指数函数与对数函数 参考答案
1.A [解析] 由>1,即>,得x-1<0,所以x<1,所以A==(-∞,1).由log2x≤1,得log2x≤log22,所以0
2.C [解析] ∵f(x)=∴f(4)=lo4=-2,∴f[f(4)]=f(-2)=3-2=.故选C.
3.D [解析] 依题意得f(1)<0,f(2)=0,f(3)>0,f(4)<0,f(5)>0,f(6)<0.根据函数零点存在定理可知,y=f(x)在区间(3,4),(4,5),(5,6)上均至少有一个零点,又2是y=f(x)的一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有4个.故选D.
4.B [解析] f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=ln |-x|+=ln |x|+=f(x),则f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,故D错误;f(1)=ln 1+1=1>0,故A错误;f(2)=ln 2+>0,故C错误.故选B.
5.A [解析] a=log29>log28=3.∵log39b>c,故选A.
6.B [解析] 函数f(x)=2x+x的零点为函数y=2x与y=-x的图像交点的横坐标,函数g(x)=log2x+x的零点为函数y=log2x与y=-x的图像交点的横坐标,函数h(x)=x3+x的零点为函数y=x3与y=-x的图像交点的横坐标.在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=log2x,y=x3与y=-x的图像,如图所示.由图可知,a<0,b>0,c=0,∴a7.C [解析] 当-7≤x≤0时,f(x)=|x+1|的取值范围为[0,6],当e-2≤x≤e时,f(x)=ln x的取值范围为[-2,1],所以f(x)=的值域为[-2,6],记A=[-2,6].若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则2g(a)∈A,即2a2-4a∈[-2,6],解得-1≤a≤3,故a的取值范围为[-1,3],故选C.
8.B [解析] 若f(a)=f(b)(a≠b),不妨设a9.BD [解析] 对于A,·==,故A错误;对于B,÷==a,故B正确;对于C,·==1,故C错误;对于D,==a3,故D正确.故选BD.
10.CD [解析] 易得函数f(x)=-+是R上的增函数,由于存在实数a,b,使得a11.CD [解析] f(x),g(x)的定义域均为{x|x≠0}.因为f(-x)=ln |-x|=ln |x|=f(x),所以f(x)为偶函数.因为g(-x)=-x+=-=-g(x),所以g(x)为奇函数.令F(x)=f(x)+g(x),则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x),故y=f(x)+g(x)既非奇函数也非偶函数.同理可得y=f(x)-g(x)既非奇函数也非偶函数.令G(x)=f(x)·g(x),则G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-G(x),故y=f(x)·g(x)是奇函数.令g(x)=0得x=±1,故y=的定义域为{x|x≠0且x≠±1},令h(x)=,则h(-x)==-=-h(x),故y=是奇函数.故选CD.
12.BC [解析] 根据题意知,f(x)=-=-,f(x)的定义域为R.∵g(1)=[f(1)]==0,g(-1)=[f(-1)]==-1,∴g(1)≠g(-1),g(1)≠-g(-1),∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数,A错误;∵f(-x)=-=-=-f(x),∴f(x)是奇函数,B正确;∵y=ex在R上是增函数,∴由复合函数的单调性知f(x)=-在R上是增函数,C正确;∵ex>0,∴1+ex>1,∴0<<1,∴-1<-<0,∴-13.(1,3) [解析] 令2x-1=1,得x=1,此时y=loga1+3=3,所以点P的坐标为(1,3).
14.2700 [解析] 因为鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=log3, 所以当一条鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时,可得1.5=log3,即=33,所以L=2700,故它的耗氧量的单位数为2700.
15.(-1,3) (-1,1) [解析] 由题可得-2和1是方程ax2+x+c=0的两个根,且a<0,则解得则函数y=log4(ax2+cx+3)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0,解得-116.∪ [解析] 由题意,因为t∈[5,+∞),所以f(t)=log2(t+3)≥log28=3.由对 m,n∈[0,2], t∈[5,+∞),使得f(t)·[|g(m)-g(n)|+1]=6成立,可得|g(m)-g(n)|≤-1=1对m,n∈[0,2]恒成立.因为g(x)=3ax(a>0且a≠1)一定为单调函数,所以只需|g(0)-g(2)|=|3-3a2|≤1,即-≤1-a2≤,其中a>0且a≠1,可得≤a<1或117.解:(1)原式=-+×=-+×=1.
(2)原式=2+1+log6=2+1+log66=2+1+1=4.
18.解:(1)由题意可得f(-3)=0,f(1)=0,所以f(x)的图像关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2-4,令x=1,则f(1)=4a-4=0,解得a=1,所以f(x)=x2+2x-3.
(2)证明:由题意得g(x)=m(x+1)2-4m+1,m<0,g(x)的图像的对称轴为直线x=-1,所以g(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减.又g(-3)=1>0,g(-1)=1-4m>0,当x→+∞时,g(x)→-∞,所以函数g(x)在[-3,-1]上没有零点,在[-1,+∞)上有且只有一个零点,所以g(x)在[-3,+∞)上有唯一零点.
