,P(B)==,P(C)==.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,
则P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.10.1.4 概率的基本性质
基础知识
1.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有 ;
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)= ,P( )= .
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
推广 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)= .
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么 .
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= .
2.若P(A)=1-P(B),事件A与B是对立事件吗
基础巩固
一、单选题
1.小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)= ( )
A. B. C. D.
2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过120分的概率为 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
3.从1,2,3,…,30这30个数中任意摸出一个数,则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.则下列结论正确的是 ( )
A.此人被评为优秀的概率为
B.此人被评为良好的概率为
C.此人被评为不合格的概率为
D.此人被评为良好及以上的概率为
6.大学新生军训时,小明射击一次,成绩为10环的概率为0.1,9环的概率为0.3,脱靶的概率为0.01.则 ( )
A.小明不脱靶的概率为0.99
B.小明成绩为9环或10环的概率为0.4
C.小明成绩为7环的概率为0.7
D.小明成绩在9环以下但不脱靶的概率为0.59
三、填空题
7.
如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是 .
8.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)= .
四、解答题
9.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:
排队 人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少
(2)至少3人排队等候的概率是多少
10.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.
血型 A B AB O
该血型的 人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人互相可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少
素养提升
一、选择题
1.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 ( )
A.0.2 B.0.35 C.0.5 D.0.4
二、填空题
3.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)如果B A,则P(A∪B)= ,P(AB)= ;
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)= ,P(AB)= .
4.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为 .
三、解答题
5.某高级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,问:应在高三年级中抽取多少名
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生少的概率.
6.(教材改编题)某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1张奖券中奖概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
