湘潭市重点中学 2022 年下学期期中考试卷
高三数学
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：（本大题共 8小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的）
1、已知全集 = {1,2,3,4,5,6}，集合 = {2,3,5}，集合 = {1,3,4,6}，则集合 ∩ =( )
A. {3} B. {2,5} C. {1,4,6} D. {2,3,5}
1+2i
2、已知 i为虚数单位，则 2+i在复平面上对应的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
3、在等差数列{ }中，若 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 80，则 7 2 8的值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4、已知向量 = (1,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则|2 + | =( )
A. 3 2 B. 4 C. 5 D. 4 2
5、某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相
关关系，已知小孙的工作时间 (单位：小时)与工资 (单位：元)之间的关系如下表：
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
若 与 的线性回归方程为 = 6.5 + ，预测当工作时间为 9小时时，工资大约为 ( )
A. 75元 B. 76元 C. 77元 D. 78元
6、若 sin + cos = 15，0 < < ，则 sin 2 + cos 2 =( )
A. 1725 B.
17
25 C.
31 31
25 D. 25
7、如图，平面 ABCD 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是矩形， 是 的中点， = 1，
= 2，则三棱锥C ABG 外接球的表面积是( )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
8、已知函数 = 2ln , ( 1e ≤ ≤ e)的图象上存在点 ，函数 =
2 + 1 的图象上存在点 ，且 ， 关
于 轴对称，则 的取值范围是 ( )
1
A. 1 e2, 2 B. 3 1e2 , + ∞ C. 3
1 , 2 D. 1 e2, 3 1e2 e2
二、多选题（本题共 4小题，每题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9、以下关于函数 = sin2 + 3cos2 的命题，正确的是 ( )
A. 函数 = 的最小正周期为
B. 点( 12 , 0)是函数 = 图象的一个对称中心
C. 直线 = 3是函数 = 图象的一条对称轴
D. 将函数 = 的图象向右平移6个单位后得到的函数的图象关于原点对称．
10、已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 ( 0, 0)在抛物线 上，若| | = 4，则 ( )
A. 0 = 3 B. 0 = 2 3 C. | | = 21 D. 的坐标为(0,1)
11、已知函数 ( ) = sin cos ，若 ( )是 ( )的导函数，则下列结论中正确的是 ( )
A. 函数 ( )的值域与 ( )的值域相同
B. 若 0是函数 ( )的极大值点，则 0是函数 ( )的极小值点
C. 把函数 ( ) 的图象向右平移2个单位，就可以得到函数 ( )的图象
D. 函数 ( )和 ( ) 在区间( 4 , 4 )上都是增函数
12、在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 为正方形 A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是 ( )
A. BO AC B. BO //平面 ACD1
C.点 到平面 ACD 3
1的距离为 D.直线 与直线 AD1的夹角为
3 3
三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13、(1 + )7展开式中 3的系数为______．
14、如图，直线 是曲线 = ( )在 = 5 处的切线，则 (5) + '(5) = ．
15、已知 ( , )为圆 : 2 + 2 2 4 + 4 = 0 1上任意一点，则 +1的
最大值为________．
2 2
16、已知椭圆
2 + 2 = 1( > > 0)与抛物线
2 = 4 ( > 0)有相同的焦点 ，
点 是两曲线的一个公共点，且 ⊥ 轴，则椭圆的离心率是 ．
2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、(本小题 10分) 已知数列{ }满足 +11 = 2， +1 = 2 + 2 ．
(1) { 证明数列 2 }为等差数列；
(2)设 = 1 1 1 2 ，证明： + + + < 1．1 2 2 3 +1
18、(本小题 12分) 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 sin = cos( 6 ).
(1)求角 ;
(2)若 = 4，求△ 周长的最大值．
19、(本小题 12分) 2022年 8月 7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度
出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区 100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布
直方图．
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；(同一组数据用该区间的
中点值作代表)
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间 20,60 的概率；
(3)以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好
者中任选３人，求３人中年龄在 30 岁以下的人数Ｘ的分布列
和期望．
3
20、(本小题 12分) 如图，四棱锥 中，底面 是矩形，PD DC 1, PC BC 2 .
