沪科版八年级数学上册《轴对称图形与等腰三角形》专题训练（详细解析+考点分析+名师点评）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册《轴对称图形与等腰三角形》专题训练（详细解析+考点分析+名师点评） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 687.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-12-18 15:21:32 | ||
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文档简介
《轴对称图形与等腰三角形》专题训练
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1
2．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：3．
其中正确的有（ ）
A． 只有①②③ B． 只有①②④ C． 只有①③④ D． ①②③④
二．填空题
7．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 _________ ．
8．（2011 乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则
（1）θ1= _________ ；
（2）θn= _________ ．
9．（2012 石家庄二模）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn= _________ °．（用含n的代数式表示）
10．如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 _________ ．
11．如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 _________ 秒后，△BPD与△CQP全等．
12．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 _________ 根．
13．如图所示，在直线l上找到一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有 _________ 个．
14．给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 _________ ．
三．解答题（共16小题）
15．（2004 梅州）如图，在△ABC中，∠C=90度．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
16．（2011 牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
17．（2007 福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
18．（2012 遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
19．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
20．已知：在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15° 求：S△ABC．
21．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
22．（2012 溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是 _________ ；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 _________ ；
操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
23．（2010 双流县）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处，求直线BC的表达式．
24．（2012 陵县二模）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
26．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．
27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
28．如图，AC⊥BC，∠B=30°，A（﹣2，0），将AC沿AD对折，使C点落在AB上的E点，AD交y轴于F，
（1）求B点坐标；
（2）求证：△CDF是等边三角形．
29．若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明． _________ ．
30．（2011 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
详细解析+考点分析+名师点评
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1
考点： 作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．
解答： 解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选：B．
点评： 此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．
2．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处
考点： 角平分线的性质．
专题： 应用题．
分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
解答： 解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．
点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：3．
其中正确的有（ ）
A． 只有①②③ B． 只有①②④ C． 只有①③④ D． ①②③④
考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
分析： 利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
解答： 解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD AC，S△ACB=CB AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选：D．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出∠DAC=∠DAB=30°是解题关键．
二．填空题
7．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12° ．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．
点评： 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
8．（2011 乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则
（1）θ1= ；
（2）θn= ．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．
解答： 解：（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=；…θn=．故答案为：（1）；（2）θn=．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．
9．（2012 石家庄二模）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn= （90﹣） °．（用含n的代数式表示）
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 利用三角形的内角和计算，同时注意利用等腰三角形的性质．
解答： 解：由张角度数变化可知顶角∠An+1CnAn=，则∠An+1AnCn=（180﹣）÷2=90﹣．故答案为：（90﹣）．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．
10．如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 12° ．
考点： 等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题： 计算题．
分析： 设∠BAC为x°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠CBD=4x°，再根据角平分线的定义可表示出∠A′AB的度数，再根据三角形内角和定理不难求解．
解答： 解：设∠BAC为x°，∵AB=BB′，∴∠CAB=∠BB′A，∴∠B′BD=2x°，∠CBD=4x°，∵AB=AA′，∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°，∵∠A′AB=（180°﹣x°），∴（180°﹣x°）+4x°+4x°=180°，∴x°=12°．故答案为：12°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．
11．如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1或5 秒后，△BPD与△CQP全等．
考点： 全等三角形的性质；等腰三角形的性质．
专题： 动点型．
分析： 根据已知得出∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出①BD=CP=5厘米，②BD=CQ=5厘米，求出即可．
