4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（共18张PPT）

§4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1. n次方根的概念与性质
偶次方根
负数没有偶次方根；
正数的偶次方根有两个且互为相反数；
0的偶次方根为0．
奇次方根
负数的奇次方根是负数；
正数的奇次方根是正数；
0的奇次方根为0．
温故知新
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.
其中n>1，且n∈N*.
2.根式的概念与性质
温故知新
性质2：当n为奇数时，????????????=????；
当n为偶数时，
?
性质1：????????????=????
?
式子????????叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
?
????????????=????=????,????≥????,?????,?????
(3)规定: 0的正分数指数幂为0
0的负分数指数幂没有意义.
(1).正数的正分数指数幂的意义：
(2)正数的负分数指数幂的意义：
3.分数指数幂的意义
温故知新
4.有理指数幂的运算性质
指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用.
温故知新
上面我们将 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数x是无理数时， 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
创设情境
网络上盛极一时的数学恒等式“ 1.0130≈1.35 ， 1.01365≈37.8 ， 1.01730≈1427.6 ”
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形象地向我们展示了通过努力每天进步 1% ，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”.
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1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程，理解无理数指数幂的含义.（数学抽象）
2.理解指数幂的运算性质.（数学运算）
3.能进行指数幂（实数幂）的运算.（数学运算）
学习目标
问题1 根据2的不足近似值????和过剩近似值????,利用计算工具计算相应的5????,5????的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现？
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不足近似值：舍而不进，按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值；
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
探究新知
过剩近似值：进一而舍，按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1，这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值.
问题1 根据2的不足近似值????和过剩近似值????,利用计算工具计算相应的5????,5????的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现？
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目录
CONTENT
问题1 根据2的不足近似值????和过剩近似值????,利用计算工具计算相应的5????,5????的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现？
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可以发现，当 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 时， 都趋向于同一个数，这个数就是 . 也就是说， 是一串逐渐增大的有理数指数幂
和另一串逐渐减小的有理数指数幂
逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. 这个过程可以用图4.1-1表示 .
图4.1-1
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通过观察，可以发现：
?????2?????
5??????????5????
A是一个确定的数，就是52
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问题2 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 ，说明它也是一个确定的实数吗？
（1）当 的不足近似值从小于 的方向逼近 时， 的近似值从小于 的方向逼近于同一个常数；
（2）当 的过剩近似值从大于 的方向逼近 时， 的近似值从大于 的方向逼近于同一个常数.
观察可发现 是一个确定的实数
总结
（1）无理数可以作为指数；
（2）无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到.
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一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数. 这样，我们就将指数幂数 中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数.
二、实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.
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一、无理数指数幂
1. 计算下列各式：
解：
课堂练习
利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：
（1）x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 的值，观察变化趋势；
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 的值，观察变化趋势.
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷大时， 的值趋向于0.
课堂练习
课堂小结
1.本节课我们学习了哪些知识？
实数指数幂
逼近思想及用有理数近似表示无理数的方法
2.思想、方法？
课后作业
1.课本109页
2.练习册4.1.2