人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量及其应用》单元测试（二）（含答案）

《平面向量及其应用》单元测试（二）
一、选择题
1.若向量分别表示两个力,则为( )
A.
B.
C.
D.
2.在Rt中,为中点,则( )
A.
B.
C.0
D.
3.如图,已知是的中线,,以为基底表示,则( )
A.
B.
C.
D.
4.,则等于( )
A.23
B.57
C.63
D.83
5.已知是不共线的向量,,若三点共线,则实数满足( )
A.
B.
C.
D.
6.若,点在外,且,设实数满足,则( )
A.
B.2
C.
D.
7.在中,角的对边分别是,已知,使得三角形有两解的条件是( )
A.
B.
C.
D.
8.如果向量的夹角为,我们就称为向量与的“向量积”,还是一个向量,它的长度为,如果,则( )
A.
B.8
C.16
D.20
9.已知向量满足,若,则的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.3
10.某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点,则下列结论不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
11.已知点与点,点在直线上,且,则点的坐标为_______.
12.已知非零向量,则的最大值为_______.
13.已知甲、乙两船同时从处出发,甲沿北偏东的方向航行,乙沿正东方向航行至处,然后沿一新航向继续航行,与甲在处相遇,此时甲航行了60海里,乙由至航行了50海里,则的大小是_______.(精确到小数点后一位)
14.如图,正方形的边长为分别为的动点,且,设,则的最大值是_______.
三、解答题
15.已知与的夹角是,计算:
(1);
(2).
16.已知点为坐标原点,为轴上一动点.
(1)若,求点的坐标;
(2)当取最小值时,求向量与的夹角的余弦值.
17.设,若存在不同时为零的实数和,使,且.
(1)试求函数表达式;
(2)求使的的取值范围.
答案解析
1.答案:C
解析:,故.
2.答案:B
解析:在Rt中,为中点,∴.
在中,利用余弦定理,得.
3.答案:B
解析:.
4.答案:D
解析:因为,,所以.
5.答案:C
解析:由三点共线,得,而,于是有,
即解得.
6.答案:C
解析:,
.①
∵且,两边同时平方,得,
∴.②
①②联立,得.
7.答案:B
解析:由正弦定理,得
.
.
要使三角形有两解,得到,且,即,
解得.
8.答案:C
解析:因为,所以.因为,所以,
所以.
9.答案:C
解析:设所成角为,
由,则.
因为,所以.
记,以所在的直线为轴,以过点垂直于的直线为轴,建立平面直角坐标系,则,,
所以,
,
所以,
表示点与点两点间的距离,
由,
,
所以,表示点与点两点间的距离,所以的最小值转化为到两点的距离和最小.
因为在直线上,关于直线的对称点为,
所以的最小值为.
10.答案:B
解析:设,
由图知,解得,
所以.
假设,则,
即,
,.
对于选项,所以,故选项A成立;
对于选项,显然的最大值为不成立,故选项B不成立;
对于选项,所以,故选项成立;
对于选项D:,,
所以,
因为,所以,即,所以,故选项D成立.
二、填空题
11.答案:
解析:在直线上,且,∴为线段中点,
又.
12.答案:13
解析:,
∴当时,有最大值为169.
∴的最大值为13.
13.答案:海里
解析:如图所示,
在中,由余弦定理得,
所以.
14.答案:
解析:建立如图所示的直角坐标系,其边长为2,,则,所以,.由,
得
解得(其中),所以.
令,则
,
当且仅当,即时取等号,
所以的最大值为.
三、解答题
15.答案:见解析
解析:(1).
(2)
.
16.答案:见解析
解析:根据题意,设点,又,得.
(1)由,即,解得或,
∴的坐标为或.
(2)由,
当时,取得最小值,此时,,
∴与夹角的余弦值为.
17.答案:见解析
解析:(1),即.
∵,
∴,
∴,
即且.
(2)由可得,,解得或,所以的取值范围是或.
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