解答： 解：设经过x秒后，△BPD与△CQP全等，∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米，∵∠B=∠C，∴要使△BPD和△CQP全等，分为两种情况：①BD=CP=5厘米，则5=6﹣x，x=1，1÷1=1（秒），②BD=CQ=5厘米，5=x，5÷1=5（秒），故答案为：1或5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
12．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 8 根．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解答： 解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．
点评： 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
13．如图所示，在直线l上找到一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有 4 个．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 分别从若PA=AB，若PB=AB，若PA=PB，去分析求解即可求得答案．
解答： 解：如图，∵①若PA=AB，则符合要求的点为：P1，P2，②若PB=AB，则符合要求的点为：P3，③若PA=PB，则符合要求的点为：P4．∴这样的P点有4个．故答案为：4．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
14．给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 6 ．
考点： 三角形三边关系；等腰三角形的判定．
专题： 新定义．
分析： △ABM是等腰三角形时，若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．同时满足△BCM是等腰三角形的线与弧的交点就是满足条件的点．
解答： 解：△ABM是等腰三角形时，若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．同理，△BCM都是等腰三角形时，当BC是底边时，则M一定在BC的中垂线上，当BC是腰时，另一顶点M在以B或C为顶点，以BC为直径的弧上．满足△ABM是等腰三角形的直线和两条弧，与满足△BCM是等腰三角形的直线和两条弧的交点就是满足条件的点，共有6个．故答案是：6．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，已知等腰三角形的一边即两个顶点，确定第三个顶点是解决本题的关键．
三．解答题（共16小题）
15．（2004 梅州）如图，在△ABC中，∠C=90度．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
专题： 作图题．
分析： （1）作线段AB的垂直平分线即可；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．那么点P是∠B的平分线和线段AB的垂直平分线的交点．
解答： 解：（1）（2）连接BP．∵点P到AB、BC的距离相等，∴BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠PBC．又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠A=∠ABP．∴．
点评： 用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
16．（2011 牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
分析： （1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．
解答： 解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B∴∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
17．（2007 福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
考点： 平行线的性质；角平分线的性质．
专题： 动点型；探究型．
分析： （1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
解答： 解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
点评： 此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．
18．（2012 遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 压轴题；动点型．
分析： （1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
解答： 解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
19．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析： （1）由题中条件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得△CAE为等边三角形，进而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证．
解答： （1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．
点评： 本题主要考查了30°的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
20．已知：在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15° 求：S△ABC．
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
分析： 如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，则根据“等腰△ABC的两个底角相等”、三角形外角性质推知∠DAC=30°．所以“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得到CD=AC=a．最后由三角形的面积公式来解题．
解答： 解：如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，∵AB=AC∴∠B=∠C=15°∵∠DAC是△ABC的外角∴∠DAC=30°∴CD=AC=a∴S△ABC=AB CD=×2a×a=a2
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质．应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
考点： 轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．
解答： 解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，﹣3）∴直线l2的解析式为：y=﹣x﹣3；（2）如图．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=AC，∵l1与l2为象限平分线的平行线，∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）①对，OM=3过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM∴HM=OM∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM∴OM=BC=3．
点评： 轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
22．（2012 溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是 ；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 （2，0） ；
操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： （1）由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；（2）找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置．
解答： 解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．
点评： 此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息．
23．（2010 双流县）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处，求直线BC的表达式．
考点： 一次函数综合题；翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： （1）把A，B两点坐标代入一次函数解析式可得相关值；（2）作DE⊥OA于E，利用∠BAO的三角函数值可得DE，AE的值，利用勾股定理可得OC的值，也就求得了C的坐标，代入解析式可得BC的解析式．
解答： 解：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，∵A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．∴，解得k=﹣，∴y=﹣x+3；（2）由题意得OA=4，OB=3，∴AB=5，由翻折可得BD=BO=3，∴AD=2，∴DE=AD×sinA=，∴AE=，设OC为x．∵DE2+CE2=CD2，∴+（4﹣﹣x）2=x2，x=1.5，∴C的坐标为（1.5，0），设函数解析式为y=mx+n，，解得x=﹣2，∴y=﹣2x+3．
点评： 综合考查一次函数的应用；得到所在函数解析式上的关键点是解决本题的难点．
24．（2012 陵县二模）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 综合题；操作型．