19.解:(1)h(x)=f(x)-g(x)=lg(x-1)-lg(4-x).要使函数h(x)有意义,则 得即1(2)由f(x)>g(x)得lg(x-1)>lg(4-x),可得x-1>4-x>0,解得20.解:(1)当a=-4时,令t=2x,由x∈[0,2],得t∈[1,4],y=t2-4t+3=(t-2)2-1.当t=2时,ymin=-1;当t=4时,ymax=3.∴函数f(x)的取值范围为[1,3].
(2)设t=2x,则当x∈(0,+∞)时,t>1,f(x)>0在(0,+∞)上恒成立等价于t2+at+3>0在(1,+∞)上恒成立,∴a>-在(1,+∞)上恒成立,∴a>.设g(t)=-,t>1,则函数g(t)在(1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,∴g(t)max=g()=-2,∴a>-2.
21.解:(1)函数Q=at+b(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c(a≠0).将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c中,可得解得所以芦荟每10 kg的种植成本Q与上市时间t之间的函数关系式为Q=t2-t+.
(2)当t=-=150时,芦荟每10 kg的种植成本最低,最低为Q=×1502-×150+=100(元).
22.解:(1)∵g(x)=a(x-1)2-a+1+b,∴函数g(x)的图像的对称轴方程为x=1.∵a>0,∴g(x)=a(x-1)2-a+1+b在区间[2,3]上单调递增.依题意得即解得∴g(x)=x2-2x+1.
(2)∵f(x)=,∴f(x)=x+-2.∵当x∈[-1,1]时,f(2x)-k·2x≥0恒成立,即2x+-2-k·2x≥0在[-1,1]上恒成立,∴k≤-+1在[-1,1]上恒成立,只需k≤.令t=,由x∈[-1,1]得t∈,设h(t)=t2-2t+1,t∈,∵h(t)=t2-2t+1=(t-1)2 ,∴当t=1时,函数h(t)取得最小值0,∴k≤h(t)min=h(1)=0,∴k的取值范围为(-∞,0].指数函数与对数函数 测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A=,集合B={x|log2x≤1},则A∩B= ( )
A.(0,1) B.(1,2]
C.(0,2] D.
2.[2022·辽宁大连一中高一月考] 已知函数f(x)=则f[f(4)]的值为 ( )
A.- B. -9
C. D. 9
3.[2022·广东梅州高一期末] 已知函数y=f(x)的图像是连续的曲线,且有如下的对应值表
x 1 2 3 4 5 6
y -120.1 0 112 -40 56.7 -76.2
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.[2022·山东威海高一期末] 函数f(x)=ln|x|+的图像大致为 ( )
A B C D
图D4-1
5.若a=log29,b=log325,c=20.9,则 ( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.c>a>b
6.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c7.[2022·重庆南开中学高一月考] 已知函数f(x)=g(x)=x2-2x.设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-1,3] D.(-∞,3]
8.已知f(x)=|2x-1|,若f(a)=f(b)(a≠b),则a+b的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.设a>0且a≠1,则下列运算中正确的是 ( )
A.·=a B.÷=a
C.·=a D.=a3
10.对于函数f(x)=-+,存在实数a,b,使得aA.f(x)在(a,b)内有两个以上的零点
B.a>0
C.f(x)在(a,b)内有且只有一个零点
D.f(x)为R上的单调函数
11.已知函数f(x)=ln |x|,g(x)=x-,则 ( )
A.y=f(x)+g(x)是奇函数
B.y=f(x)-g(x)是奇函数
C.y=f(x)·g(x)是奇函数
D.y=是奇函数
12.[2022·湖南箴言中学高一期末] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,函数g(x)=[f(x)],则下列说法中正确的是 ( )
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数y=loga(2x-1)+3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P,则点P的坐标是 .
14.[2022·贵阳高一期末] 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=log3,其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数,当一条鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时,它的耗氧量的单位数为 .
15.不等式ax2+x+c>0的解集为{x|-216.已知f(x)=log2(x+3),g(x)=3ax(a>0且a≠1).若对 m,n∈[0,2], t∈[5,+∞),使得f(t)·[|g(m)-g(n)|+1]=6成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各式的值.
(1)-0.752+6-2×;
(2)+(π-3)0+log618-log63.
18.(12分)已知二次函数f(x)有两个零点-3和1,且有最小值-4.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=mf(x)+1(m≠0),若m<0,证明:g(x)在[-3,+∞)上有唯一零点.
19.(12分)已知函数f(x)=lg(x-1),g(x)=lg(4-x).
(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域;
(2)当不等式f(x)>g(x)成立时,求实数x的取值范围.
20.(12分)已知f(x)=4x+a·2x+3(a∈R).
(1) 当a=-4且x∈[0,2]时, 求函数f(x)的取值范围;
(2) 若对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立, 求实数a的取值范围.
21.(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,还可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟.为了了解行情,进行了市场调研,得到从4月1日起,芦荟每10 kg的种植成本Q(单位:元)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟每10 kg的种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1),说明理由,并求出函数关系式;
(2)利用选择的函数,求芦荟每10 kg的种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
22.(12分)已知二次函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)设f(x)=,若x∈[-1,1]时,f(2x)-k·2x≥0恒成立,求k的取值范围.