滚动训练（四）与三角形的边角有关的计算与证明
(时间：50分钟，满分：100分)
一、选择题（每小题3分，共24分）
二、填空题（每小题4分，共24分）】
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，
9.命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题
则另一个锐角的度数是
()
是
A.40°B.50°
C.60°
D.70°
10.如图，直线m∥n,直角三角形ABC的顶点
2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒
A在直线n上，∠C=90°.若∠1=25°，
首尾连接后，能摆成三角形的一组是()
∠2=70°，则∠B
A.1,2,1
B.1,2,2
C.1,2,3
D.1,2,4
3.等腰三角形的两边长分别为6和3，则这个
三角形的周长是
A.12
B.15
(第10题图)
(第11题图)
C.12或15
D.18
11.如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥
4.若a,b,c是△ABC的三边长，且a2十b2
BC,且AD是∠EAC的平分线.若∠B=
6a-106十34=0，则c的取值范围是()
71°，则∠BAC=
A.c<8
B.212.如图，在△ABC中，点P是△ABC的角平分
C.2c8
D.4线的交点，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB交BA的延长
线于点D,CE平分∠ACB交AB边于点E,
且∠BAC=130°，∠ABC=20°，则∠DCE的
大小是
()
A.50
B.55
C.60°
D.65
(第12题图)
(第13题图)
13.如图，已知D为△ABC的边BC延长线上
点，DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=
(第5题图)
(第6题图)
35°，∠D=42°，则∠ACD的度数为
6.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，
14.在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运
∠DAC=60°，则∠ACD等于
()
动，∠A越来越小，∠B,∠C越来越大.若
A.25°B.85°C.60°
D.95°
7.如图，点D,E在△ABC的边上，CD与BE
∠A减小a,∠B增加3，∠C增加y,则a,3,
相交于点F,则∠1，∠2，∠3，∠4应满足的
y三者之间的数量关系是
关系是
(
三、解答题（共52分）
A.∠1+∠4=∠2+∠3
15.(10分)已知三角形的三条边为互不相等的
B.∠1+∠2=∠3+∠4
整数，且有两边长分别为7和9，另一条边
C.∠1+∠2=∠4-∠3
长为偶数
D.∠2-∠1=∠3+∠4
(1)请写出一个三角形，符合上述条件的第
三边长；
(2)若符合上述条件的三角形共有a个，求
a的值.
(第7题图)
(第8题图)
8.小明把一副含45°，30°角的直角三角尺如图
摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=
30°，则∠a十∠3等于
()
A.180°B.360°
C.210°D.270
·99·∠CAD=60.∠CAH=180°-120°=60
(3)令y=
-2,得一2=x+2.解得x=一.因为1>0，所以y随。
的增大而
(-4,2)或(-4,3)
12.DE=DF(答案不唯一)
13.3
14.证明：
,.AE平分∠HAD.,EH=EG.BE平分
增大.所以当y一2时，x≥一4.19.解：(1》依题意，得
∠2.∠I+∠EBD=∠EBD+∠2，∠ABD=∠EBC.在△ABD和
∠ABC,EH⊥AB.EF⊥BC..EH-EF
直线y-x十6过点B,C,易求得过B(0,2),C(1,0)两点
(/ABD-/EBC.
,EG=EF.,.点E到DA,DC的距离相等
的直线解析式为y一一2x十2.(2)如图，设直线y一x十
△EBC中，：了∠3-∠4，
·.AABDS2AEBC.·.AB=BE
4)三50
(第3题图)
(2)解：：由(1)知，DE平分∠ADC,BE平分∠ABC.∴∠EDC=
/ADC
6与OB交于点M(0,h),连接CM,易知S=e=有
15,证明：AC∥DF,∴∠ACB=∠F.在△ABC和△DEF中
4.解，《1)AB=AC+CD(2)成立，证明：在AB上取一点F,使AF=AC,连接
DF,:AD平分∠BAC,∴∠CAD-∠FAD.在△ACD和△AFD中
∠DBE=2∠ABC.'∠EDC=∠DEB+∠DBE.∴.？∠ADC=∠DEB
SΞam,则子X1×肩=石×亏×2×2.解得h=号∴M(0,号）易得
「∠ACB
F
∠A-∠D.∴△ABC≌△DEF.《AAS)∴.BC-EF.∴BC-CE-EF
(AC-AF.
∠ABC.∠DEB=(∠ADC-∠AE0)=∠BAD-30
过M,C的直线解析式为y=-号x+.过点M作直线MN∥OA交AB
AB=DE.