分析： （1）易得△ABN为等边三角形，可得∠NBP=30°，那么∠ABM=∠NBM=30°，就可推出∠MBP=∠BMP=60°，那么△BMP是等边三角形．（2）由翻折易知BC≥BP，而BP=BM，利用30°的三角函数即可求得．
解答： 解：（1）△BMP是等边三角形．证明：连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN．由折叠知AB=BN，∴AN=AB=BN．∴△ABN为等边三角形．∴∠ABN=60°．∴∠PBN=30°．又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．∴∠BMP=60°．∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．∴△BMP为等边三角形．（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP，在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，∴BP=．∴b≥．∴a≤b．∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．
点评： 翻折前后对应角相等；对应边相等；注意特殊角及三角函数的应用．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
考点： 一次函数综合题；一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质．
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： （1）由点C的坐标和CD的长，求出点D的坐标，再把点D的坐标代入求得m的值，即可求得直线l的解析式；（2）由直线l的解析式可求得点A、B的坐标，过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．求证△AOB≌△BHC即可求得AB=BC，∠HBC=∠OAB，进而求得∠ABC=90°；（3）此题应分作三种情况考虑，可先设出平移后直线l的解析式（由于是平移，故斜率不变），然后表示出A'、B'的坐标，进而可得到它们的中点坐标；①以P为直角顶点，那么此时P点为A'B'的中垂线与直线CD的交点，可根据A’B'中点（M）的坐标及直线AB的斜率求出此中垂线的解析式，进而得到P点坐标的表达式，若△A′B′P是等腰直角三角形，则PM=A'B'，可据此列出关系式求出P点的坐标；②以B'为直角顶点，那么点P为过B点且与直线A'B'垂直的直线的解析式，可根据点P的坐标求出这条直线的解析式，然后表示出点P的坐标，进而根据△A′B′P是等腰直角三角形得到A'P=A'B，以此列方程求得P点坐标；③以A'为直角顶点，方法同②．
解答： 解：（1）∵CD=10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），∴点D的坐标为（﹣4，6）（2分）把点D（﹣4，6）代入得，m=4．∴直线l的解析式是；（4分）（2）∵，∴A（8，0），B（0，4），过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．在△AOB和△BHC中，∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，∴△AOB≌△BHC（6分）∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，∴∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形；（8分）（3）．
点评： 本题考查综合应用点的坐标，等腰直角三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究证明的能力．
26．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．
考点： 等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题： 证明题．
分析： 首先由三角形的内角和定理证出∠AEF=∠AFE=∠CFM，由三角形的外角性质得到∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB﹣∠M，代入即可得出答案．
解答： 证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，又∵∠AEF=180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE=180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF=∠AFE，∵∠CFM=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M=∠ACB﹣∠M，即：∠M=（∠ACB﹣∠B）．
点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
考点： 等边三角形的判定；等腰三角形的判定．
专题： 几何综合题；分类讨论．
分析： （1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．
解答： （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∴CO=CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA=OB=4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，∴△AOD为直角三角形．又AO=5，AD=4，∴OD=3，∴CO=OD=3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO，∵∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠BOC=360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD=190°﹣∠AOD，而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，求得α=125°；由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°﹣∠AOD求得α=110°；由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°﹣2∠AOD，求得α=140°；综上可知α=125°、α=110°或α=140°．
点评： 此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．
28．如图，AC⊥BC，∠B=30°，A（﹣2，0），将AC沿AD对折，使C点落在AB上的E点，AD交y轴于F，
（1）求B点坐标；
（2）求证：△CDF是等边三角形．
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的判定．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）由A（﹣2，0），可得AO的长，由∠B=30°，可得∠ACO=30°，由30°角的性质可得AC的大小，同理得到AB=2AC，可得B点的坐标；（2）由AD为折痕，得到∠CAD=30°，直角三角形ACD中，可得∠CDA=60°，求得∠BCO为60°，可得△CDF是等边三角形．
解答： 解：（1）Rt△ABC中，CO⊥AB，∴∠2=∠B=30°，∴AC=2AO=4，Rt△ABC中，AB=2AC=2×4=8，∴OB=8﹣2=6，B点坐标（6，0）；（2）AD为折痕，∴∠1=∠BAC=30°，Rt△ACD中，∠4=90°﹣30°=60°，∠3=90°﹣30°=60°，∴△CDF是等边三角形
点评： 本题考查了翻折变换问题、坐标与图形的性质及等边三角形的性质；找准相等的角是正确解答本题的关键．
29．若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明． 等边三角形 ．
考点： 等边三角形的判定；因式分解的应用．
分析： 由a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，可得到（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，从而求得a=b=c，则该三角形是等边三角形．
解答： 解：该三角形是等边三角形．理由：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，∴a﹣b=0，且b﹣c=0，即a=b，且b=c，∴a=b=c，∴该三角形是等边三角形．
点评： 此题考查对完全平方公式的灵活应用，应熟练识记完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
30．（2011 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．（2）答案为：=．证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∴∠BED=∠FCE，在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=EF，∴AE=BD．（3）解：分为四种情况：如图：∵AB=AC=1，AE=2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，即△DEB是直角三角形．∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．如图2，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC=ED，∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，∵△ABC边长是1，AE=2，∴=，∴MN=1，∴CM=MN﹣CN=1﹣=，∴CD=2CM=1；如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC=ED；如图4∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．
