5.1.1任意角 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
第五章
5.1.1 任意角
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的 规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交 替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体 做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化， 交变电流变化等
地球自转
地球公转
弹簧振子做简谐运动
圆周运动是一种常见的周期性变化现象。圆上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点犘的位置变化呢？
问题？
旋转的角度
定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。
范围：0~360°
现实生活中随处可见超出0~360°范围的角
体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”
不仅有超出0~360°范围的角，而 且旋转的方向也不相同
初中学习的角：
两个齿轮旋 转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被 动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕点O 旋 转所成的角与O′B绕点O′旋转所成的角就会有不同的方向
定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。
范围：0~360°
现实生活中随处可见超出0~360°范围的角
初中学习的角：
初中所学的角已经不能够描述以上现象；因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广
定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。
范围：0~360°
现实生活中随处可见超出0~360°范围的角
初中学习的角：
角的定义推广：一条射线绕其端点旋转形成的图形
始边：射线的起始位置（OA）
终边：射线的终止位置（OB）
我们规定：
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形 成的角；如30°等
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形 成的角；如-30°等
零角：如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角
一、任意角
（１）中的角是一个正角，它等于750°
（２）中，正角α＝210°，负角 β＝－150°，γ＝－660°
一、任意角
角的表示
正角>零角>负角
正角大小：旋转量大的角大
负角大小：旋转量大的角小
两个角相等：如果一个角的旋转方向和旋转量与另一个角的旋转方向和旋转量都一样，就称这两个角相等（α＝β）。
角能实数那样进行加减运算吗？
一、任意角
角的大小关系
设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β
一、任意角
角的加法
相反角：角α的相反角记为－α
我们把射线OA绕O点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角
一、任意角
相反角
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋（－β）。这样，角的减法可以转化为角的加法
一、任意角
角的减法
直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的 “周而复始”的变化规律
一、任意角
研究角的“工具”
象限角的定义：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限
第一象限角
第三象限角
二、象限角
第一象限角
第三象限角
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角
二、象限角
象限角的定义：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限
锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
问题
①钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？
②直角呢？
讨论
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角， 就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意 一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果 不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
那么328°，－392°，…角的终边都是OB，并且与－32°角终边相同的这些角都可以表示成－32°的角与k个（k∈Z）周角的和，如
　328°＝－32°＋360°（这里k＝1），
－392°＝－32°－360°（这里k＝-1）.
二、象限角
终边相同的角
一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角和．
一、象限角
终边相同的角
例1：在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同 的角，并判定它是第几象限角．
解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围 内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
一、象限角
练一练
例2：写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角．因此，所有与90°角终边相同的角 构成集合
S１＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝
S２＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝
于是，终边在y轴上的角的集合
　　S＝S１∪S２
＝｛β｜β＝90°＋２k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋180°＋２k·180°，k∈Z｝
＝｛β｜β＝90°＋２k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（２k＋１）180°，k∈Z｝
＝｛β｜β＝90°＋n · 180°，n∈Z｝
一、象限角
练一练
例3:写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等 式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现 它与X轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上 的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合
s＝｛β｜β＝45°＋k·360°，k∈z｝∪｛β｜β＝225°＋k·360°，k∈z｝
＝｛β｜β＝45°＋n·180°，n∈z｝．
S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°．
一、象限角
练一练
小结
一、任意角
分类
运算
正角、负角、零角
二、象限角
终边相同的角