:∠CAD=∠FAD.△ACD≌△AFD..CD=DF,∠C=∠AFD.又
-CE,即BE=CF16.《1)证用，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD
AD=A
滚动训练（一）平面直角坐标系
于点N,设N(a,是）接CN,则S=aoe=S=0.N(a,)在
./ABE一∠BAD.∠BAD=∠CDA../ABE一∠CDA.在△ABE和△CDA中
:∠AFD
∠B+∠FDB.∠C-∠B.∠B-∠FDB.DF-BF
1.C2.D3.D4.B5.C6.A7.A8.C9.(5.4)10.4311.周
AB=AF+BF.,AB=AC+CD.5.证明：延长CE交AB于点F.AD
或-612.(6,4)13.(-3，-1)
直线y=一x+2上∴a=，放N(，）易得过点N,C的直线解析
AB=CD
∠ABE=∠CDA,△ABE≌△CDA.
(2)解：由(1)，得△ABE兰
平分∠BAC,∠FAE=∠CAE.:CE⊥AD,∠FEA=∠CEA=0°.在
14.(3,三)或(-3，）15.解：如图，在小区
式为y=2x-2.做经过点C的直线解析式为y=一二x+三成y=2.x一2.
BE-DA
△FEA和△CEA中，，/FAE=/CAE.AE=AE,/FEA=/CEA
△CDA,∴.∠AEB=∠CAD.AE=AC.'.∠AEB=∠ACE."∠DAC=40
.A5EA2AEA../AE/AEE/AEE=/B+/D../ACE
内的违章建筑有B,D,不在小区内的违章建筑有
滚动训练（三）一次函数与实际问题
∠AEB=∠ACE=40°.∠EAC=180-40°-40°=100°.17.(1)证明
∠B+∠ECD.
A,C,E.16.解：《1)因为点P在y轴上，所
n102
,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,,,CD=CE,∠DCE=
2w+4一0.所以w=一2.所以一1=
所以
1.A2.D3.D4.C5.B6.A7.B8.(0,6)9.m
P的坐标为(0，-3).(2)由题意，得m一
I.t
12.17513,解：(1)暂停排水需要0,5h,排水孔排水的速度是
90.∠ACB-90'.·∠BCD-90°-∠ACD-∠FCE.在△BCD和△FCE
解得
CB=CF.
1十
所以2十4=
300m/h.(2)Q--300t+1050.
14.解：〔1》由图象可知父了俩从出发
相遇用了15mi,设小东步行的速度为xm/min,则小东父亲骑车的速度为
中，
9,即点P的坐标为〔一12，一9》，《3)由题意，得
BCD
∠FCE,△BCD≌△FCE.(SAS)
〔2)解：由(1)可知
点P与点A的纵坐标相同.即州一1一一3，所以
2.所以2m+4=0.所
3x1m/min,依题意，得15(.x十3x)=3600,解得x=60,两人相遇处离学校
CD-CE
的距离为60×15=900(m)..点B的坐标为(15.900).(2)设AB所在白
△BCD2AFCE,'.∠BDC=∠E.'EF∥CD..∠E=180°一∠DCE=90
(第5题图)
(第6题图)
【第7题因)
以点P的坐标为(0，一3).17.解：〔1)如容图①或 .《2)如答图图或①.
线的表达式为y=kt+b.将点A(0,3600),B(15,900)的坐标代入，得
.∠BDC=90.18.(1)证明：：∠BAD=∠CAE=
6,证明：延长CH,BA,交于点E.,CH⊥BD,BD是∠ABC的平分线
糕压斑
(5公0AB所在直线的表达式为=-1
00°，，.∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90
∠CHB-∠EHB,∠CBH-∠EBH.又BH-BH,∴△CBH≌△EBH
·/BAC/DAE在AABC和AADE中
.CE=2CH.∠CAB
ECA
CH.
BD.∠E
600.《3)在s=一180十3600中，令s=0,得一180t+3600=0,解得t=2D
AB=AD.
∠EBH
:∠ECA=∠EBH,在△ECA和△DBA中
即小东的父亲从家到学校用的时同为20m,则小东取道具回到学校的时
∠BAC=∠DAE,∴△ABC△ADE
T∠ECA-∠EBH,
解：《1)当点P移动了4s时，点P的位置如图所示，此时点P的坐标为《4
可为20min.20<25,小东能在：毕业汇演开始前到达学校.15.解：(1
AC-AE.
