2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修二第四章 数列大单元复习学案

文档属性

名称 2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修二第四章 数列大单元复习学案
格式 doc
文件大小 600.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-11-25 20:05:07

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文档简介

第四章 数列—
第一步:单元学习目标整合
必备知识 1.考查等差(比)数列的通项公式,前n项和公式,考查方程的思想以及运算能力2.以递推数列为载休,考查等差(比)数列的定义或等差(比)中项3.等差(比)数列项或和的一些简单性质的应用4.常与数列的项或前n项和结合考查等差(比)数列的性质5.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式,已知等差(比)的某些项或前几项的和,求其通项公式6.考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等7.以等差(比)数列为命题背景,考查等差(比)的前n项和公式、分组求和8.以递推数列、等差(比)数列为命题背景,考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
关键能力 1.以递推数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法2.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和3.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等
第二步:单元思维导图回顾知识
第三步:单元重难知识易混易错
重点一:等差(比)数列的基本运算
1.等差数列
(1)等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2)等差数列前n项和公式:Sn==na1+d.
(3)等差中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2).
2.等比数列
(1)等比数列通项公式:an=a1qn-1.
(2)等比数列前n项和公式:Sn=.
(3)等比中项公式:a=an-1·an+1(n∈N*,n≥2) 
3.数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系
an=
4.重要结论
通项公式的推广:
等差数列中,an=am+(n-m)d;
等比数列中,an=am·qn-m .
5.等差(比)数列的判断与证明
(1)若{an},{bn}均是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{man+kbn},{}仍为等差数列,其中m,k为常数.
(2)若{an},{bn}均是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m为常数),{a},{}仍为等比数列.
(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…成等比数列,且公比为==q.
(4)a.等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为qk.
b.等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,公差为k2d.
(5)若A2n-1,B2n-1分别为等差数列{an},{bn}的前2n-1项的和,则=.
6.等差(比)数列的性质
(1)增减性:
①等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列;若公差小于零,则数列为递减数列.
②等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且00且01,则数列为递减数列.
(2)等差数列{an}中,Sn为前n项和,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列;
等比数列{bn}中,Tn为前n项和.Tn,T2n-Tn,T3n-T2n,…一般仍成等比数列.
[典例]
在正项等比数列中,.则满足的的最大值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[答案]:C
[解析] 设数列的公比为.正项等比数列中,,解得或.又,,,由得,,经检验满足题意.故选C.
重点二:求数列的通项公式及前n项和
1. 数列的通项公式
(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.
(2)已知Sn与an的关系,利用an=求an.
(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).
(4)累乘法:数列递推关系形如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
(5)构造法:①递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为an+1+=p(an+)(p≠1)的形式,利用{an+}是以p为公比的等比数列求解;
②递推关系形如an+1=(p为非零常数)可化为-=的形式.
2. 数列的前n项和
(1)分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(2)裂项相消法
将数列的通项an分成两个代数式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如{}(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.
(3)错位相减法
形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.
(4)倒序求和法
距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顾反思.
a.常见的拆项公式(其中n∈N*)
①.
②.
③.
④若等差数列{an}的公1差为d,则.
⑤.
⑥.
⑦.
b.公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式,如
①1+2+3+…+n=;
②1+3+5+…+(2n-1)=n2;
③12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
3.与数列的和有关的综合应用
数列与函数、不等式的综合问题的常见题型
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类:
①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;
②已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
(2)数列常与不等式结合,如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题,需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.
[典例]
已知为等比数列的前n项和,若,且是等差数列的前三项.
(1)求数列的前n项和;
(2)求数列的通项公式,并求使得的n的取值范围.
[解析] (1)设等比数列的公比为q,
由是等差数列的前三项,得,
即,
所以,整理得,解得.
由,得,所以, 所以.
(2)由(1)得,
所以,,
所以等差数列的前三项为,
所以.
由,得,即.
令,故有.
当时,,即;
当时,,即,而.
所以使得的n的取值范围是,.
第四步:单元核心素养对接高考
考情分析
1.本专题内容在高考试题中小题多以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主,属中低档题;解答题以考查等差(比)数列通项公式、求和公式,错位相减求和、简单递推为主.
2.本专题重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
高考真题
1.【2022年 浙江卷,10】已知数列满足,,则( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为,,所以,易知,所以有,所以可得.由,可得,即.一方面,由,累加可得(*),所以,从而.另一方面,由(*)式可得,所以,又,所以,由,累加可得,所以,所以.综上可知,.故选B.
2.【2022年 全国乙卷(文),10】已知等比数列的前3项和为168,,则( )
A.14 B.12 C.6 D.3
答案:D
解析:解法一:设等比数列的首项为,公比为q,由题意可得,即,解得,所以,故选D.
解法二:设等比数列的首项为,公比为q,由题意可得,即,解得,所以,故选D.
3.【2022年 重庆市万州模拟,4】已知等差数列的各项均为正数,其前项和为,且满足,,则( )
A.28 B.30 C.32 D.35
答案:D
解析:因为, 所以,
又因为, 所以公差,
所以 .故选D.
4.【2022年 四川内江模拟,6】已知等比数列的公比为,前项和为.若,,则( )
A.3 B.2 C. D.
答案:A
解析:由,两式作差得.,
即,故选A.
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