为BC上的点，且 ⊥ 平面 ； P
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 A PM B 的正弦值．
D C
M
A B
2 2
21、(本小题 12分) 已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点 (4,0)到渐近线的距离为 2 3．
(1)求双曲线 的方程．
(2)过点 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得点 到直线 ， 的距
离相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22、(本小题 12分) 已知函数 ( ) = + 2 2 4 ( ∈ )．
(1)若 = 2 是 ( )的极值点，求 ( )的单调区间；
(2)求 ( ) = ( ) 在区间[1, ]上的最小值 ( )．
4湘潭市重点中学 2022 年下学期期中考试
高三数学参考答案及解析
时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题（每题 5分，共 40分）
1、已知全集 = {1,2,3,4,5,6}，集合 = {2,3,5}，集合 = {1,3,4,6}，则集合 ∩ =( )
A. {3} B. {2,5} C. {1,4,6} D. {2,3,5}
【答案】B
【分析】
根据补集以及交集的定义求解即可．
【解答】
解： = 2,5 , ∩ = 2,5
故选 B．
2 i 1+2i、已知 为虚数单位，则 2+i在复平面上对应的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
【解答】
∵ 1+2i == 1+2 2 4 3解： 2+i 2+ 2 = 5+ 5 ，
∴ 1+2i 4 32+i在复平面上对应的点的坐标为( 5 , 5 )，位于第一象限．
故选： ．
3、在等差数列{ }中，若 2 + 4 + 6 +
1
8 + 10 = 80，则 7 2 8的值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
先根据题意，运用等差数列的性质得到 6 = 16，再通过等差数列的性质化简所求，代入计算，即可得到答案．
【解答】
解：由 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 6 = 80，
∴ 6 = 16，
∴ 1 1 1 17 2 8 = 2 (2 7 8) = 2 ( 6 + 8 8) = 2 6 = 8．
故选 C．
4、已知向量 = (1,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则|2 + | =．( )
A. 3 2 B. 4 C. 5 D. 4 2
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用向量垂直的性质得 = 1，再由平面向量坐标运算法则求出 2 + ，由此能求出|2 + |.
【解答】
解：∵向量 = (1,2)， = (2, )， ⊥ ，∴ = 2 + 2 = 0，解得 = 1，
∴ 2 + = (4,3)，∴ |2 + | = 16 + 9 = 5．
故选： ．
5、某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，
已知小孙的工作时间 (单位：小时)与工资 (单位：元)之间的关系如下表：
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
若 与 的线性回归方程为 = 6.5 + ，预测当工作时间为 9小时时，工资大约为 ( )
A. 75元 B. 76元 C. 77元 D. 78元
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程及其应用，属于基础题．
先求出 ，再求预测值即可．
【解答】
2+4+5+6+8
解：由题意，得 = 5 = 5, =
30+40+50+60+70
5 = 50，
将样本中心点 5,50 代入 = 6.5 + ，
则 50 = 6.5 × 5 + = 17.5，
故性回归方程为 = 6.5 + 17.5，
当 = 9 时， = 76元，
故选 B．
6、若 sin + cos = 15，0 < < ，则 sin 2 + cos 2 =( )