AC-AB.
△ECA≌△DBA.∴CE=BD.∴.BD=2CH.7.证
4).(2)设点P移动的时间为x8,当点P在AB上时，由随意，得2x=4十
按方案一购票，应付的购票款为8000+50×120=14000（元），按方案二购
2)解：∠CAE=90°.AC=AE.·∠E=45.由(1)知△ABC≌△ADE
CAE-/BAD.
5,解得x=号：当点P在OC上时，由题意，得2x=2×(4+6)-5,解得x
票，应付的购票款为13200元.
(2)当0≤r≤100时，设y
,将100
∴∠BCA=∠E=45.,AF⊥BC,∠CFA=90.∠CAF=45.∠FAE=
明，征长BE交AC于点F,,·角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的
12000)代人.得12000=100，解得k:=120.所以y=120x:当>100时
∠CAF+∠CAE=45+90=135,(3)证明：延长BF到G,使得FG=FB,
直线，∴AD所在直线为∠BAC的对轴.又：BE⊥AD于点E∴点B和点
兰.所以，当点P到x轴的距离为5个单位时，点P移动了号：或受、
连接AG.AF⊥BC,∠AFG-∠AFB-90.在△AFB和△AFG中
F关于AD对称，·BE=FE=BF,AB=AF,∠ABF=∠AFB
解：(1)如图，过点A作x轴的平行
设y-r+6.将(100.1200)，120.1320)代人，得{00k士6-120.
/1206+6=1320,解
FB-FG
=60.
120x0x100}。
∠AFB
∠G
:∠ABF+∠FBC=∠ABC=3∠C.∠ABF-∠AFB=∠FBC+∠C.
{600.y=60x+60o0.综上y={606000o.
=∠AFG,△AFB≌△AFG.AB=AG,∠ABF=
〔3)按
AF-AP.
∠FBC+∠C+∠FBC
3∠C.∠FB
(C.FB=FC.BE
方案一购，应付的票款为
x,由(1)可知，要选择方案
一比
AB-AD.AG-AD AABCAADECBA-/EDA.CB-ED
号FC=(AC-AF)=(AC-AB.8.B9.210.解：1)等
较合算，购票张数必须超过120张，则800
r<60x十6000，解得
.∠ABF=∠CDA.∠G=∠CDA.由题意易得∠GCA=∠DC4=45°.
(2):BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，∠ABD
D0,故至少胸买201张票时，选择方案一比较合算
CAG=/CAD.
∠EBD.∠ACD
滚动训练（四）与三角形的边角有关的计算与证明
∠CAG
∠CAD,在△CGA和△CDA中，
AD.
DcB,DE∥AB..∠ABD
∠EDB.∠EBD
∠G
∠EDB.'.BE=DE.同理可得DF=FC,',△DEF的周长=DE+EF十DF
1.B2.B3.B4,B5.B6,D7,D8.C9,互为补角的两个角的和
∠CDA
BE+EF+FC=BC=12(sm)
△CGA≌△CDA.CG=CD.CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+
线EF交y轴于点F,分别过点B,C作BM⊥EF于点M,CN⊥EF于点N。
为180°10.4511.3812.g0”13.8314.2+y15.解.1两边
2BF.CD-2BE+DE
第15章
整合与提高
8.
AM=9
BM_
,CN=8,MN=3.所以S
长分别为9和7，设第三边长是x则9一7<<7+9即2<<16.:x为
数，第三边长是4或6或8或10成12或14.
(2)由《1)知=6
滚动训练（六）线段垂直平分线的性质与运用
DAC.∠1-∠2.：AE∥BC.∠1-
∠B.
16.解：DE是CA边上的高，∠DEA-∠DEC-90.∠A-20°
1.B2.D3.B4.D5.B6.B7.C8.D9.610.1311.30
×(2十8)X3=80.(2)所得四边形可看成是由四边形ABCD向右平
∴∠EDA=90'-∠A=70°.：∠EDA=∠CDB,∴∠CDE=180°-∠EDA-
12.