点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1
2．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：3．
其中正确的有（ ）
A． 只有①②③ B． 只有①②④ C． 只有①③④ D． ①②③④
二．填空题
7．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 _________ ．
8．（2011 乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则
（1）θ1= _________ ；
（2）θn= _________ ．
9．（2012 石家庄二模）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn= _________ °．（用含n的代数式表示）
10．如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 _________ ．
11．如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 _________ 秒后，△BPD与△CQP全等．
12．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 _________ 根．
13．如图所示，在直线l上找到一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有 _________ 个．
14．给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 _________ ．
三．解答题（共16小题）
15．（2004 梅州）如图，在△ABC中，∠C=90度．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
16．（2011 牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
17．（2007 福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
18．（2012 遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
19．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
20．已知：在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15° 求：S△ABC．
21．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
22．（2012 溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是 _________ ；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 _________ ；
操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
23．（2010 双流县）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处，求直线BC的表达式．
24．（2012 陵县二模）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
26．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．
27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
28．如图，AC⊥BC，∠B=30°，A（﹣2，0），将AC沿AD对折，使C点落在AB上的E点，AD交y轴于F，
（1）求B点坐标；
（2）求证：△CDF是等边三角形．
29．若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明． _________ ．
30．（2011 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
详细解析+考点分析+名师点评
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1
考点： 作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．
解答： 解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选：B．
点评： 此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．
2．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处
考点： 角平分线的性质．
专题： 应用题．
分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
解答： 解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．
点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB=1：3．
其中正确的有（ ）
A． 只有①②③ B． 只有①②④ C． 只有①③④ D． ①②③④
考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
分析： 利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
解答： 解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD AC，S△ACB=CB AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选：D．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出∠DAC=∠DAB=30°是解题关键．
二．填空题
7．（2013 绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12° ．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．
点评： 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
8．（2011 乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则
（1）θ1= ；
（2）θn= ．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．
解答： 解：（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=；…θn=．故答案为：（1）；（2）θn=．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．
9．（2012 石家庄二模）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn= （90﹣） °．（用含n的代数式表示）
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 利用三角形的内角和计算，同时注意利用等腰三角形的性质．
解答： 解：由张角度数变化可知顶角∠An+1CnAn=，则∠An+1AnCn=（180﹣）÷2=90﹣．故答案为：（90﹣）．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．
10．如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 12° ．
考点： 等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题： 计算题．
分析： 设∠BAC为x°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠CBD=4x°，再根据角平分线的定义可表示出∠A′AB的度数，再根据三角形内角和定理不难求解．
解答： 解：设∠BAC为x°，∵AB=BB′，∴∠CAB=∠BB′A，∴∠B′BD=2x°，∠CBD=4x°，∵AB=AA′，∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°，∵∠A′AB=（180°﹣x°），∴（180°﹣x°）+4x°+4x°=180°，∴x°=12°．故答案为：12°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．
11．如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1或5 秒后，△BPD与△CQP全等．
考点： 全等三角形的性质；等腰三角形的性质．
专题： 动点型．
分析： 根据已知得出∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出①BD=CP=5厘米，②BD=CQ=5厘米，求出即可．
解答： 解：设经过x秒后，△BPD与△CQP全等，∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米，∵∠B=∠C，∴要使△BPD和△CQP全等，分为两种情况：①BD=CP=5厘米，则5=6﹣x，x=1，1÷1=1（秒），②BD=CQ=5厘米，5=x，5÷1=5（秒），故答案为：1或5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
12．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 8 根．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解答： 解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．
