人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量及其应用》单元测试（一）（含答案）

《平面向量及其应用》单元测试（一）
一、选择题
1.已知向量,则( )
A.
B.
C.5
D.25
2.在中,已知为上一点,若,则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知向量满足,则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
4.若某人在点测得金字塔顶端仰角为,此人往金字塔方向走了80米到达点,测得金字塔顶端的仰角为,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A.110米
B.112米
C.220米
D.224米
5.在中,角的对边分别为,且,则是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
6.已知与的夹角为,则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在矩形中,,点在对角线上,点在边上,且,则 )
A.
B.4
C.
D.
8.的内角的对边分别为,且,若边的中线等于3,则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.若是夹角为的两个单位向量,则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,直角梯形中,已知1,动点在线段上运动,且,则的最小值是( )
A.3
B.
C.4
D.
二、填空题
11.已知的面积为,且,则等于__________.
12.已知向量满足,且,则实数的值是__________.
13.已知,且与垂直,则等于__________.
14.如图,点是半径为1的半圆的直径延长线上的一点,为半圆上任意一点,以为一边作等边,则四边形的面积的最大值为__________.
三、解答题
15.中,角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
16.如图,已知正方形的边长为1,点分别是边上的动点(不与端点重合),在运动的过程中,始终保持不变,设.
(1)将的面积表示成的函数,并写出定义域;
(2)求面积的最小值.
17.已知,设.
(1)当时,求的值域;
(2)若锐角满足,且不等式恒成立,求的取值范围.
答案解析
1.答案:C
解析:,又,
∴,
∴.
2.答案:D
解析:如图所示,.
3.答案:C
解析:由可得,故,故,即,而,故.
4.答案:A
解析:如图,设为金字塔,米.设,则由已知得,解得米.从选项来看110米最接近.
5.答案:A
解析:在中,因为,所以,所以.由余弦定理,知,所以,即,所以是直角三角形.
6.答案:A
解析:根据向量模的计算公式,得,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时等号成立.
7.答案:C
解析:,
所以.
8.答案:C
解析:因为,所以,
所以,
所以,
所以.
因为,所以.
因为,所以.
取的中点,延长至点,使得是中点,连接,则四边形是平行四边形.
在三角形中,,
,
由余弦定理得,解得,
所以的面积为.
9.答案:C
解析:∵,
∴,
,
.
设向量与向量的夹角为,则
,
又.
10.答案:C
解析:设,因为,
所以,
所以,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,此时与重合,符合题意.
二、填空题
11.答案:或
解析:由题意得的面积
,解得,
因为,
所以或.
12.答案:
解析:由,得,
所以,即.
13.答案:2
解析:由已知得,
∴.
∴.
14.答案:
解析:四边形的面积的面积的面积,设,
∴,则的面积.
∵的面积,
∴四边形的面积,
故当,即时,四边形的面积最大值为.
三、解答题
15.答案:见解析
解析:(1)由及正弦定理可得
,可得.
在中,,可得,故.
(2)由(1)知,且,
根据余弦定理
,
代入可得,
所以,
所以,
当且仅当时取等号,
所以面积的最大值为.
16.答案:见解析
解析:(1)由,则.
正方形的边长为1,在Rt中,,
在Rt中,所以
由图可知,所以函数的定义域为.
(2)由,则,
,
当,即时,的面积最小,
即面积的最小值为.
17.答案:见解析
解析:(1)已知,
.
因为,所以,
所以,
故的值域为.
(2)由(1)得.
因为锐角满足,
所以,解得.
因为,即(①,
又,
所以,代入不等式①得，
,
,
,
,
,
所以.
因为在锐角中,所以
,当且仅当时.取等号
,∴,
故的取值范围为.
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