三角函数 测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.75°用弧度制表示为 ( )
A. B. C. D.
2.已知α=-1920°,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知角α的终边过点P(-1,),则sin= ( )
A.- B. C. D.-
4.[2022·河北邢台一中高一月考] 函数f(x)=tan的图像的对称中心的横坐标不可能是 ( )
A.- B. C. D.
5.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)= ( )
A. B. C. D.-
6.要得到函数y=sin+1的图像,只需将函数y=cos的图像 ( )
A.先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
7.函数f(x)=2cos2x-3cos x,其中x∈的值域为 ( )
A. B.
C. D.
8.已知4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)= ( )
A.- B.
C.- D.-
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列函数中,最小正周期为π且为奇函数的是 ( )
A.y=sin(2x+π) B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
10.[2022·黑龙江齐齐哈尔高一期末] 已知下列等式的左、右两边都有意义,则正确的是 ( )
A.tan=tan
B.sin=cos
C.tan2αsin2α=tan2α-sin2α
D.sin4α-cos4α=2sin2α-1
11.[2022·厦门一中高一月考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图D5-1所示,则下列说法中正确的有 ( )
图D5-1
A.f(x)的图像关于点对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图像关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递减
12.定义:在平面直角坐标系中,若存在常数φ(φ>0),使得函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后,恰与函数g(x)的图像重合,则称函数f(x)是g(x)的“原形函数”.下列函数f(x)是g(x)的“原形函数”的是 ( )
A.f(x)=x2-1,g(x)=x2-2x
B.f(x)=sin x,g(x)=cos x
C.f(x)=ln x,g(x)=ln
D.f(x)=,g(x)=2
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.写出一个最小正周期为2的偶函数f(x)= .
14.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形面积为 cm2.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且其图像的相邻两条对称轴间的距离为,则f= .
16.[2022·黑龙江哈尔滨六中高一期末] 已知f(x)=2sin,存在x1,x2,x3∈,x1≠x2≠x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),若x1+x2+x3的最大值为M,最小值为N,则M-N= .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知α为第一象限角,且tan α=.
(1)求的值;
(2)求2sin α-cos α的值.
18.(12分)[2022·北京通州区高一期末] 已知锐角α,β的终边与单位圆的交点分别为A,B.
(1)求tan β及cos(π+α)的值;
(2)求sin(α-β)的值.
19.(12分)已知函数f(x)=sin-2sin2x.
(1)求f的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
20.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图D5-2所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调递增区间.
(2)已知函数g(x)=f(x)·cos,则g(x)的图像可由函数f(x)的图像经过怎样的变换得到 叙述变换的具体过程.
(3)求g(x)在区间上的取值范围.
图D5-2
21.(12分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图D5-3①).某摩天轮的最高点距离地面90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图②).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲所在座舱距离地面的高度为H(t)米,已知H(t)=Asin(ωt+φ)+B,求H(t)的解析式.
(2)游客甲坐上摩天轮多长时间后,他所在座舱距离地面的高度恰好为30米
②
图D5-3
22.(12分)[2021·合肥六中高一期末] 已知函数f(x)=4cos ωxsin(ωx+φ)-1(0<φ<π,ω>0)的图像关于直线x=对称,且相邻两个对称中心之间的距离为.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数g(x)=f(x)-b有两个不同的零点x1,x2,求b的取值范围及x1+x2的值.三角函数 参考答案
1.C [解析] 75°=75×=(rad),故选C.
2.C [解析] 因为-1920°=-6×360°+240°,所以-1920°角与240°角的终边相同,又240°角是第三象限角,所以α=-1920°为第三象限角.故选C.
3.C [解析] ∵角α的终边过点P(-1,),∴cos α==-,∴sin=-cos α=.故选C.
4.C [解析] 令2x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z).当k=-1时,x=-=-;当k=0时,x=;当k=2时,x=.故选C.
5.D [解析] 由已知得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=+=1,∴2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,即2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=-.故选D.
6.B [解析] 先将y=cos=sin 2x的图像向左平移个单位长度,可得函数y=sin 2=sin的图像,再将所得图像向上平移1个单位长度,即可得到函数y=sin+1的图像.故选B.
7.B [解析] ∵x∈,∴cos x∈,令t=cos x,g(t)=2t2-3t,t∈,则函数g(x)图像的对称轴方程为t=∈,且开口向上,故g(t)min=g=2×-3×=-.又g=2×-3×=1-,g(1)=2×12-3×1=-1,∴g(t)的值域为,即f(x)的值域为,故选B.
8.A [解析] 由4sin2α+2sin2β=1,得4×+2×=1,整理得2cos 2α+cos 2β=2,所以4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β=4①,又2sin 2α-sin 2β=0,所以4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=0②,由①+②得4+4(cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β)+1=4,故cos(2α+2β)=cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β=-.故选A.
9.AB [解析] 易知选项A,B中函数的最小正周期为π,选项C,D中函数的最小正周期为2π,函数y=sin(2x+π)=-sin 2x为奇函数,函数y=cos=-sin 2x为奇函数.故选AB.
