4.4对数函数 重难点突破分类专练（含答案）

高一对数函数重难点突破
考点一、对数计算
1．已知，，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
2．已知，且，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．18
3．计算：的值为_________.
4．设函数，（ ）
A．5 B．6 C．8 D．35
5．已知实数满足：，则________．
6．计算：______．
7．已知，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
8．______．
考点二、对数函数的图像与性质
9．已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
10．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
11．函数的图像是（ ）
A．B．C． D．
12．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
13．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
考点三、对数函数的定义域和值域
14．函数的定义域为______．
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　）
A．（-，2] B．（-，2）
C．[2，+） D．（2，+）
17．求函数，的值域.
18．已知函数=．
(1)判断的奇偶性；
(2)求在的值域．
19．（多选题）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为（－1，4） B．最大值为2
C．最小值为－2 D．单调递增区间为
20．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)当时，求该函数的值域；
(3)若对于任意恒成立，求的取值范围.
21．已知函数，若函数最小值为，求实数的值.
22．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
24．函数的值域是________.
考点四、对数函数的单调性
25．若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
26．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
29．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
30．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
31．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
32．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
33．函数在单调递增，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
34．已知，，，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
考点五、对数函数的奇偶和单调综合应用
35．设是定义域为R上的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
36．下列四个函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
38．已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
39．（多选题）已知函数，函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
40．（多选题）已知函数，则（ ）
A．当时，的单调递减区间为
B．当时，的单调递减区间为
C．当时，的值域为R
D．当时，的值域为
41．对于函数定义域中任意的，有如下结论：
①；
②；
③；
④
当时，上述结论中正确结论的序号是________．
42．设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．
43．已知函数（，且）.
(1)当时，求的单调性.
(2)是否存在实数，使得在上取得最大值2 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
44．已知函数，．
(1)解不等式；
(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围．
45．已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
参考答案：
1．D
【分析】将转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可.
【详解】由得，即，
故选：D.
2．D
【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.
【详解】由得：，
由换底公式可得：，
则，
所以，
因为，
所以
故选：D
3．
【分析】根据对数运算性质和指数运算性质化简即可.
【详解】因为，，，，
所以；
故答案为：.
4．B
【分析】根据自变量的范围选不同的解析式求值.
【详解】，，
所以．
故选：B．
5．
【分析】由已知指数式化为对数式求出的值，再由对数的运算性质求出.
【详解】因为，所以，
则．
故答案为：,
6．
【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得.
【详解】解：
．
故答案为：．
7．B
【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算，可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为，则，所以，，
解得.
故选：B.
8．
【分析】根据对数运算性质化简即可.
【详解】
=.
故答案为：.
9．1
【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案.
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
10．B
【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，
故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
11．A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
12．B
【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.
【详解】因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
13．B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
14．
【分析】根据根号下大于等于0，再跟对数型函数特点得到，解出分式不等式即可.
【详解】由题意得，则，即，即，则，
，所以定义域为，
故答案为：.
15．D
【分析】根据复合函数定义域和偶次根式有意义的基本要求，结合对数函数单调性可求得定义域.
【详解】由题意得：，解得：，即的定义域为.
故选：D.
16．A
【分析】根据函数f（x）的定义域，得到函数f（x）在上的单调性，进而求得其值域求解.
【详解】解：因为函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，
所以函数f（x）=m+log2x2，且函数f（x）在上递增，
所以函数f（x）的值域为，
因为f（x）≤4，
所以，解得，
故选：A
17．
【分析】应用对数运算性质化简为，利用换元法及二次函数的性质求值域.
【详解】.
设，且，故，
则且，图象的对称轴为，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，，当时，.
∴的值城为.
18．(1)奇函数
(2)
【分析】（1）由奇偶性的定义判断
（2）由对数函数性质求解
(1)
，则，的定义域为，
，故是奇函数
(2)
，当时，，
故，
即在的值域为
19．ACD
【分析】令，解不等式可判断A；在定义域内求出的值域，可求出的值域可判断B，C；根据复合函数的单调性可判断D.
【详解】令，得，
即函数的定义域为，故A正确；
∵，∴，
∴，故B错误，C正确；
令，则其在，上单调递增，在上单调递减，
又在（0，＋∞）上单调递减，
由复合函数的单调性得的单调递增区间为，
故D正确．
故选：ACD．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先解关于的二次不等式，再解关于x的对数不等式即可；
（2）将换元后，求二次函数值域即可；
（3）分离变量后求换元之后的新函数最大值即可.
（1）
；
由,
即,
计算可得或,
或
故解集为：.
（2）
,
令,则
,
当时,有最小值,
当时,有最大值5；
所以值域为.
（3）
令,则,
原式可化为在上恒成立.
记函数在上单调递增,
,
故的取值范围是.
21．
【分析】先求出的定义域，然后利用对数运算和二次函数的性质得到，即可求解
【详解】要使有意义，
需，解得,
,
，
当时，，即，
22．C
【分析】由抽象函数定义域和对数型复合函数定义域的求法可构造不等式求得结果.
