数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念（共28张ppt)
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念（共28张ppt) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-25 20:14:11 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
高中数学（选择性必修） 第二册
第三课时 等差数列的应用
4.2 等差数列
1
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
通过对数列概念的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯.
知识与技能：
过程与方法：
通过对数列概念的探究，培养学生观察、归纳、 类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观：
1.正确理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的性质；
3.能利用等差数列的性质解决简单的应用问题.
2
一、等差数列及其有关概念
2、等差数列的符号表示（定义式）
1、等差数列的定义：
数列{an}中，任取连续的两项 an、an-1 (n≥2) 或 an+1、an (n∈ N*).
若 an-an-1=d (常数) (n≥2) {an}为等差数列.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
或: 若an+1-an= d(常数) (n∈ N*) {an}为等差数列
3
知识回顾：
1、递推公式： an+1-an = d ，
2、通项公式为:
an=a1+(n-1) d
已知等差数列{an} ， 首项 a1，公差是d，求{an}的通项公式 .
an、a1、n、d
知三求一
二、等差数列的通项公式
4
3、等差数列通项公式的推广：
an=am+ (n-m)d
知识回顾：
设数列{an}是公差为d 的等差数列，则：
an=am+(n-m)d (m，n∈N*)
性质1：
三、等差数列的性质
性质2：
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq (m、n、p、q∈N*) .
性质3：
若 m+n=2k，则 am+an=2ak (m、n、k∈N*) .
即 ak 是am与an 的等差中项.
【注】等式两边作和的项数必须一样多！
等差数列通项公式的推广
5
知识回顾：
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
分析: 这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}. 由题意可知：10年之内(含10年)，这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元. 可以利用{an}的通项公式列不等式求解.
典型例题 p16：
6
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
解:设使用n年后, 这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}．
由已知条件，得 an＝an－1－d（n≥2 ）．
∵d是与n无关的常数，∴数列{an}是一个公差为－d 的等差数列.
∵ a1＝220－d，
∴ an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
所以，d的求值范围为19解得 19典型例题 p16：
7
1.某体育场看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排
比前一排多2个座位，你能用an表示第n排的座位吗？第10排有多少个座位？
解: 设每排座位构成等差数列 {an }．
由题意知 a1= 15，公差 d = 2，
∵ an = a1+（n-1）d
∴ an =15+ 2（n-1）=2n+13 ，
即 an = 2n+13 ，
则 a10 = 2 × 10+13 =33．
即第10排有33个座位．
分析：
1.等差数列定义：
an=an-1+ d(常数)
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
课堂练习p17：1
8
1.梯子的最高一级是 33 cm，最低一级是 75 cm，中间还有 5 级，各级的宽度成等差数列．求中间各级的宽度．
解: 设该等差数列为{an }．
由题意知 a1= 33，an = 75，n= 7，
则a7 = 33+（7-1）d ，即 75 = 33 + 6d，
解得 d = 7．
则 a2 = 33 + 7 = 40， a3 = 40 + 7 = 47，
a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61，
a6 = 61 + 7 = 68，．
即梯子中间各级的宽从上到下依次是
40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm．
跟踪练习：1
分析：
1.等差数列定义：
an=an-1+ d(常数)
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
9
典型例题 ：
10
典型例题 ：
B
立冬 10.5
雨水 9.5
冬至 x
11
D
立春 15.5
春分 x
冬至18.5
【分析】由等差数列相关运算得到公差，
进而求出春分的日影长.
对点练清 ：1
12
练习:[2021·北京卷] 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出, 中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗, 通用规格有五种. 这五种规格党旗的长a1, a2, a3, a4, a5 (单位:cm)成等差数列 , 对应的宽为b1, b2, b3, b4, b5 (单位:cm), 且长与宽之比都相等. 已知a1=288, a5=96, b1=192, 则b3= ( )
A.64 B.96 C.128 D.160
C
∴b5=64.
∴2b3=b1+b5=256, ∴b3=128.
