人教A版（2019）高中数学必修第二册 第六章_平面向量及其应用_章末小结_练习（1）（解析版）

第六章 综合检测题
选择题
1．向量（ ）
A． B． C． D．
2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】
在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是
A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
3．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
5．在中，若，，，则AC边上的高为 （ ）
A． B． C． D．
6．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
9.（多选题）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A.a·c－b·c＝(a－b)·c； B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
C.|a|－|b|<|a－b|； D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A.非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋|(x∈R)取最小值时x＝1
D.若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－.
11.（多选题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B． C．a＝ D．
12.（多选题）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（　　）
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
二、填空题
13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】
已知，，则________．
14．在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．
16．设,是两个不共线的向量, =3+4,=-2.若以,为基底表示向量+2,即+2=λ+μ,则= ，= 。
三、解答题
17．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题】
在中，．
（1）求的值；
（2）若，求以及的值．
18．在平面直角坐标系中，已知，，.
（1）的值.
（2）的余弦值.
19．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距，渔船乙以的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用追上.
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值.
20．在 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
21．已知，当为何值时，平行时它们是同向还是反向？
22．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．
（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
第六章 综合检测题答案
选择题
1．向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量.
故选：A.
2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】
在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是
A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】D
【解析】由题意，因为，，，
∴++，
∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D．
3．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
5．在中，若，，，则AC边上的高为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，,.又 .
故选B.
6．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，又，，则，故选
7．如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，
由此，，故，
解得.故选B.
8．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】因为
所以选B.
9.（多选题）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A.a·c－b·c＝(a－b)·c； B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
C.|a|－|b|<|a－b|； D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
【答案】A，C，D
【解析】根据向量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确.故正确命题的序号是A，C，D.
10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A.非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋|(x∈R)取最小值时x＝1
D.若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－.
【答案】A，B，C
【解析】A中，令＝a，＝b.以，为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确.
B中，∵(＋)·(－)＝0，∴||2＝||2，故△ABC为等腰三角形.故B正确.
C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故③正确.
D中，∵＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴·＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又当与同向共线时，m＝，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－且m≠.故D不正确.故选A，B，C.
11.（多选题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2﹣2bccosA B．＝ C．a＝ D．
【答案】A，B，C
【解析】由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：
在A中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故A正确；
在B中，由正弦定理得：，∴asinB＝bsinA，故B正确；
在C中，∵a＝，∴由余弦定理得：a＝b×+c×，
整理，得2a2＝2a2，故C正确；
在D中，由余弦定理得acosB+bcosA＝a×+b×＝+＝c≠sinC，
故D错误．故选A，B，C.
12.（多选题）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（　　）
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解析】B，C
【解析】对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝＝＝＞1，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得sinC＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝3，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sinA＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝＝＝＜1，且b＞a，
∴B有两个可能值，本选项符合题意．故选B，C．
二、填空题
13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】
已知，，则________．
【答案】
【解析】，，所以，
所以，所以.
故答案为：.
14．在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
【答案】
【解析】由得，所以
由正弦定理得，所以A=或（舍去）、
15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．
【答案】
【解析】由图及题意得 ， =
∴ =( )( )= + = = .
16．设,是两个不共线的向量, =3+4,=-2.若以,为基底表示向量+2,即+2=λ+μ,则= ，= 。
【答案】，
【解析】
，解得
三、解答题
17．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题】
在中，．
（1）求的值；
（2）若，求以及的值．
【答案】（1）；（2）7，.
【解析】（1）由余弦定理及已知得：.
（2）因为为三角形内角，
所以，，
由正弦定理得：，
又∵．
，解得（舍）．
．
18．在平面直角坐标系中，已知，，.
（1）的值.
（2）的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），所以.
（2）由（1）得，
所以，
19．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距，渔船乙以的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用追上.
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，知，，，.
在中，由余弦定理，得，解得，
所以渔船甲的速度为；
（2）在中，，，，，
由正弦定理，得，即.
20．在 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
【答案】见解析
【解析】
＝－.
因为＝，＝＝(＋)，
所以＝＋－，
＝－.
由于＝－＝－，
可知＝3，即∥.
又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线
21．已知，当为何值时，平行时它们是同向还是反向？
【答案】见解析
【解析】因为，
当时，
则，解得：
此时，
==
=．
所以反向．
22．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．
（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋
cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
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