A. 17 B. 17 C. 3125 25 25 D.
31
25
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用，是中档题．
利用同角三角函数的基本关系求得 sin2 、sin 和 cos 的值，再利用二倍角公式求值即可．
【解答】
解：因为 sin + cos = 15，0 < < ，
∴两边平方得 1 + 2sin cos = 125，
∴ 2sin cos = sin2 = 2425，
∴ 为钝角，
所以 sin cos = 1 2sin cos = 75，
∴ sin = 4 cos = 35， 5，
则 cos2 = 2cos2 1 = 725，
则 sin2 + cos2 = 2425 + (
7 31
25 ) = 25．
故本题选 D．
7、如图，平面 ABCD 平面 ABEF，四边形 ABCD是正方形，四边形 ABEF是矩形，
G是 EF的中点，AF=1，AB=2，则三棱锥C ABG外接球的表面积是( )
A. 6
C. 8
B. 10
D. 12
7.【答案】B
解：因为平面 ABCD 平面 ABEF，四边形 ABCD是正方形，四边形 ABEF是矩形，
所以 BC 平面 ABG，
因为 AF=FG=1, AG BG 2， AB 2，所以 ABG为直角三角形，
所以球心 O在过 AB的中点且与 BC平行的直线上，
又因为 OA=OB=OC，
所以点 O为 AC的中点，所以R OB 2，
所以外接球的表面积是 4 ( 2)2 8 . 故选 B
8、已知函数 = 2ln , ( 1e ≤ ≤ e)的图象上存在点 ，函数 =
2 + 1的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，
则 的取值范围是 ( )
A. 1 e2, 2 B. 3 1e2 , + ∞
C. 3 1e2 , 2 D. 1 e
2, 3 1e2
【答案】:A
8.解：因为函数 = 2 + 1与函数 = 2 1的图象关于 轴对称，
根据已知得函数 = 2ln , ( 1e ≤ ≤ e)的图象与函数 =
2 1的图象有交点，
即方程 2ln = 2 1在 ∈ 1e , e 上有解，
即 = 2ln 2 1在 ∈ 1e , e 上有解．
令 = 2ln 2 1， ∈ 1e , e ，
则 ' = 2 2 = 2 2
2
= 2 1
2
，
1
可知 在 e , 1 上单调递增，在 1, e 上单调递减，
故当 = 1 时， max = 1 = 2，
1由于 e = 3
1 2 1
e2， e = 1 e ，且 3 e2 > 1 e
2，
所以 1 e2 ≤ ≤ 2．
二、多选题（每题 5分，共 20分）
9、以下关于函数 = sin2 + 3cos2 的命题，正确的是 ( )
A. 函数 = 的最小正周期为
B. ( 点 12 , 0)是函数 = 图象的一个对称中心
C. 直线 = 3是函数 = 图象的一条对称轴
D. = 将函数 的图象向右平移6个单位后得到的函数的图象关于原点对称．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象的对称性，单调性以及图象变换，是基本知识的考查，属于基础题．
根据周期性可得 A正确；根据对称中心和对称轴的性质，可判断 、C错误；利用诱导公式和平移法则可得 D正确．
【解答】
解：因为函数 = sin2 + 3cos2 = 2sin (2 + 3 )的最小正周期为 ，故 A正确；
( 12 ) = 2 (2 ×
12 + 3 ) = 2
2 = 2 ≠ 0，故 B错；
当 = 3时， ( ) = 2 (2 × 3 + 3 ) = 2 = 0 ≠± 2，
所以 = 3不是函数 ( )的图象的对称轴方程，故 C错；
将函数 = 的图象向右平移6个单位后得到的函数 = 2 [2(
6 ) +
3 ] = 2 2 ，
满足 2sin 2 = 2sin2 ，故函数的图象关于原点对称，故 D正确．
故答案为： ．
10、已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 ( 0, 0)在抛物线 上，若| | = 4，则 ( )
A. 0 = 3 B. 0 = 2 3 C. | | = 21 D. 的坐标为(0,1)
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义，属于基础题．
根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：抛物线 ： 2 = 4 ，
所以 = 2，
所以抛物线的焦点坐标为 (1,0)，所以 不正确；
点 ( 0, 0)在抛物线 上，
所以 0 + 2 = 0 + 1 = 4，所以 0 = 3，所以 A正确；
将 0 = 3 代入抛物线方程，可得 0 =± 2 3，所以 不正确；
| | = 32 + ( ± 2 3)2 = 21，所以 C正确．
故选 AC．
11、已知函数 ( ) = sin cos ，若 ( )是 ( )的导函数，则下列结论中正确的是 ( )
A. 函数 ( )的值域与 ( )的值域相同
B. 若 0是函数 ( )的极大值点，则 0是函数 ( )的极小值点
C. 把函数 ( ) 的图象向右平移2个单位，就可以得到函数 ( )的图象