对点练清：1
由题意 {bn} 为等差数列,
13
B
典型例题 ：
14
对点练清 ：2
C
15
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
分析: (1) {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；
(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.
典型例题 p16：
数列{an} 中：a1 , 0, 0, 0 , a2 , 0, 0, 0, a3 , …… an ……
数列{bn} 中： b1 , b2, b3, b4 , b5 , b6, b7, b8 , b9 , …… bm……
16
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
解: (1)设数列{bn}的公差为d′ ,
由题意可知： b1= a1=2 , b5 = a2=10
∴ bn= b1+(n-1) d′
= 2+(n-1)×2=2n
典型例题 p16：
∴数列{bn}的通项公式为： bn=2n
17
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
解：(2)由题意：an= a1+8(n-1) =2 +(n-1)×8 = 8n-6, 即an= 8n-6
则 8k-6=58,解得 k=8,
∴ b29是数列{an}的第8项.
典型例题 p17：
由(1)知： bn=2n ∴ b29 =2×29=58
假设 b29 是数列{an} 中的第k项
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
18
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
分析：
(2) 数列{an} 中：a1 , 0, 0, 0 , a2 , 0, 0, 0, a3 , … an …
典型例题 p17：
数列{bn} 中： b1 , b2, b3, b4 , b5 , b6, b7, b8 , b9 , … bm…
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
所以数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 项
19
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
解：(2)由题意数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 项，
令 4n-3 =29,解得 n=8,
∴ b29是数列{an}的第8项.
典型例题 p17：
这些项数构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
则：cn= 1+4(n-1) =4n-3
20
例5.等差数列{an}中，p , q , s , t∈N*, 且p+q=s+t. 求证: ap+aq=as+at .
分析:只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at ，
再利用已知条件即可得证.
证明：设数列{an}的公差为d , 则
ap=a1+(p-1) d，①
aq=a1+(q-1)d，②
as=a1+(s-1)d，③
at=a1+(t-1)d， ④
由① +② 得： ap+q = 2a1+(p+q-2)d，⑥
由③+④ 得： as+t = 2a1+(s+t-2)d，⑤
∵ p+q=s+t.
∴ ap+aq=as+at .
典型例题 p17：
21
思考p17 ：例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形 . 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
●
●
●
●
s
p
q
t
n
(s, as)
(p, ap)
(q, aq)
(t, at)
as
ap
aq
at
an
∵ p+q=s+t，
∴ p s=t q，
∴ ap as=at aq
∴ ap+aq=as+at
22
23
课堂练习p17：2
24
课堂练习p18：3
25
课堂练习p18：4
4.已知数列{an}, {bn}都是等差数列，公差分别为 d1 , d1, 数列{cn}满足 cn = an+2bn .
(1)数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由；
(2) 若{an}, {bn} 的公差都是2，+a1=b1=1，求数列{cn}的通项公式.
∵等差数列{an}, {bn}的公差分别为 d1 , d1
又∵ cn = an+2bn
∴ cn+1 = an+1+2bn+1
∴ cn+1- cn = (an+1+2bn+1) - (an+2bn)
= (an+1 - an) +( 2bn+1 - 2bn)
= (an+1 - an) +2 (bn+1 - bn)=d1 +2d1
即cn+1 - cn =d1 +2d1，数列{cn}为等差数列.
(2)由 (1)知数列{cn}为等差数列，
设公差为 d .
则 c1 = a1+2b1 = 3
d=d1 +2d1 =2+2×2 =6
∴ cn = 3+6(n-1)
= 6n - 3
∴数列{cn}的通项公式为：
cn= 6n - 3
5.已知一个无穷数列{an} 的首项a1，公差为 d .
(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个数列是
等差数列吗？如果是，首项与公差分别是多少？
(2)依次取出数列中的奇数项，组成一个新数列，这个数列是
等差数列吗？如果是，首项与公差分别是多少？
(3)依次取出数列中所有序号为7的倍数项，组成一个新数列，它是
等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
课堂练习p18：5
26
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
课后作业
27
再见!