点评： 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
13．如图所示，在直线l上找到一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有 4 个．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 分别从若PA=AB，若PB=AB，若PA=PB，去分析求解即可求得答案．
解答： 解：如图，∵①若PA=AB，则符合要求的点为：P1，P2，②若PB=AB，则符合要求的点为：P3，③若PA=PB，则符合要求的点为：P4．∴这样的P点有4个．故答案为：4．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
14．给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 6 ．
考点： 三角形三边关系；等腰三角形的判定．
专题： 新定义．
分析： △ABM是等腰三角形时，若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．同时满足△BCM是等腰三角形的线与弧的交点就是满足条件的点．
解答： 解：△ABM是等腰三角形时，若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．同理，△BCM都是等腰三角形时，当BC是底边时，则M一定在BC的中垂线上，当BC是腰时，另一顶点M在以B或C为顶点，以BC为直径的弧上．满足△ABM是等腰三角形的直线和两条弧，与满足△BCM是等腰三角形的直线和两条弧的交点就是满足条件的点，共有6个．故答案是：6．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，已知等腰三角形的一边即两个顶点，确定第三个顶点是解决本题的关键．
三．解答题（共16小题）
15．（2004 梅州）如图，在△ABC中，∠C=90度．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质．
专题： 作图题．
分析： （1）作线段AB的垂直平分线即可；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．那么点P是∠B的平分线和线段AB的垂直平分线的交点．
解答： 解：（1）（2）连接BP．∵点P到AB、BC的距离相等，∴BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠PBC．又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠A=∠ABP．∴．
点评： 用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
16．（2011 牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
分析： （1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．
解答： 解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B∴∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
17．（2007 福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
考点： 平行线的性质；角平分线的性质．
专题： 动点型；探究型．
分析： （1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
解答： 解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
点评： 此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．
18．（2012 遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 压轴题；动点型．
分析： （1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
解答： 解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
19．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析： （1）由题中条件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得△CAE为等边三角形，进而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证．
解答： （1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．
点评： 本题主要考查了30°的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
20．已知：在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15° 求：S△ABC．
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
分析： 如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，则根据“等腰△ABC的两个底角相等”、三角形外角性质推知∠DAC=30°．所以“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得到CD=AC=a．最后由三角形的面积公式来解题．
解答： 解：如图，延长BA，过点C作CD⊥AD，∵AB=AC∴∠B=∠C=15°∵∠DAC是△ABC的外角∴∠DAC=30°∴CD=AC=a∴S△ABC=AB CD=×2a×a=a2
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质．应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，
（1）求直线l2的解析式；
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
考点： 轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．
解答： 解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，﹣3）∴直线l2的解析式为：y=﹣x﹣3；（2）如图．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=AC，∵l1与l2为象限平分线的平行线，∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）①对，OM=3过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM∴HM=OM∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM∴OM=BC=3．
点评： 轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
22．（2012 溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是 ；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 （2，0） ；
操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： （1）由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；（2）找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置．
解答： 解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．
点评： 此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息．
23．（2010 双流县）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处，求直线BC的表达式．
考点： 一次函数综合题；翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： （1）把A，B两点坐标代入一次函数解析式可得相关值；（2）作DE⊥OA于E，利用∠BAO的三角函数值可得DE，AE的值，利用勾股定理可得OC的值，也就求得了C的坐标，代入解析式可得BC的解析式．
解答： 解：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，∵A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．∴，解得k=﹣，∴y=﹣x+3；（2）由题意得OA=4，OB=3，∴AB=5，由翻折可得BD=BO=3，∴AD=2，∴DE=AD×sinA=，∴AE=，设OC为x．∵DE2+CE2=CD2，∴+（4﹣﹣x）2=x2，x=1.5，∴C的坐标为（1.5，0），设函数解析式为y=mx+n，，解得x=﹣2，∴y=﹣2x+3．
点评： 综合考查一次函数的应用；得到所在函数解析式上的关键点是解决本题的难点．
24．（2012 陵县二模）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 综合题；操作型．
分析： （1）易得△ABN为等边三角形，可得∠NBP=30°，那么∠ABM=∠NBM=30°，就可推出∠MBP=∠BMP=60°，那么△BMP是等边三角形．（2）由翻折易知BC≥BP，而BP=BM，利用30°的三角函数即可求得．