D. 函数 ( ) 和 ( )在区间( 4 , 4 )上都是增函数
11【答案】AD
11.解： ( ) = = 2 ( 4 )，
( ) = '( ) = + = 2 ( + 4 )．
A. 与 的值域均为 2, 2 ，故 A正确；
B.若 0是函数 的极大值点，则 ' 0 = 0，即 0 = 0，
即 0是函数 的零点，故 B错误；
C. 函数 的图象向右平移2个单位，得
( 2 ) = 2 (
) = 2 ( 3 2 4 4 ) ≠ ( )，
故 C错误；
D. 当 ∈ ( 4 , 4 )时， 4 ∈ ( 2 , 0)， 单调递增；
当 ∈ ( 4 ,
4 )
时， + 4 ∈ (0, 2 )， 单调递增，
故 D正确．
故选 AD．
12、在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O为正方形 A1B1C1D1的中心，则下列结论正确
的是( )
A. BO AC
B. BO //平面 ACD1
C. 点 B到平面 ACD 31的距离为 3
D. 直线 BO与直线 AD1的夹角为 3
12.【答案】ABC
解：如图，连接 A1C1， B1D1，则 A1C1 B1D1 O ，
连接 BD，交 AC于 G，连接D1G，则 BG //OD1，且则 BG OD1，
可得四边形 BOD1G为平行四边形，则 BO // D1G，
AD1 CD1，G为 AC的中点， D1G AC，可得 BO AC，故 A正确；
由上可知， BO // D1G，D1G 平面 ACD1， BO 平面 ACD1，
BO //平面 ACD1，故 B正确；
DG BG， 点 B、D到平面 ACD1的距离相等，
V 1 1 1D ADC 1 1 1 ， S
1
AD C 2 2
3 3
，
1 3 2 6 1 2 2 2
1 3 1 3
设 D到平面 ACD1的距离为 h，则 h ，得 h ，3 2 6 3
故 C正确；
直线直线 BO与直线 AD 的夹角等于 ，故 D错误．故选：ADG ABC.1 1 6
三、填空题（第题 5分，共 20分）
13、(1 + )7展开式中 3的系数为______．
【答案】
35
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
利用二项式定理得出(1 + )7的通项，令 = 3 得 3的系数，由此即可解题，本题搞清楚展开式中 3项的来历是解题
关键．
【解答】
解：因为二项式(1 + )7的通项为 = +1 7 ，
令 = 3，
则 3的系数为 37 = 35
故答案为 35．
14、如图，直线 是曲线 = ( )在 = 5 处的切线，则 (5) + '(5) = ．
14.【答案】7
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
根据导数的几何意义， '(5)是曲线在(5,5)处的切线斜率，结合 (5) = 5，即可得解.
【解答】
5 ( 5)
解：由题意， '(5) = 5 0 = 2，
(5) = 5，
所以 (5) + '(5) = 7；
故答案为 7．
15 1、已知 ( , )为圆 : 2 + 2 2 4 + 4 = 0 上任意一点，则 +1的最大值为________．
4
【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率，考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的位置关系，属于中档题．
1
+1代表圆上的点 ( , )与点 ( 1,1)
1
连线的斜率，画出图形结合图象可知当直线 与圆相切时， +1取得最值，求
解即可．
【解答】
解：圆 : 2 + 2 2 4 + 4 = 0 的圆心坐标为 (1,2)，半径 = 1，
1
+1代表圆上的点 ( , )与点 ( 1,1)连线的斜率 ，
1
如图：结合图象可知当直线 与圆相切时， +1取得最值，此时直线 斜率存在，
设直线 ： 1 = ( + 1)，即 + + 1 = 0，
2+ +1
由 = = 1 4，解得 = 0 或 ．
+1 3
4 1 4结合图象可知： 的最大值为3，即 +1有最大值是3．
4
故答案为3．
2
16 +
2
、已知椭圆 2 2 = 1( > > 0)与抛物线
2 = 4 ( > 0)有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个公共点，且 ⊥
轴，则椭圆的离心率是 ．
【答案】 2 1
【解析】
【分析】
本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的焦点与抛物线的焦点，属于一般题．
【解答】
依题意，抛物线 2
2 2
= 4 ( > 0)的焦点 ( , 0) 也是椭圆 + = 1( > > 0)的焦点，所以 2 = 2 + 22 2 .因为点
是两曲线的一个公共点，且 ⊥ 轴，所以点 的横坐标为 ，代入抛物线方程得 ( , 2 )或 ( , 2 )，将其代入椭
2 4 2 2 2
圆 方 程 得 + = 1 ， 又 2 2 2
4 2 2
2 2 = + ， 所 以 2 + = 2 2 = 1. 又 椭 圆 的 离 心 率 ， = 2 ， 所 以
4 2