13.318
14.70°或20°
1
解：如图所示
∠B=∠C.AB=A(
∠CDB=40°，，.DCE=90°一∠CDE=50°.：CD是∠BCA的平分线
移2个单位得到的，故所得四边形的面积与四边形ABCD的面积相等，仍为
./BCA-2/DCE=2×50=100.../B=180°-/BCA-/A=180
100°-20°=60
解：
ABC=66
4CB=5°，∠A=60.:B
滚动训练（二）一次函数的图象与性质
是AC上的高，∴∠A
=90
∠ABE=
∠A=30,CF是AB
16.解：：DE为AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABD.又：∠ABD=2∠CBD
1.B2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.C9.(1,4).(3.1)10.w
的高..∠BFC=90°.∴∠BHF=90°一∠ABE=60°.∠BHC=180
六∠A=∠ABD=2∠CBD,设∠A=a,则∠ABD=a,∠CBD=2a,又：∠C
11.②③12.1∠BHF=120°.18.E明：，BD⊥AC.GF⊥AC.《已知)，.∠CDB
/CFG=90〔垂直的定义)·PG∥BD.指角知第，质白线平行】·，/2=
第8题因
(第11题图
90°，∠A+∠ABC=g0°，即a十a十2a=90,解得a=36,∴∠A=36.
1),把x=3,y=1代人，得4十2=k(3一1》，解得k=3,则y与x之间的函曼
0.B1D.B11.证明：连接BD.CD.AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E
/CBD.(两线平行，同位角相第)/1=/2.（已知）./1=
CBD.(等
17,解：：点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD=BD.由DCDB=3:5,可
DF⊥AC交其延长线于点F,DE=DF,在△DEB和△DFC中，
表达式是y十2-3(x-1),即y-3x-5,(2)当y-1时，3x-5-1,解得
量代换)DE∥BC.(内结角相等，两直线平行)∠ADE=∠C(两直线平
设DC-3xcm,AD-DB-5.xcm.又AC-AD十DC..3r+5x-16,r-2
=2.16.解：(1)由题意，得m一1=一3，解得=一2.《2)由题意，得
DE-DE.
∠DEB=∠DFC,△DEB≌△DFC.(SAS)DB=DC.DG⊥BC
2m十3-1，解得m
一1，(3)由一次函数的性质得2m十3<0，解得
行同位角相等)19，解：∠BOC-∠A,理由如下：B0和C0分别是
∴DC-3x=6(cm).18.证明：：点P在线段AB的垂直平分线上
.PA=PB.."PCI PA.PDI PB.../APC=∠BPD=O0°在RIAAPC和
BE-CF.
n<
17.解：(1)把A1)代人y-2x,得n-2.则点A的坐标为(1
ABC和∠ACD的平分线∠OBC=∠ABC,∠OCD=∠ACD.又
BG-CG
2).把点A(1,2)代人一次函数y=一x+6中，得2=-1+6，解得=3.
,∠ACD是△ABC的一个外角，，.∠ACD=/A+/ABC.,./OCD
优生特训：1.D2.B3.44.D5.1286.80°或20°7.12
8.4
次数表达式
2)设
平移后的函数
式为
,把
在线段CD的垂直平分线上.
19.解：1)
9.解：由三角形内角和定理，得∠BAC=40°.当点D在线段BA上时，
点(2,7》代入得7
2十m,解得m一，故平移后图象的函数表达式为
（∠A+∠ABC)∠A+∠OBC.∠OD是△B0的-个外角.
分别是线段AB,AC的垂直平分线，：AD=BD,
①若AC=AD.则∠ACD=令×(180-40)=70：四若AD=CD.则
∠B0C-∠cD-∠Oc-(∠A+∠OBC）-∠OC-∠A
AE-CEAD+DE+AE-BD+DE+CE-
BC."AADE的周长为6cm.脚AD+DE+
∠ACD=∠BAC=40°：当点D在线段BA的延长线上时，若AC=AD,则
1
∠B0C=90°-7∠A
AE=6cm,∴BC=6cam
(2)AB边的垂直
∠ACD=7∠BAC-20,10.(1)证明：过点E作EH⊥AB于点H,EF
(2)由(1)知，y=x十2，其图象与两坐标轴的交点坐标分别为
平分线1，交BC于点DAC边的垂直平分线1，交BC于点E,∴OA=OB
滚动训练（五）全等三角形的证明与运用
BC于点F,EG⊥AD于点G.AD平分∠BAC,∠BAC-120°，∠BAD
OC.△0BC的周长为16cm.即OC+OB+BC=16cm.∴OC+OB=16
(0,2).(一2.0)，则其图象与两坐标轴图成的三角形面积为×2×2=2.
1.D2.B3.C4.D5.C6.C7.D8.C9.4010.911.(4,2)或
6-10(cm)..C-5cm..OA-5cm.
八年级数学·HK·上册·130