解答： 解：（1）△BMP是等边三角形．证明：连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN．由折叠知AB=BN，∴AN=AB=BN．∴△ABN为等边三角形．∴∠ABN=60°．∴∠PBN=30°．又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．∴∠BMP=60°．∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．∴△BMP为等边三角形．（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP，在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，∴BP=．∴b≥．∴a≤b．∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．
点评： 翻折前后对应角相等；对应边相等；注意特殊角及三角函数的应用．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．
（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
考点： 一次函数综合题；一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质．
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： （1）由点C的坐标和CD的长，求出点D的坐标，再把点D的坐标代入求得m的值，即可求得直线l的解析式；（2）由直线l的解析式可求得点A、B的坐标，过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．求证△AOB≌△BHC即可求得AB=BC，∠HBC=∠OAB，进而求得∠ABC=90°；（3）此题应分作三种情况考虑，可先设出平移后直线l的解析式（由于是平移，故斜率不变），然后表示出A'、B'的坐标，进而可得到它们的中点坐标；①以P为直角顶点，那么此时P点为A'B'的中垂线与直线CD的交点，可根据A’B'中点（M）的坐标及直线AB的斜率求出此中垂线的解析式，进而得到P点坐标的表达式，若△A′B′P是等腰直角三角形，则PM=A'B'，可据此列出关系式求出P点的坐标；②以B'为直角顶点，那么点P为过B点且与直线A'B'垂直的直线的解析式，可根据点P的坐标求出这条直线的解析式，然后表示出点P的坐标，进而根据△A′B′P是等腰直角三角形得到A'P=A'B，以此列方程求得P点坐标；③以A'为直角顶点，方法同②．
解答： 解：（1）∵CD=10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），∴点D的坐标为（﹣4，6）（2分）把点D（﹣4，6）代入得，m=4．∴直线l的解析式是；（4分）（2）∵，∴A（8，0），B（0，4），过点C画CH⊥y轴于H，则CH=OH=4，BH=8．在△AOB和△BHC中，∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，∴△AOB≌△BHC（6分）∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，∴∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形；（8分）（3）．
点评： 本题考查综合应用点的坐标，等腰直角三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究证明的能力．
26．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．
考点： 等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题： 证明题．
分析： 首先由三角形的内角和定理证出∠AEF=∠AFE=∠CFM，由三角形的外角性质得到∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB﹣∠M，代入即可得出答案．
解答： 证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，又∵∠AEF=180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE=180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF=∠AFE，∵∠CFM=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M=∠ACB﹣∠M，即：∠M=（∠ACB﹣∠B）．
点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
考点： 等边三角形的判定；等腰三角形的判定．
专题： 几何综合题；分类讨论．
分析： （1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．
解答： （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∴CO=CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA=OB=4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，∴△AOD为直角三角形．又AO=5，AD=4，∴OD=3，∴CO=OD=3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO，∵∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠BOC=360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD=190°﹣∠AOD，而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，求得α=125°；由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°﹣∠AOD求得α=110°；由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°﹣2∠AOD，求得α=140°；综上可知α=125°、α=110°或α=140°．
点评： 此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．
28．如图，AC⊥BC，∠B=30°，A（﹣2，0），将AC沿AD对折，使C点落在AB上的E点，AD交y轴于F，
（1）求B点坐标；
（2）求证：△CDF是等边三角形．
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的判定．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）由A（﹣2，0），可得AO的长，由∠B=30°，可得∠ACO=30°，由30°角的性质可得AC的大小，同理得到AB=2AC，可得B点的坐标；（2）由AD为折痕，得到∠CAD=30°，直角三角形ACD中，可得∠CDA=60°，求得∠BCO为60°，可得△CDF是等边三角形．
解答： 解：（1）Rt△ABC中，CO⊥AB，∴∠2=∠B=30°，∴AC=2AO=4，Rt△ABC中，AB=2AC=2×4=8，∴OB=8﹣2=6，B点坐标（6，0）；（2）AD为折痕，∴∠1=∠BAC=30°，Rt△ACD中，∠4=90°﹣30°=60°，∠3=90°﹣30°=60°，∴△CDF是等边三角形
点评： 本题考查了翻折变换问题、坐标与图形的性质及等边三角形的性质；找准相等的角是正确解答本题的关键．
29．若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明． 等边三角形 ．
考点： 等边三角形的判定；因式分解的应用．
分析： 由a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，可得到（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，从而求得a=b=c，则该三角形是等边三角形．
解答： 解：该三角形是等边三角形．理由：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc=0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，∴a﹣b=0，且b﹣c=0，即a=b，且b=c，∴a=b=c，∴该三角形是等边三角形．
点评： 此题考查对完全平方公式的灵活应用，应熟练识记完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
30．（2011 绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况 探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．（2）答案为：=．证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，∴∠BED=∠FCE，在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB=EF，∴AE=BD．（3）解：分为四种情况：如图：∵AB=AC=1，AE=2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，即△DEB是直角三角形．∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．如图2，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC=ED，∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，∵△ABC边长是1，AE=2，∴=，∴MN=1，∴CM=MN﹣CN=1﹣=，∴CD=2CM=1；如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC=ED；如图4∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．
点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．