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2
2 + 2 2 = 2 + 2 = +1 1 2
= 1，解得 = 3 ± 2 2.因为椭圆离心率的取值范围为(0,1)，所以 = 3 2 2 =
2
( 2 1)2，即 = 2 1．
四、解答题（共 70分，请写出必要的文字说明和解答步骤）
17、(本小题 10分) 已知数列{ }满足 1 = 2， +1 +1 = 2 + 2 ．
(1)证明数列{ 2 }为等差数列；
1 1 1
(2) 设 = 2 ，证明： + + + < 1．1 2 2 3 +1
【答案】证明：(1)根据题意， 1 = 2， +1 = 2 + 2 +1，
在等式左右两边同时除以2 +1得， +1 = + 1 +12 +1 2 2 +1 2 = 1，
{ 由此可得，数列 2 }是首项为
1
2 = 1，公差为 1的等差数列．
(2) 由(1)可得， = 2 = 1 + ( 1) = ．
∴ 1 = 1 1 1 +1 ( +1)
= +1，
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + …… + = (1 ) + ( ) + ( ) + …… + (1 2 2 3 +1 2 2 3 3 4
+1 ) = 1 +1 < 1．
从而得证．
【解析】(1)根据递推关系式，使用构造法结合等差数列的定义，进行验证；(2)使用裂项相消法求解前 项和，然后
判定最后结果．
本题考查等差数列的性质和证明，以及裂项相消法在数列求和中的使用，属于基础题．
18、(本小题 12分) 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 sin = cos( 6 ).
(1)求角 ;
(2)若 = 4，求△ 周长的最大值．
【答案】解：(1)由题意， = ( 6 ) = (
3
2 +
1
2 )，
由正弦定理，sin sin = sin ( 3 cos + 1 sin )，由 ∈ (0, )，即 sin ≠ 0，2 2
所以 sin = 32 cos +
1
2 sin ，
从而1
2 sin =
3
2 cos ，解得 tan = 3，又 ∈ (0, )，
所以 = 3 ;
(2)由余弦定理1 = cos =
2+ 2 2，从而 2 + 2 16 = ，
2 2
即( + )2 = 16 + 3 16 + 34 ( + )
2，且 4 < + ，
解得 4 < + 8，当且仅当 = = 4时取最大值，
此时△ 周长取最大值 + + = 12．
【解析】本题考查余弦两角差公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．
(1) 通过余弦两角差公式和正弦定理化简等式 sin = cos( 6 )，可以求出 的大小；
(2)利用余弦定理表示出 ， 之间的关系，利用基本不等式求出 + 的最大值，进而得到周长的最大值．
19、(本小题 12分) 2022年 8月 7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，
学校社会实践小组随机调查了该地区 100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图．
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间 20,60 的概率；
(3) 以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选３人，求３人中年龄在 30 岁以下的人数Ｘ
的分布列和期望．
【答案】
解：(1)估计奶茶爱好者的平均年龄 = 5 × 0.016 + 15 × 0.036 + 25 × 0.028 + 35 × 0.010 + 45 × 0.008 + 55 ×
0.002 × 10 = 21.4(岁)
(2)由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间 20,60 的频率为 10 × 0.028 + 10 × 0.010 + 10 × 0.008 + 10 × 0.002 =
0.48，
用频率估计概率，
故奶茶爱好者年龄位于区间 20,60 的概率为 0.48．
(3) ４年龄在 30岁以下的概率为
５
Ｘ的取值为０，１，２，３
= 0 = ( 1 )3 = 1
5 125
4 1 12
= 1 = 1( )1( )23 =5 5 125
2 4 2 1 48 = 2 = 3( ) ( )1 =5 5 125
4 64
= 3 = ( )3 =5 125
Ｘ的分布列为
Ｘ ０ １ ２ ３
1 12 48 64
Ｐ
125 125 125 125
4 12
= 3 × =
5 5
【解析】本题考查频率直方图的应用，考查条件概率求法，属基础题．
(1)根据频率分布直方图计算平均数即可；
(2)根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间 20,60 的频率即可求解；
20、(本小题 12分) 如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PD DC 1, PC BC 2 .
