双曲线渐近线性质的7点应用参考答案：
1．A
【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可.
【详解】由题可知，双曲线渐近线为，
则右焦点到渐近线距离为，
所以，
故选：A．
2．ABD
【分析】A选项，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而得到，可以计算出离心率，得到双曲线标准方程及渐近线方程，判断出ABC选项，
在直线上，D正确.
【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
则，解得：，
则，解得：，
所以的离心率为，A正确；
的标准方程为，B正确；
的渐近线方程为，C错误；
在直线上，故经过的一个焦点，D正确.
故选：ABD
3．B
【分析】根据已知求得圆的半径和，利用点到直线的距离，垂径定理，和椭圆中之间的关系，即可求得.
【详解】由已知，所以圆心为，所以
双曲线渐近线被截得弦长为
所以圆心到渐进线的距离为，
又因为，故
所以
故选：B
4．B
【分析】根据双曲线的基本几何量求焦点到渐近线的距离为，几何性质求解，即可得，根据的关系，即可得渐近线方程.
【详解】解：双曲线的两条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为
又两条渐近线与直线分别相交于A，B两点，所以
则，所以，故渐近线方程为.
故选：B.
5．D
【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求、坐标，结合已知易得，根据得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.
【详解】设以为直径的圆的方程为，且、关于原点对称，
由，解得或，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：D
6．D
【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得的坐标，结合图像易得，利用斜率公式即可求得，从而可求得双曲线C的离心率.
【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则，
又由双曲线易得双曲线C的渐近线为，如图，
联立，解得或，
∴，，又∵，∴轴，
∴由得，∴，
∴，即，∴，∴.
故选：D.
.
7．C
【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.
【详解】由题意得，的斜率为，
而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，
故，即.
故选：C.
8．B
【分析】由题意可得，而，从而可求得离心率的范围
【详解】因为过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，
所以，
所以
因为，
所以，
故选：B
9．D
【分析】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得的关系，由此求双曲线的离心率取值范围.
【详解】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，
联立方程组，化简可得，
方程的判别式，
设方程的解为，
∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 双曲线的离心率，
即双曲线的离心率取值范围是.
故选：D.
10．
【详解】双曲线的渐近线方程是，所以，
由过点得：.
由，得
双曲线的方程为.
故答案为.
11．
【分析】设要求的方程，将M（3，﹣2）代入双曲线的方程．即可得到双曲线的方程．
【详解】由题意：与双曲线有共同的渐近线，设双曲线的方程为，曲线经过点M（3，﹣2），代入解得：解得m＝﹣2．
所以：该双曲线的方程为．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程的求法，考查共渐近线方程的求解，属于基础题．
12．##
【分析】根据双曲线的方程，求得渐近线方程，进而可得两渐近线的倾斜角，即可得答案.
【详解】因为双曲线，则，
所以渐近线方程为，
又直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角为.
故答案为：
13．B
【分析】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，由可得，从而可得双曲线的两渐近线的倾斜角分别为，即可求得答案.
【详解】解：设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
则有，，
又因为，
所以，
所以，
所以，
从而得，
所以双曲线的渐近线的斜率和，
所以双曲线的两渐近线的倾斜角分别为，
所以双曲线两条渐近线的夹角大小为.
故选：B.
14．C
【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.
【详解】设，，由双曲线的定义可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.
故选：C
15．C
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选:C.
16．A
【分析】利用方程联立分别求点的坐标，利用向量关系，转化为坐标运算，转化为关于的齐次等式，再求离心率.
【详解】设过右焦点的直线与垂直，则直线为，
联立，得，即，
联立，得，即，
因为，则，，
整理为，两边同时除以，
得，（舍）或，
所以双曲线的离心率.
故选：A
17．A
【分析】先求得，然后利用余弦定理列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，
因为，所以点到渐近线，即的距离，
又，所以，
，则由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
18．C
【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【详解】设在渐近线上，直线的方程为，
由，得即，
由，得为的中点，又因为
所以，
因为在双曲线上，所以化简得：
故选：C
19．B
【分析】由整理得，即，设结合，可得，代入双曲线方程运算整理．
【详解】∵，整理得：，即
∴
不妨设，根据结合比例易得
则，解得
∴
故选：B．
20．D
【分析】不妨设在第三象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．
【详解】，
不妨设在第三象限，与渐近线垂直，的斜率为，直线方程为，
由，得，
设，由知，即，
所以，，在双曲线上，
所以，化简得，，
，，
所以渐近线方程是．
故选：D．
21．A
【分析】根据数量积的运算律得到，再由直线的斜率可得的正切值，进而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得，的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解：因为，而，
所以，可得，
即，
因为在第二象限，由双曲线的定义可得，
所以，
过点且斜率为的直线，可得，
又，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得：，
整理可得，又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线为；
故选：A．双曲线渐近线性质的7点应用
一.焦点到渐近线的距离为
1．已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的标准方程为
C．的渐近线方程为
D．直线经过的一个焦点
3．若双曲线C：（，）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知双曲线的两条渐近线与直线分别相交于A，B两点，且线段AB的长等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二.渐近线与以两焦点为直径的圆交于
5．已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
三.直线与双曲线交点个数与渐近线斜率关系
7．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四.已知渐近线求双曲线方程
10．已知双曲线的渐近线方程是，且过点，求双曲线的方程_______.
11．求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程_______．
五.渐近线夹角问题
12．双曲线的两条渐近线的夹角为______．
13．已，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
14．设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
15．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
六.向量关系求离心率
16．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
19．已知双曲线的右顶点 右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
七.向量关系求渐近线方程
20．已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
21．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
