2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程复习学案（有答案）

第三章 圆锥曲线的方程——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一大单元“四步复习法”
第一步：单元学习目标整合
必备知识 1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程2.考查圆锥曲线的定义、性质3.考查弦长问题4.求直线的方程或圆锥曲线的方程5.直线与圆锥曲线位置关系的判定6.几何或代数关系式的证明7.涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题：8.求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.
关键能力 圆锥曲线中的定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵）坐标等的定值问题.
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重点一：圆锥曲线的定义、标准方程与性质
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a　(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝．
②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1 (－c,0)，F2 (c,0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1 (0，－c)，F2 (0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝ ．
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝ ．
[典例]
已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
A.18 B.36 C. D.与的取值有关
[答案]：B
[解析] 由椭圆定义可知：，
，
，
即
∴ 故选：B
重点二：圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题
1.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝　
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①x1x2＝，y1y2＝；
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
[典例]
若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 设双曲线的右焦点为G，连接BG，则，因此，于是
.令，则，而
，，所以，因此，故.故D正确.
重点三：直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：
(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．
[典例]
已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C的右支上一点,且,则的面积为( )
A. B. C.2 D.4
[答案]：A
[解析] 在双曲线中， ，
.
，
.
在中，，
，
的面积为.故选A.
第四步：单元核心素养对接高考
考情分析
对于圆锥曲线，基础题目主要考查定义与方程、几何性质，特别是双曲线的几何性质（离心率、渐近线）及抛物线的几何性质，解答题通常以椭圆及抛物线为背景，考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点与定值问题、轨迹问题、最值与范围问题、证明问题.
高考真题
1.【2022年 全国乙卷(文)，6】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
答案：B
解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.
解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.
2.【2022年 全国甲卷(文)，11】已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意得，，，所以，，，故，又C的离心率，所以，，，即C的方程为，故选B.
3.【2022年 全国甲卷(理)，10】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.
4.【2022年 湖北省模拟，4】已知P 是抛物线 上一动点, 直线l 的方程为, 若点P 到x 轴的距离为, 到直线l 的 距离为, 则 的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设抛物线的焦点为F, 则点F 到直线l 的距离为. 所以.故选A.
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