为BC上的点，且 ⊥ 平面 ； P
(1) 求证：PD 平面 ABCD；
(2) 求二面角 A PM B的正弦值．
D C
M
A B
20.【答案】 P
解：（题目做了调整，第（２）问只给中间数据和答案）
D C
(2)
平面 PMB的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 A PM B的正弦值为
2 2
21、(本小题 12分) 已知双曲线 ：
2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点 (4,0)到渐近线的距离为 2 3．
(1)求双曲线 的方程．
(2)过点 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得点 到直线 ， 的距离相等？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)由题可知 2 + 2 = 16，
又 + = 0 是双曲线 的一条渐近线，
4
所以 = 2 32 ，解得 ， + 2 = 2 3
所以 = 16 2 = 2，
2 2
所以双曲线 的标准方程为 4 12 = 1．
(2)假设存在 ( , 0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4,
设直线 : = + 4( ≠ 0)，则 2 2 得(3 2 1) 2 + 24 + 36 = 0，
4 12 = 1,
3 2 1 ≠ 0,
= (24 )2 4 × 36(3 2 1) > 0,
则 24 1 + 2 = 3 2 1
361 2 = 3 2 1
因为使得点 到直线 ， 的距离相等，所以 是∠ 的角平分线，
则 + = 0，
1 2
即 1
+ = 0， 2 1( 2 + 4 ) + 2( 1 + 4 ) = 0，
2 1 2 + (4 )( 1 + 2) = 0，
2 36 (4 )×24 3 2 1 3 2 1 = 0，
即 3 (4 ) = 0，因为 ≠ 0，所以 = 1，
故存在 (1,0)．
【解析】本题考查双曲线的概念和标准方程、直线和双曲线的概念和标准方程
(1)由题可知 2 + 2 = 16，再结合双曲线的渐近线方程求出 ， ，即可求解；
(2)假设存在 ( , 0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，设直线 : = + 4( ≠ 0)，结合点 到直线 ， 的距离相等，
所以 是∠ 的角平分线，则 + = 0，进行求解即可；
22、(本小题 12分) 已知函数 ( ) = + 2 2 4 ( ∈ )．
(1)若 = 2 是 ( )的极值点，求 ( )的单调区间；
(2)求 ( ) = ( ) 在区间[1, ]上的最小值 ( )．
【答案】
解：(1) 的定义域为(0, + ∞)，
2
'( ) = + 4 4 = 4 4 + ．
因为 = 2 是 的极值点，
所以 '(2) = 16 8+ 2 = 0，解得 = 8，
2
所以 '( ) = 4 4 8 = 4( 2)( +1)，
当 > 2 时， '( ) > 0；当 0 < < 2 时， '( ) < 0，
所以 的单调递减区间为 0,2 ，单调递增区间为(2, + ∞)．
(2) ( ) = ln + 2 2 4 ，
则 '( ) = + 4 4 = (4 )( 1) ，
令 '( ) = 0，得 = 4或 = 1．
①当4 ≤ 1，即 ≤ 4时， 在 1, 上为增函数， = 1 = 2；
1 < ②当 4 < ，即 4 < < 4 时， 在 1,
上单调递减，在( 4 , ]4 上单调递增，
所以 ( ) = = ln 1 24 4 8 ；
③当4 ≥ ，即 4 时， 在[1, ]上为减函数，
所以 ( ) = ( ) = (1 ) + 2 2 4 ．
2, 4
1
综上所述， ( ) = ln 24 8 , 4 < < 4 ．
(1 ) + 2 2 4 , 4
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
(1)由于 = 2 是函数 ( )的一个极值点，可得 '(2) = 0，解出 并验证即可求解单调区间；
(2)求出函数 ( )的导数，通过讨论 的范围，得到函数 ( )的单调性，求出 ( )的解析式即可．