【详解】的定义域为，，又，，
的定义域为.
故选：C.
23．A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
24．
【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可
【详解】令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
25．B
【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数的定义域，利用复合函数单调性求解作答.
【详解】且，函数与在R上有相同的单调性，即函数与函数在R上有相同的单调性，
因此函数在R上单调递增，，在中，，解得或，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B
26．A
【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.
【详解】，解得，
所以的定义域为，
的开口向下，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.
故选：A
27．A
【分析】利用函数是增函数，所以有二次函数的对称轴大于等于1，对数函数底数大于1，函数的最小值大于的最大值.列方程解不等式即可.
【详解】因为在上单调递增，所以 解得．
28．C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
29．D
【分析】分别判断出的范围即可.
【详解】因为，，，所以．
故选：D
30．D
【分析】根据对数函数的单调性以及指数幂的性质即可求解.
【详解】由于对数函数单调递增，且，故，∴，∵，，∴．
故选：D
31．D
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.
【详解】由对数的定义可知：或，
二次函数的对称轴为，所以该二次函数的单调递增区间为，
所以的单调递增区间是，
故选：D
32．D
【分析】根据对数函数与指数函数单调性即可得到大小关系.
【详解】为上单调递增函数,则,
为上单调递减函数,则,且,
由为上单调递增函数,可得,
则,
故选：D.
33．D
【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域得到不等式组，求出a的取值范围.
【详解】在上为增函数，
故要想在单调递增，
所以在上单调递增，且在恒成立，
故且，
解得：，
故选：D
34．B
【分析】根据“分段法”求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B
35．B
【分析】由偶函数性质得，由对数函数与指数函数性质比较，，的大小，再由单调性得大小关系．
【详解】∵是R上的偶函数，∴.
∵，，∴，又在单调递增，
∴，∴，
故选：B.
36．D
【分析】对A选项，由二次函数即可判断，对B选项，通过举反例即可证明其不是偶函数，对C选项由反比例函数即可判断，对D选项，证明其为偶函数，再根据对数函数图像得到其在上是增函数.
【详解】对A选项，其开口向下，对称轴为，故其在单调递减，故A错误；
对B选项，，所以，或证明，故其不是偶函数，故B错误，
对C选项，根据反比例函数图像，其在上单调递减，故C错误，
对D选项，其定义域为，故其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，当时，，根据对数函数图像，则其在上是增函数，故D正确，
故选：D.
37．C
【分析】先化简题目中的不等式，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可
【详解】由结合函数是上的增函数，可得，
由结合函数是上的减函数，可得，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：C
38．A
【分析】先化简，然后比较的大小，再利用函数的单调性可求得结果.
【详解】因为为奇函数，
所以，
因为在上递增，且，
所以，
因为在上递增，且，
所以，
所以，
因为在上是减函数，
所以，
所以，
故选：A
39．ABD
【分析】先根据函数的奇偶性定义判断出，均为奇函数，再根据函数的奇偶性定义判断四个选项中函数的奇偶性.
【详解】因为的定义域为R，且，
故为奇函数，
由，解得：，故的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
因为的定义域为，且，
所以为偶函数，A正确；
因为的定义域为，且，
故为奇函数，B正确，C错误，
的定义域为，且，
故为偶函数，D正确.
故选：ABD
40．BC
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断.
【详解】令，解得或，
故的定义域为
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知：
当时，的单调递减区间为，的值域为R；
当时，的单调递减区间为，的值域为R．
故选：BC．
41．②③
【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确，②正确，根据对数函数的单调性得到③正确，代入计算结合均值不等式得到④不正确，得到答案.
【详解】，，则①不正确；
，，故②正确；
在上单调递增，则当时，，则 ，同理时成立，故③正确；
，，，
则 ，故④不成立.
故答案为：②③
42．
【分析】利用奇函数得到，然后结合题意的解析式即可求解
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
因为当时，，
所以，
故答案为：
43．(1)在上单调递增，上单调递减
(2)存在，的值为或.
【分析】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，
（2）令，则由，得的值域为，然后分，求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出的值.
【详解】（1）由题意可得解得，即的定义域为.
当时，.
令（），则，
对称轴为，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为在定义域内递增，
所以在上单调递增，上单调递减.
（2），
令，
因为，
所以的值域为.
当时，在上的最大值是，
则，即，解得；
当时，在上的最大值是，
则，即，解得.
综上，的值为或.
44．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件可求出题干中参数的值，进行对数加法运算后直接根据对数函数的增减性解不等式即可；（2）分离参数，求新函数的最值从而确定实数m的取值范围
【详解】（1）由题得：，∵，
∴，
由或
所以原不等式的解集为．
（2）由得：，令，，所以
∴，当且仅当 时等号成立，∴．
45．(1)
(2)①；②的值为或5
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
（2）解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：的值为或5