28
高中数学（选择性必修） 第二册
第三课时 等差数列的应用
4.2 等差数列
1
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
通过对数列概念的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯.
知识与技能：
过程与方法：
通过对数列概念的探究，培养学生观察、归纳、 类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观：
1.正确理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的性质；
3.能利用等差数列的性质解决简单的应用问题.
2
一、等差数列及其有关概念
2、等差数列的符号表示（定义式）
1、等差数列的定义：
数列{an}中，任取连续的两项 an、an-1 (n≥2) 或 an+1、an (n∈ N*).
若 an-an-1=d (常数) (n≥2) {an}为等差数列.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
或: 若an+1-an= d(常数) (n∈ N*) {an}为等差数列
3
知识回顾：
1、递推公式： an+1-an = d ，
2、通项公式为:
an=a1+(n-1) d
已知等差数列{an} ， 首项 a1，公差是d，求{an}的通项公式 .
an、a1、n、d
知三求一
二、等差数列的通项公式
4
3、等差数列通项公式的推广：
an=am+ (n-m)d
知识回顾：
设数列{an}是公差为d 的等差数列，则：
an=am+(n-m)d (m，n∈N*)
性质1：
三、等差数列的性质
性质2：
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq (m、n、p、q∈N*) .
性质3：
若 m+n=2k，则 am+an=2ak (m、n、k∈N*) .
即 ak 是am与an 的等差中项.
【注】等式两边作和的项数必须一样多！
等差数列通项公式的推广
5
知识回顾：
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
分析: 这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}. 由题意可知：10年之内(含10年)，这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元. 可以利用{an}的通项公式列不等式求解.
典型例题 p16：
6
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围.
解:设使用n年后, 这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}．
由已知条件，得 an＝an－1－d（n≥2 ）．
∵d是与n无关的常数，∴数列{an}是一个公差为－d 的等差数列.
∵ a1＝220－d，
∴ an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
所以，d的求值范围为19
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1.某体育场看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排
比前一排多2个座位，你能用an表示第n排的座位吗？第10排有多少个座位？
解: 设每排座位构成等差数列 {an }．
由题意知 a1= 15，公差 d = 2，
∵ an = a1+（n-1）d
∴ an =15+ 2（n-1）=2n+13 ，
即 an = 2n+13 ，
则 a10 = 2 × 10+13 =33．
即第10排有33个座位．
分析：
1.等差数列定义：
an=an-1+ d(常数)
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
课堂练习p17：1
8
1.梯子的最高一级是 33 cm，最低一级是 75 cm，中间还有 5 级，各级的宽度成等差数列．求中间各级的宽度．
解: 设该等差数列为{an }．
由题意知 a1= 33，an = 75，n= 7，
则a7 = 33+（7-1）d ，即 75 = 33 + 6d，
解得 d = 7．
则 a2 = 33 + 7 = 40， a3 = 40 + 7 = 47，
a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61，
a6 = 61 + 7 = 68，．
即梯子中间各级的宽从上到下依次是
40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm．
跟踪练习：1
分析：
1.等差数列定义：
an=an-1+ d(常数)
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
9
典型例题 ：
10
典型例题 ：
B
立冬 10.5
雨水 9.5
冬至 x
11
D
立春 15.5
春分 x
冬至18.5
【分析】由等差数列相关运算得到公差，
进而求出春分的日影长.
对点练清 ：1
12
练习:[2021·北京卷] 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出, 中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗, 通用规格有五种. 这五种规格党旗的长a1, a2, a3, a4, a5 (单位:cm)成等差数列 , 对应的宽为b1, b2, b3, b4, b5 (单位:cm), 且长与宽之比都相等. 已知a1=288, a5=96, b1=192, 则b3= ( )
A.64 B.96 C.128 D.160
C
∴b5=64.
∴2b3=b1+b5=256, ∴b3=128.
对点练清：1
由题意 {bn} 为等差数列,
13
B
典型例题 ：
14
对点练清 ：2
C
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例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
分析: (1) {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；
(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.