10.BCD [解析] 对于A,tan=tan=-tan,故A错误;对于B,sin=sin=cos,故B正确;对于C,tan2αsin2α=·sin2α=·sin2α=sin2α=-sin2α=tan2α-sin2α,故C正确;对于D,sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1,故D正确.故选BCD.
11.BCD [解析] 由图可知A=2,且∴sin φ=.∵|φ|<,∴φ=,则2sin=0, ∴ω+=2kπ,k∈Z,则ω=-,k∈Z,又<12.ABD [解析] 由f(x)=x2-1,g(x)=(x-1)2-1知,将f(x)的图像向右平移1个单位长度后可得g(x)的图像,故选项A正确;由f(x)=sin x,g(x)=cos x=sin知,将f(x)的图像向右平移个单位长度后可得g(x)的图像,故选项B正确;由f(x)=ln x,g(x)=ln=ln x-ln 4知,将f(x)的图像向下平移2ln 2个单位长度后可得g(x)的图像,故选项C不正确;由f(x)=,g(x)=2===知,将f(x)的图像向右平移log32个单位长度后可得g(x)的图像,故选项D正确.故选ABD.
13.cos πx(答案不唯一) [解析] 当f(x)=cos πx时,有f(-x)=cos π(-x)=cos πx=f(x)且最小正周期T==2,∴f(x)=cos πx是最小正周期为2的偶函数.
14. [解析] 由已知得半径为=3(cm),则这条弧所在的扇形面积为×π×3=(cm2).
15. [解析] ∵f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin为偶函数,∴φ-=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=.∵f(x)的图像的相邻两条对称轴间的距离为,∴f(x)的最小正周期T=×2=π,可得ω==2,则f(x)=2sin=2cos 2x,∴f=.
16. [解析] 作出函数f(x)=2sin的部分图像如图所示.令2x+=+kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),故函数f(x)的图像的对称轴为直线x=+(k∈Z),故函数f(x)=2sin的图像关于直线x=,x=,x=对称.不妨设x117.解:(1)原式===.
(2)因为tan α==,所以sin α=cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1.因为α为第一象限角,所以cos α=,所以sin α=,故2sin α-cos α=.
18.解:由已知可得α=,β=.
(1)tan β=tan=1,cos(π+α)=cos=-cos=-.
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sincos-cossin=×-×=.
19.解:(1)由函数f(x)=sin-2sin2x,得f=sin-2sin2=-cos-2sin2=--.
(2)f(x)=sin 2xcos-cos 2xsin-2·=sin 2x+cos 2x-=sin-,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
20.解:(1)由图可知A=2,f(x)的最小正周期T=2×=4π,
所以ω==,则f(x)=2sin.f(x)的图像的一个最低点的横坐标为=,则+φ=-+2mπ,m∈Z,则φ=2mπ-,m∈Z.因为<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,可得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)g(x)=2sin·cos=2·cos=2·cos=-sincos-cos2=-sin x-× =--=-sin-.先将f(x)的图像上所有点的横、纵坐标同时缩短为原来的,得到y1=sin的图像,再将y1=sin的图像向左平移π个单位长度,得到y2=sin的图像,然后将y2=sin的图像关于x轴作对称变换,得到y3=-sin的图像,最后将y3=-sin的图像向下平移个单位长度,得到g(x)的图像.(变换顺序合理即可)
(3)当x∈时,x+∈,所以sin∈[-1,1],所以-sin-∈,故g(x)的取值范围为.
21.解:(1)由题意知解得由最小正周期T==30,得ω=.由H(0)=40sin φ+50=10,-≤φ≤,得φ=-,因此H(t)=40sin+50.
(2)令H(t)=40sin+50=30,则sin=-cost=-,可得cost=.因为t∈[0,30],所以t∈[0,2π],所以t=或t=,解得t=5或t=25,故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟后,他所在座舱距离地面的高度恰好为30米.
22.解:(1)f(x)=4cos ωxsin(ωx+φ)-1=4cos ωx(sin ωxcos φ+cos ωxsin φ)-1=2sin 2ωxcos φ+4cos2ωxsin φ-1=2sin 2ωxcos φ+2cos 2ωxsin φ+2sin φ-1=2sin(2ωx+φ)+2sin φ-1.因为f(x)的图像相邻两个对称中心之间的距离为,且ω>0,所以最小正周期T==π,即ω=1.因为f(x)的图像关于直线x=对称,所以2×+φ=mπ+,m∈Z,即φ=mπ+,m∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)得g(x)=2sin-b,令t=2x+,则当x∈[0,π]时,t=2x+∈,作出y=sin t的简图如下.结合图像可知,若g(x)有两个不同的零点,则∈∪,即b∈(-2,1)∪(1,2).当b∈(-2,1)时,t1+t2=2×=3π,即2x1++2x2+=3π,解得x1+x2=;当b∈(1,2)时,t1+t2=2×=π,即2x1++2x2+=π,解得x1+x2=.综上,b的取值范围为(-2,1)∪(1,2),x1+x2的值为或.
