北师大版八年级数学上册 7.5 三角形内角和定理（1） 教学课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1. 证明三角形内角和定理，掌握它的两个推论，并能运用这些定理解决简单的问题.
2.经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力.
3.在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力.
复习回顾
三角形的内角和等于_______.
A
B
C
180°
以前我们都用什么方法探索过这个结论呢？
度量
66°
50°
64°
锐角三角形
50°+64°+66°=180°
度量
26°
118°
36°
26°+118°+36°=180°
钝角三角形
度量
19°
71°
19°+71°=90°
直角三角形
剪拼
A
B
C
2
1
折叠
A
B
C
1
2
3
探究一：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了几个三角形的内角和等于180°，但这些三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
根据前面给出的基本事实和定理去证明
新课探究
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
C
B
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA（如下图），这就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
A
C
B
D
E
1
2
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证明：延长BC到D,过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠2=∠B (两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ，
∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°.
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？
A
C
B
D
E
1
2
例1.如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
解：
在△ABC中，
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）.
∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
A
B
D
C
A
C
B
1
D
A
C
B
1
D
探究二：观察∠1在各图形中的位置，它们有什么共同特征？
B
C
A
1
D
1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
2. ∠ 1和三角形共用一条边;
3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线.
外角的定义
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如右图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.
∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？
A
C
B
1
D
4
3
2
A
C
B
1
D
4
3
2
分析：
如图，∠1+∠4=180°（平角的定义），
∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），
∠1= ∠2+∠3（等量代换）.
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
因为∠2＞0，∠3＞0，则∠1＞∠3，∠1＞∠2，
即可得到如下结论：
所以得到下面结论：
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论的概念
在上面，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
例2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.
分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
E
B
A
C
D
证明：
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠C=∠EAC（等式的性质）.
∵ AD平分∠EAC（已知），
∴ ∠DAC=∠C（等量代换）.
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行）.
E
B
A
C
D
∴ ∠DAC= ∠EAC （角平分线的定义）.
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
外角个数的探究
1.一个三角形有六个外角；
2.每一个顶点相对应的外角都有两个.
3.每一个顶点处的两个外角大小相等
例3. 如图，∠4,∠5,∠6是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
6
5
4
3
2
C
A
B
1
解：解法1：
∵ ∠4 =∠2 +∠3，
∠5 =∠1 +∠3，
∠6 =∠1 +∠2，
∴ ∠4 +∠5 +∠6
=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠1+∠2)
= 2(∠1+∠2+∠3) = 2×180°=360°.
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
6
5
4
3
2
C
A
B
1
解法2：
∵∠4+∠1=180°，
∠5+∠2=180°，
∠6+∠3=180°，
∴∠4 +∠5 +∠6 + ∠1+∠2 +∠3 = 540°．
∵∠1 + ∠2 + ∠3 =180°.
∴∠4 + ∠5 + ∠6= 540°-180°=360°.
(三角形的一个外角与它相邻的内角互补)
例3. 如图，∠4,∠5,∠6是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
6
5
4
3
2
C
A
B
1
解法3：
过A作AD∥BC，
∴ ∠5=∠7，
∠6=∠8.
∴ ∠4+∠5+∠6
=∠4+∠7+∠8=360°.
(两直线平行，同位角相等)
8
D
7
例3. 如图，∠4,∠5,∠6是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
性质一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形外角的性质
性质二：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
性质三：三角形的外角和等于360°.
总结归纳
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°.
1.如图，已知∠AEC=110°，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
解：∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠A+∠B=110°.
∴∠AEC=∠C+∠D=110°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D=220°.
∵∠AEC是△CDE的外角,
A
B
C
D
E
随堂练习
2.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？
A
B
C
D
解：∵∠CBD是△ABE的外角，
∴∠ACB+∠CAD =∠CBD.
又∵∠CAD=30°，∠CBD=45°，
∴∠ACB=∠CBD- ∠CAD
= 45°-30°= 15°.
再见