典型例题 p16：
数列{an} 中：a1 , 0, 0, 0 , a2 , 0, 0, 0, a3 , …… an ……
数列{bn} 中： b1 , b2, b3, b4 , b5 , b6, b7, b8 , b9 , …… bm……
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例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
解: (1)设数列{bn}的公差为d′ ,
由题意可知： b1= a1=2 , b5 = a2=10
∴ bn= b1+(n-1) d′
= 2+(n-1)×2=2n
典型例题 p16：
∴数列{bn}的通项公式为： bn=2n
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例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
解：(2)由题意：an= a1+8(n-1) =2 +(n-1)×8 = 8n-6, 即an= 8n-6
则 8k-6=58,解得 k=8,
∴ b29是数列{an}的第8项.
典型例题 p17：
由(1)知： bn=2n ∴ b29 =2×29=58
假设 b29 是数列{an} 中的第k项
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
18
例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
分析：
(2) 数列{an} 中：a1 , 0, 0, 0 , a2 , 0, 0, 0, a3 , … an …
典型例题 p17：
数列{bn} 中： b1 , b2, b3, b4 , b5 , b6, b7, b8 , b9 , … bm…
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
所以数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 项
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例4 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，d=8 , 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？
若不是 ，请说明理由.
解：(2)由题意数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 项，
令 4n-3 =29,解得 n=8,
∴ b29是数列{an}的第8项.
典型例题 p17：
这些项数构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，
思考：对于第(2)小题，
你还有其他解法吗？
则：cn= 1+4(n-1) =4n-3
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例5.等差数列{an}中，p , q , s , t∈N*, 且p+q=s+t. 求证: ap+aq=as+at .
分析:只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at ，
再利用已知条件即可得证.
证明：设数列{an}的公差为d , 则
ap=a1+(p-1) d，①
aq=a1+(q-1)d，②
as=a1+(s-1)d，③
at=a1+(t-1)d， ④
由① +② 得： ap+q = 2a1+(p+q-2)d，⑥
由③+④ 得： as+t = 2a1+(s+t-2)d，⑤
∵ p+q=s+t.
∴ ap+aq=as+at .
典型例题 p17：
21
思考p17 ：例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形 . 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
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s
p
q
t
n
(s, as)
(p, ap)
(q, aq)
(t, at)
as
ap
aq
at
an
∵ p+q=s+t，
∴ p s=t q，
∴ ap as=at aq
∴ ap+aq=as+at
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课堂练习p17：2
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课堂练习p18：3
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课堂练习p18：4
4.已知数列{an}, {bn}都是等差数列，公差分别为 d1 , d1, 数列{cn}满足 cn = an+2bn .
(1)数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，说明理由；
(2) 若{an}, {bn} 的公差都是2，+a1=b1=1，求数列{cn}的通项公式.
∵等差数列{an}, {bn}的公差分别为 d1 , d1
又∵ cn = an+2bn
∴ cn+1 = an+1+2bn+1
∴ cn+1- cn = (an+1+2bn+1) - (an+2bn)
= (an+1 - an) +( 2bn+1 - 2bn)
= (an+1 - an) +2 (bn+1 - bn)=d1 +2d1
即cn+1 - cn =d1 +2d1，数列{cn}为等差数列.
(2)由 (1)知数列{cn}为等差数列，
设公差为 d .
则 c1 = a1+2b1 = 3
d=d1 +2d1 =2+2×2 =6
∴ cn = 3+6(n-1)
= 6n - 3
∴数列{cn}的通项公式为：
cn= 6n - 3
5.已知一个无穷数列{an} 的首项a1，公差为 d .
(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个数列是
等差数列吗？如果是，首项与公差分别是多少？
(2)依次取出数列中的奇数项，组成一个新数列，这个数列是
等差数列吗？如果是，首项与公差分别是多少？
(3)依次取出数列中所有序号为7的倍数项，组成一个新数列，它是
等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
课堂练习p18：5
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不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
课后作业
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再见!
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