人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量及其应用》学业水平测试题（含答案）

本章学业水平测试题
（时间：90分，满分：100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 是A，B，C，D四点构成平行四边形的（ ）.
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2.下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）.
①；②；③；④；⑤.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3.对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）.
（A）
（B）在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）
（C）
（D）
4.已知，，若，则=（ ）.
（A） （B） （C） （D）
5.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，b，c，B=60°，，则△ABC一定是（ ）.
（A）底边和腰不相等的等腰三角形 （B）钝角三角形
（C）直角三角形 （D）等边三角形
6.已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（ ）.
（A）1 （B） （C）1或 （D）-1或
7.在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点.若，则=（ ）.
（A）1 （B） （C） （D）
8.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，b，c，=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是（ ）.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在对应题号的位置上.）
9.若向量，则与平行的单位向量是_______.
10.已知向量，，且，则的坐标是_______.
11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，b，c，已知，c=150，B=30°，则边长=_______.
12.△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，=1，b=2，则最大边c的取值范围是_______.
三、解答题（本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（10分）
已知向量，其中=（1，0）， =（0，1）.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值.
14.（10分）
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，用向量方法证明：四边形DEBF是平行四边形.
15.（9分）
如图，已知为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，.
（1）求两点B与C的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量.
16.（9分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，b，c，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积.
17.（9分）
位于灯塔A处正西方向相距15 n mile的B处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔A处北偏东45°有一与灯塔A相距 n mile的乙船（在C处）.求乙船前往支援B处的甲船航行的距离和方向（角度精确到1°）
18.（9分）
自重不计的轻杆AC和AB组成如图所示的支架，其中AC恰位于水平位置，.在支架A处挂重50N的物体，求悬挂重物使杆AC及杆AB受到的力的大小和方向.
参考答案
1.B.本题主要评价学生对相等向量的概念的理解程度.
2.D.本题主要评价学生对平面向量数量积的概念与运算律的理解和掌握程度.
3.C.本题主要评价学生对平面向量的共线与垂直关系的理解程度.
4.D.本题主要评价学生对向量线性运算的坐标表示的掌握程度.
5.D.本题主要评价学生应用余弦定理判断三角形形状的解题能力.
6.B.本题主要评价学生对向量共线的概念的理解程度.
7.D.本题主要评价学生对平面向量基本定理的理解程度.
8.C.本题主要评价学生应用正弦定理解三角形的能力.
9.或.本题主要评价学生对单位向量的概念的理解程度.
10. 或.本题主要评价学生对用坐标表示平面向量的垂直关系的理解程度.
11. 或.本题主要评价学生应用余弦定理和正弦定理解三角形的能力.
12. .本题主要评价学生应用余弦定理理解三角形的能力，以及利用数形结合的思想方法进行推理论证的能力.
13.（1），；（2），本题主要评价学生对平面向量的坐标表示、向量数量积等基础知识的掌握程度，以及利用数形结合的思想方法进行运算求解的能力.
14.由已知可设，则，，所以，即DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形.
本题主要评价学生对运用向量方法解决平面几何问题的能力，以及利用数形结合的思想方法进行推理论证的能力.
15.（1）
（2）由（1）知.设向量和的夹角为，是与方向相同的单位向量，则，即向量在向量上的投影向量是.
本题主要评价学生对点的坐标与平面向量坐标间的关系，坐标表示的平面向量数量积，平面向量投影的概念的理解程度，以及借助图形直观综合运用平面向量知识的求解能力.
16.（1），因为，所以.由正弦定理，得 ，又，从而.因为，所以A=.
（2）由余弦定理，得，而，得，即.因为，所以，故△ABC的面积.
本题主要评价学生对正弦定理、余弦定理、已知三角函数值求角等知识与方法的掌握程度，以及利用化归与转化的思想方法进行运算求解的能力.
17.根据题意，画出示意图如图.由余弦定理，得425.于是（n mile）.
由正弦定理，得，所以.
因为，所以.故乙船航行的距离为 n mile，方向约为南偏西.
本题主要评价学生在相关的情境中构建三角形，运用余弦定理和正弦定理解决简单实际问题的能力，以及利用数形结合的思想方法进行数学建模的能力.
18.如图，将重物施加于点A的拉力向平行于及的两个方向分解.将重力分解得平行四边形AFEG（点G在BC上，点F在AC上），则即为重物使杆AC
及AB所受到的力.
在Rt△AEG中，，，所以（N），100（N）.因为，所以（N）.
因此，重物作用于杆AC的力的大小为 N，方向与的方向相反，重物作用于杆AB的力的大小为100N，方向与的方向相同.
本题主要评价学生利用向量知识解决简单的物理问题的能力，以及利用数形结合的思想方法进行数学建模和数学运算的能力.
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